摘要：均值漂移屬于硬劃分的聚類算法，在處理不確定性數據時可能導致決策風險的提高和聚類精度的降低等問題。為此，本文引入陰影集理論來處理三支聚類的數據對象分類問題，提出了一種基于陰影集的三支核均值漂移聚類算法。算法采用類歸屬概率來刻畫陰影集的隸屬度概念。通過優化算法來獲得陰影集劃分的最優閾值，有效減少了人為干預帶來的不確定性。最后基于最優閾值，形成了以陰影集隸屬為依據的三支聚類。在2 個人工數據集和8 個UCI 公共數據集上算法進行測試。相較于均值漂移算法、帶寬自適應均值漂移算法（Adaptive BandwidthMean Shift Algorithm，ABMS）以及核均值漂移算法（Kernel Mean Shift Algorithm，KMS），本文所提出的基于陰影集的三支核均值漂移聚類算法（Three-way Kernel Mean Shift Algorithm Based on Shadow Sets，TKMSSS）不僅可以對數據進行有效劃分，而且可以很好地刻畫類簇的邊界域，在戴維森堡丁指數、輪廓系數、準確率、調整蘭德系數、同質性等聚類評價指標方面均達到最優或與最優算法結果相近，表明TKMSSS綜合聚類性能優于比較算法。

關鍵詞：陰影集；三支聚類；類歸屬概率；優化算法；類簇

中圖分類號：TP391 文獻標志碼：A 文章編號：0253-2395（2025）01-0169-11

0 引言

近年來，聚類分析作為數據挖掘中的重要技術，廣泛應用于市場細分、社交網絡分析等多個領域。其中，均值漂移（Mean Shift，MS）算法因其無參數特性和在多種應用場景中的良好聚類效果，逐漸引起了研究者的廣泛關注。該算法最早由Fukunaga 等［1］于1975 年提出，核心思想是通過跟蹤密度增大的最快速度方向來尋找每個樣本，以找到密度最高的地方，即均值漂移方向。密度較高的區域被認為對應著分布的最大值，所有收斂到同一個局部最大值的樣本點都被視為一個聚類的成員。隨著研究的深入，相關學者對該算法進行了多方面的改進與擴展。Cheng［2］在1995 年對此進行了改進，引入了一種新的內核函數，并加入了權重因子，使每個樣本的重要程度有所區別，擴大了MS的應用范圍。魏穎等［3］將Hessian 矩陣濾波信息引入均值漂移聚類特征空間，使得特征空間差異變大，有利于聚類分割。郝茜茜等［4］利用半監督學習的方法對MS 進行了擴展，利用已知的先驗信息來限制聚類過程從而優化聚類數目。陳立偉等［5］使用光譜角距離作為MS 聚類算法的相似性準則，減少了預估類別數帶來的誤差，提升了聚類結果的準確性。向俊偉等［6］設計了一種融合主成分分析（Principal Compo?nent Analysis，PCA）降維和均值漂移聚類的協同過濾推薦算法（Ollaborative Filtering Recom?mendation Algorithm Combining PCA DimensionReduction and Mean Shift Clustering，PMCF），以緩解評分矩陣稀疏問題并提高近鄰搜索效率，實驗結果顯示該算法在推薦準確性和時間效率方面均有顯著提升。溫柳英等［7］提出的基于覆蓋樹的自適應均值漂移聚類算法（MeanShiftBased on Cover-Tree，MSCT），通過結合覆蓋樹數據集自適應生成帶寬參數，解決了傳統均值漂移算法依賴主觀帶寬選擇和處理密度變化大數據集時精度問題。

盡管上述研究在均值漂移算法的改進與應用上取得了一定進展，但其在處理邊界點和不確定性較大的數據時仍然表現出一定的局限性。這是由于均值漂移算法在聚類過程中通常采用硬聚類方式，即將每個數據點明確劃分到某個類中或完全排除在外。對于存在邊界模糊或數據不確定性的情況，這種嚴格的劃分方式往往會導致決策風險增加，并降低聚類的整體準確性。為了解決這一問題，近年來的研究逐漸將多種決策理論與聚類算法相結合，以提高其處理不確定性數據的能力。其中，三支決策理論［8］由于其靈活處理邊界數據的優勢，受到廣泛關注。Yu 等［9-11］將三支決策理論引入聚類分析，提出了三支聚類算法，顯著增強了算法在不確定性環境下的表現。然而，三支聚類方法在閾值選擇上依然存在主觀性，可能導致聚類結果的穩定性下降，并增加人為干預的風險。

在此背景下，為解決人為干預帶來的不確定性，本文基于均值漂移算法的特性，提出一種基于陰影集的三支核均值漂移聚類算法（Three-way Kernel Mean Shift Algorithm Basedon Shadow Sets，TKMSSS）。該算法旨在通過引入陰影集來解決聚類結果中邊緣域對象的歸屬問題，并通過將數據屬于各類的可能性（概率）作為評價函數，靈活劃分數據集。

1 相關理論

1.1 核均值漂移算法

（1） 核函數

均值漂移是一種基于密度的無參數聚類算法，它試圖通過追蹤數據集中每個點處的密度梯度來發現密集區域。具體來說，對于給定的數據集X = { x1，x2，…，xn }，它會為每個數據點設定一個特定的核函數，然后將所有點的核函數相加，得到數據集的整體的核密度估計，點x處的核密度估計函數［12］為：

2.2 基于陰影集的三支核均值漂移聚類算法

輸入：樣本集D = { x1，x2，…，xn }，帶寬參數h，收斂閾值ε；

Step 1：在未被分類的數據點中隨機選擇一個點作為中心點；

Step 2：構建核函數，計算每個點的均值漂移向量Mh （ x ）；

Step 3：更新中心點位置，直至在移動方向滿足漂移向量的模小于收斂閾值ε，否則返回Step 1；

Step 4：計算概率值pij 為模糊集；

Step 5：確定α0 值：Vα0 = | Ω1 + Ω2 - Ω3 |，結合優化算法尋找α0 的全局最優解，使其滿足α0 = arg min （Vi ） 且0 ≤ α0 lt; 0.5，其中：

Vi =||Σj：pim lt; α0pim +Σj：pim gt; 1 - α0 （1 - pim ）-Ncard{xi ∈ X | α0 lt; pim lt; 1 - α0 }||， （15）

其中pim 為對象xi 到所有類的最大概率值；

Step 6：對于每一類Ci 取xj ∈ Ci，根據α0 進行劃分聚類：若pij ≥ 1 - α0，則將xi 劃分到Co（ i ），若1 - α0 gt; pij gt; α0，則將xi 劃分到Fr （ i ），若pij lt; α0，則將xi 劃分到Tr （ i ）；

Step 7：輸出劃分結果

S={[Co（1），Fr （1）]，[Co（ 2），Fr （ 2）]，…，[Co（ k ），Fr （ k ）]}。

TKMSSS 算法基于陰影集構造了一個目標函數，在Step5 中，我們使用獅群優化算法［25-26］來求解α0 的全局最優解，以便更準確地對邊界區域的對象進行劃分，通過這種方式，TKMSSS算法可以提供比一般方法更有效的閾值選取，從而更準確地劃分數據的邊界區域，增強聚類的性能。

其中，獅群優化算法（Lion Optimization Al?gorithm，LOA）是一種基于群體智能的優化算法，靈感來自獅群的社會組織結構和捕獵行為。獅群由幾只雄獅、若干雌獅和幼獅組成，雄獅負責保護領地，雌獅負責捕獵并共享食物，獅群優化算法通過模擬這一過程來實現全局搜索和局部搜索。具體來說，算法將候選解視為獅子，分為雄獅和雌獅兩種角色。雄獅主要進行領地保護，避免陷入局部最優；雌獅則在固定區域內進行局部搜索，捕獲最優解。通過雄獅的遷徙和雌獅的捕獵行為，算法不斷更新種群中的解，從而逐步逼近全局最優。數學上，LOA 的搜索過程通過一系列迭代和更新公式來實現，每一代通過評估適應度函數，選擇優良個體進行繁殖和淘汰，以達到優化目標。

2.3 復雜度分析

2.3.1 空間復雜度分析

每個數據對象到所有數據對象的空間復雜度，即存儲核矩陣為O （ N 2 ），其中N 為數據對象總個數，存儲每個數據Vi，α0 的空間復雜度為O （ N + C + 1），其中1 代表存儲α0，C 表示每次迭代時中間變量minVi，min α0，preV（i 上一次迭代生成的Vi）的存儲空間。因此，TKMSSS 算法總體空間復雜度為O （ N 2 ），同原始均值漂移算法一致。

2.3.2 時間復雜度分析

（1）創建高斯核矩陣的復雜度為O （ N 2 ）；

（2）均值漂移的時間復雜度主要由帶寬和樣本數量決定，通常為O （TNd ），其中T 是迭代次數，d 是樣本的特征數量；

（3）計算每個數據點的Vi 值、其時間復雜度為O （ N 2 ）；

（4）算法中的閾值α0 是通過優化算法來取得最優值的，本文采用獅群算法來搜尋α0，其時間復雜度取為O （ max _iters ? num_lions ），其中max _iters 是迭代次數，num_lions 是每次搜索的數量；

考慮到，一般而言N 的取值大于max _iters、num_lions 的取值，因而，本文算法TKMSSS 的總體時間復雜為O （ N 2 ）。

3 實驗與結果分析

3.1 數據集與實驗環境

本文實驗環境為python 3.10.7. 操作系統為Windows 11，處理器為AMD Ryzen 7 5800Hwith Radeon Graphics 3.20 GHz。

本文使用8 個UCI 數據集和2 個人工數據集（D1、D2），詳見表1。

3.2 評價指標

本文選取戴維森堡丁指數、輪廓系數、準確率、調整蘭德系數和同質性5 個指標來衡量聚類的結果。

① 戴維森堡丁指數［27］（Davies-Bouldin In?dex，DBI）

其中k 表示簇的個數，si 表示第i 個簇內樣本到簇中心的平均距離；dij 表示第i 個簇和第j 個簇中心之間的距離。

DBI 通過計算簇內距離和簇間距離的比值來度量聚類的緊密度和分離度。DBI 指數越小，表示聚類質量越好，簇內距離越小，簇間距離越大。

② 輪廓系數［28］（Silhouette Coefficient，SC）

ISC =b - a／max （ a，b ）， （17）

其中a 表示每個樣本到同一類別中其他樣本的平均距離（即類別內平均距離），b 表示每個樣本到其他類別的所有樣本的平均距離（即類別間平均距離）。

ISC 基于樣本點與所屬簇內和最近鄰簇之間的距離，相似性和緊密度等因素計算，輪廓系數越小，說明樣本越相似，反之則越不相似。

③ 準確率［29］（Accuracy，ACC）

其中N 表示全部樣本的數目，Ci 表示樣本被劃分到對應聚類i 正確的個數；k 為聚類數。

IACC 越大，聚類效果越好。

④ 調整蘭德系數［30］（Adjusted Rand Index，ARI）

IARI = 2（ ad - bc ）／（ b + d ）（ a + c ）+（ c + d ）（ a + b ），（19）

其中a 表示真實在同一類，預測也在同一類的樣本數；b 表示真實在同一類、預測在不同類的樣本數；c 表示真實在不同類、預測在同一類的樣本數；d 表示真實在不同類、預測也在不同類的樣本數。

IARI 的取值范圍為［-1，1］，值越大表示兩個聚類結果越相似。

⑤ 同質性［31］（Homogeneity，HOM）

IHom = 1 -H （ C | K ）／H （ C ）， （20）

其中H （ C ） 是類別C 的熵，H （ C | K ） 是給定聚類結果K 的條件下類別C 的條件熵。熵在這里用于衡量類別的不確定性或混亂程度。

同質性衡量的是每個聚類簇中只包含單個真實類別的成員的程度。同質性得分越高，說明聚類結果越傾向于將相同類別的樣本聚集在一起，聚類效果越好。

3.3 實驗閾值選擇

本文采用獅群優化算法計算獲得各數據集的最優閾值，計算時設置迭代次數為100，初始獅群為10，由于0 ≤ α0 lt; 0.5，因此設置尋優范圍為（0，0.5），經過多次迭代搜索，我們得到了每個數據集的最優閾值。這些閾值是在給定的尋優范圍內求解得到的全局最優解，具體閾值選取結果如下表2。

3.4 實驗結果分析

3.4.1 基于人工數據集實驗

為了直觀展示文中提出的TKMSSS 算法與其他算法聚類結果的不同，本節選取mean shift算法、帶寬自適應均值漂移算法（AdaptiveBandwidth Mean Shift Algorithm，ABMS）［32］以及核均值漂移算法（Kernel Mean Shift Algorithm，KMS）［23］和本文提到的算法相對比，給出在二維人工數據集D1、D2 上的實驗結果展示。聚類結果如圖2—圖3。

圖2（a）是未分類的D1 數據集，觀察幾種算法在D1 數據集上的聚類結果，可以看出數據比較明顯地分成了三類，幾種算法對于類的劃分是一致的，說明本算法可以得到正確的聚類結果。

圖3（a）是未分類的D2 數據集，觀察幾種算法在D2 數據集上的聚類結果，可以看出有兩個類之間存在重疊，本文算法找到了類的重疊部分，并將其標記出來，使得類間對象的關系得到了更真實地展現。

3. 4. 2 UCI數據集結果分析

為了進一步驗證算法性能，本文選取了UCI 數據集中的通過8 組數據進行試驗，并采用DBI、SC、ACC、ARI 和HOM5 個聚類評價指標來進行對比分析。實驗結果如表3。

通過表3 各評價指標的對比，我們可以觀察到TKMSSS 算法的各項指標在Iris、Wine、Liver、Pima、Vehicle 和Vote 均表現最優。即使在個別實驗數據集上的個別性能不是最突出的，但與最佳效果也是極為接近的，如在seeds數據集中，TKMSSS 的同質性略低于取得最優的mean shift 和ABMS；在Wpbc 數據集上，TK?MSSS 的輪廓系數略低于KMS。這是因為TK?MSSS 沿用核函數方法對mean shift 上的改進，繼承了KMS 的優勢，同時TKMSSS 算法最優閾值尋優的策略有效避免引入陰影集后人工選取閾值的不確定性問題，而邊緣域的刻畫不僅展現了數據對象與類間的關系細節，也為進一步分類決策提供了重要依據。

4 結論

本文通過引入陰影集理論和三支聚類的思想來改進均值漂移算法，提出了一種基于陰影集的三支核均值漂移聚類算法。算法結合核函數方法，采用數據對象的類歸屬概率來刻畫陰影集的隸屬度，構建了以陰影集隸屬為依據的三支聚類。而通過優化算法獲得陰影集劃分的最優閾值的策略則有效減少了人為參數選擇帶來的不確定性，在不同數據集上的對比實驗結果表明本文所提出的算法能夠有效改進均值漂移算法的聚類性能。

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基金項目：國家自然科學基金（62066001）；寧夏科技領軍人才項目（2022GKLRLX08）；寧夏自然科學基金（2021AAC03203）