多分知識結構析取模型及其應用

摘要：合取屬性映射的定義首次以公理化的形式給出，由此產生了多分知識結構合取模型理論。本文提出了析取屬性映射的公理化定義，并考慮了析取相容性和析取完備性的條件，研究其與多分知識狀態、屬性結構和多分知識結構的關系，通過屬性映射和項目響應函數建立可用屬性和可觀察項目響應之間的確定性關系。得到了多分知識結構的充要條件是屬性映射析取相容且完備于屬性結構，從而建立由析取屬性映射誘導的多分知識結構的理論。所提出的方法具有廣泛適用性，能在教學模式、教育評價、教育心理等場景中處理可能遇到的大量析取規則下的多分項目。

關鍵詞：析取屬性映射；析取相容性；析取完備性；多分知識狀態；多分知識結構

中圖分類號：O189.1 文獻標志碼：A 文章編號：0253-2395（2025）01-0192-11

0 引言

知識空間理論（Knowledge Space Theory ，KST）是由Doignon 和Falmagne 于1985 年引入的一種數學理論［1］。KST 通過建立數學框架研究教育規律，為教育評價提供科學方法。九十年代初，考慮到表現和能力水平的聯系，產生了基于能力的知識結構理論（Compe?tence-based Knowledge Structure Theory ，Cb-KST）［2-8］，并用技能映射［9］將知識狀態和能力狀態聯系起來。技能映射常見的模型有三種：析取模型、合取模型和能力模型。其中，合取模型要求個體必須掌握與項目有關的所有技能才能解決該項目，析取模型要求個體只需掌握與項目有關的技能便能解決該項目，能力模型要求個體需要達到用于解決項目的某些能力便能解決該項目。Heller 等［10］在此基礎上引入了分布式技能函數的概念和知識結構的網格化，形式化表示幾個技能函數的集成。另外，KST 的發展離不開與形式概念分析（Formal Concept Analysis ，FCA）等理論的深度結合。從理論和實踐的角度來看，KST 一直專注于學習主題［11-12］，FCA 則強調概念之間的層次化關系，基于FCA 研究KST有助于深化對知識結構的理解以及尋找適應學習者個性需求的學習路徑。具體地，李進金等［13］通過知識基建立知識空間和形式背景的聯系。周銀鳳等［14-15］運用FCA 的方法尋找學習路徑并進行技能評估。除此之外，粗糙集和模糊集的引入都促進了KST 的發展。高純等［16］和楊桃麗等［17］借助粗糙集研究獲取最小技能集的方法。智慧來等［18］建立了面向知識結構分析的模糊概念格模型，對知識結構作增量學習。

傳統的KST 和Cb-KST 都假設個體對項目的回答為正確或錯誤，在對學習和知識進行評價時具有局限性。針對這一局限性，Schrepp［19］將KST 推廣到每個問題有超過兩個響應值可選擇的情形（多分情形），其中響應值集合是線性序集。在此基礎上，Bartl 等［20］討論具有分級知識狀態的知識空間。Stefanutti［21］基于多分技能映射研究KST 的誤解模型。孫曉燕等［22］將程序性知識的評價結果用于構建項目狀態空間，進而構造多分知識結構。Stefanutti 等［23］通過屬性映射和項目響應函數建立屬性和項目響應對之間的確定性關系。此外，Sun 等［24］結合模糊集思想，提出了一種利用模糊技能構建多分知識結構的方法。林宇靜等［25］運用FCA 構建多分知識結構并尋找學習路徑。

多分知識結構是KST 的熱門研究方向之一，然而由技能映射誘導多分知識結構的研究并未得到充分的探索，文獻［23］的研究也局限于合取情形。合取情形只適用于只有一種途徑（能力）解決問題的情況，現實生活中解決問題可能有多種途徑（能力）。因此，為打破這種局限，使多分Cb-KST 得到更充分的探索，本文基于析取模型下的規則（析取規則），即個體只需掌握相關技能便能達到相應的項目狀態，通過析取屬性映射和析取項目響應函數兩種映射關系，構建一致的多分知識結構，并將該方法應用于現實生活。首先，本文介紹相關概念。然后，提出析取屬性映射的公理化定義，并考慮析取相容性和析取完備性的條件，研究它們與屬性結構和多分知識結構的關系，從而建立了多分知識結構理論，并給出相應的算法步驟。最后，舉例說明所提出的方法的廣泛適用性。

1 預備知識

給定項目集Q 和技能集S，在表現水平上將個人掌握的項目子集K ? Q 稱為知識狀態，所有知識狀態構成的集族K（包括空集和全集）稱為知識結構；在能力水平上將個人掌握的技能子集C ? S 稱為能力狀態，所有能力狀態構成的集族C（包括空集和全集）稱為能力結構。表現水平和能力水平通過技能映射和項目函數兩個映射相互聯系。技能映射是三元組（ Q，S，τ ），其中τ 是項目集Q 到技能集S 的非空冪集的映射，即τ：Q → 2S＼ { ? }。

對于任意技能子集C ? S，合取項目函數為p（ C ） = { q ∈ Q：τ （ q ） ? C }，析取項目函數為p（ C ） = { q ∈ Q：τ （ q ）∩ C ≠ ? }。K = p（ C ） 為C通過技能映射τ 誘導得到的知識狀態。本文主要討論析取規則下的情形。

在KST 和Cb-KST 的多分推廣中，項目集Q 中的項目的解決程度由水平集V 中的級別v表示。Stefanutti［23］引入了響應值集合V 和二元關系P ? Q × V，|V | gt; 1，? 是V 上的偏序關系。特別地，對于a，b ∈ V，a ? b 當且僅當a ? b 且a ≠ b。

定義1［23］ 給定任意子集X ? V，對于任意x ∈ X，若x ? v，則元素v ∈ V 是x 的上界。令X u = { v ∈ V：?x ∈ X，x ? v } 表示集合X 的所有上界集合。特別地，?u = V。

定義2［23］ 項目集合q 和響應值集合V 的可容許關系是一個二元關系P ? Q × V，滿足

（1）對于任意q ∈ Q，存在v，w ∈ V，使得v ≠ w，qPv 且qPw；

（2）對于任意v ∈ V，存在q ∈ Q 且qPv。

對任意q ∈ Q，v ∈ V，若qPv，則稱響應值v對于項目q 是可容許的。q 可容許的所有響應值集合表示為P （ q ） = { v ∈ V：qPv }。若V 包含多于兩個響應值，則稱之為多分項。否則，稱之為二分項。

此外，對于每個項目而言，個體總是掌握了一些認知規則，能夠將該項目回答至某一水平。正確的認知規則被稱作是技能，而錯誤的認知規則被稱為誤解。對同一認知規則而言，個體只能正確理解該認知規則，或者錯誤理解該認知規則，這正是文獻［21］中體現的一致性的概念。

定義3［23］ 若A 為屬性集，C ∈ C ? 2A 至少包含空集且∪C = A，則稱（ A，C ） 為屬性結構。屬性結構（ A，C ） 稱為一致空間，若滿足：

（1）對任意a ∈ A，有{ a } ∈ C；

（2）對任意C′ ? C，若C ∈ C，則有C′ ∈ C。

定義4［23］ 多分知識狀態是映射K：Q → V，滿足K ? P。設P = { K ∈ VQ：K ? P }，對 K1，K2∈ P，K1 ? K2 ? ?q ∈ Q：K1 （ q ）? K2 （ q ），則稱在P上存在二元優勢關系?。

注 多分知識狀態有兩種表示形式，分別是子集表示法和向量表示法。其中，本文采用的是子集表示法。該方法將多分知識狀態K 表示為Q × V 的一個特定子集，因此存在K 與P 的包含關系。

定義5［23］ 設四元組（ Q，V，P，K ），其中Q 是項目集合，V 是響應值集合，P 是Q 和V 的可容許關系，K ? P 是多分知識狀態K：Q → V 的集合（它包含一個相對? 的唯一最小元素⊥，使得∪K = P），稱該四元組為多分知識結構。

在多分視角下，多分知識狀態是Q 到V 的映射K：Q → V，表示Q 中的每個項目都能在V中找到對應的響應值。多分知識結構是描述個體的所有多分知識狀態的集合。

2 析取屬性映射誘導的多分知識結構模型

本節提出析取屬性映射的公理化定義，并在滿足析取規則下定義相容性和完備性，從而描述一致結構、多分知識狀態和多分知識結構。

首先，我們用公理化定義析取屬性映射。

定義6 設三元組M = （ P，A，τ ），其中P 是集合Q 和V 的可容許關系，A 是非空有限屬性集，τ：P → 2A 是將A 中的屬性子集分配給P 中的每個項目響應對的映射。對任意q ∈ Q，F ? P （ q ），定義τ （ q，F ） = ∪v ∈ Fτ （ q，v ）。

稱三元組M 是析取屬性映射，若滿足：

（1）對任意v ∈ V，存在z ∈ V，使得Q ×{ z } ? P，且對于任意q ∈ Q，τ （ q，z ） = ?，z ? v；

（2）若qPv，qPw，? ≠ τ （ q，v ） ? τ （ q，w ），則w ? v；（

3）對任意F ? P （ q ），任意v，w ∈ F，若τ （ q，v ）∩ τ （ q，w ） ≠ ? 且Fu ∩ P （ q ） ≠ ?， 則τ （ q，Fu ） ? τ （ q，v ）∩ τ （ q，w ）。

對于上述析取屬性映射，我們給出了以下解釋。

定義6 中的（1）保證了對于每一個項目，響應值集V 都存在“最小”響應值z，稱之為底元。

定義6 中的（2）是一個保序條件。掌握的能力的種類越少，表現越突出，即“ 術業有專攻”。

定義6 中的（3）表示，對于項目q，某些能力C 在這一項目的一些解決水平v ∈ F 中都有所表現，則這些能力是解決該項目的基礎或關鍵。個體越專注于提高這些能力，表現越突出。

例1 考慮項目集Q = { q1，q2，q3 }，定義如下：

q1：商店運來640 千克的蘋果，上午賣出240千克，下午賣出160 千克，還剩多少？

q2：小明看一本140 頁的書，已經看了80頁，剩下的要5 天看完，平均每天看多少頁？

q3：超市運來100 袋大米和60 袋面粉，共重6 800 千克，大米每袋重50 千克，面粉每袋重多少千克？

考慮響應值集合V = { v0，v1，v2，v3 }，v0 ? v1? v3，v0 ? v2 ? v3。其中根據布魯姆認知層次理論，定義如下：

v0：無應答水平；

v1：以理解為基礎的初步的應用水平；

v2：以記憶為基礎的初步的應用水平；

v3：分析水平。

同時，屬性集A = { a1，a2，a3，a4 } 的定義如下：

a1：綜合法；a2：逆推法；a3：分析法；a4：數形結合法（畫線段圖分析）。

映射（ P，A，τ ） 如表1 所示。

下面驗證該映射（ P，A，τ ） 滿足定義6 中的公理。

首先，存在v0 ∈ V，使得Q ×{ v0 } ? P，且對于任意q ∈ Q，τ （ q，v0 ） = ?，v0 ? v。因此，定義6 中的（1）顯然成立。

其次，qPv，qPw 且τ （ q，v ） ? τ （ q，w ） 成立的情況有：

τ （ q2，v3 ）? τ （ q2，v1 ），τ （ q2，v3 ）? τ （ q2，v2 ），τ （ q3，v3 ）? τ （ q3，v1 ）。

根據規定有v1 ? v3，v2 ? v3。所以定義6 中的（2）成立。

下面說明該映射（ P，A，τ ） 滿足定義6 中的（3）。在本例中，對任意F ? P （ q ），任意v，w ∈ F，當v = w 時，定義6 中的（3）顯然成立。當v ≠ w 時，滿足有τ （ q，v ）∩ τ （ q，w ）≠ ? 且Fu ∩ P （ q ）≠ ? 的情況有：

F = { v1，v2，v3 } ? P （ q2 ），

F = { v1，v3 } ? P （ q3 ）。

當F = { v1，v2，v3 } ? P （ q2 ） 時，有τ （ q2，Fu ） =τ （ q2，v3 ） = τ （ q2，v1 ）∩ τ （ q2，v2 ）∩ τ （ q2，v3 ），定義6中的（3）顯然成立。當F = { v1，v3 } ? P （ q3 ） 時，有τ （ q3，Fu ） = τ （ q3，v3 ） = τ （ q3，v1 ）∩ τ （ q3，v3 ），定義6 中的（3）顯然成立。

因此，該映射為析取屬性映射。

定義7 設析取屬性映射（ P，A，τ ） 和子集C ? A，對任意q ∈ Q，F ? P （ q ），x ∈ F，若τ （ q，x ）∩ C ≠ ?，有Fu ∩ P （ q ） ≠ ? 且存在r ∈ Q，v ∈ F，使得C＼τ （ q，Fu ） ? τ （ r，v ），則稱子集C 與析取屬性映射（ P，A，τ ） 析取相容。

定義8 若任意子集C ∈ C 都與析取屬性映射（ P，A，τ ） 析取相容，則析取屬性映射（ P，A，τ ）析取相容于屬性結構（ A，C ）。若不存在與（ P，A，τ ） 析取相容的其他屬性結構（ A，C′ ），使得C ? C′，則稱與（ P，A，τ ） 析取相容的屬性結構（ A，C ） 是最大的。

定義9 對任意q ∈ Q，v ∈ P （ q ），存在屬性集C ∈ C，滿足下列兩個條件：

（1）τ （ q，v ）∩ C ≠ ?；

（2）對任意w ∈ P （ q ），若τ （ q，w ）∩ C ≠ ?且v ? w，則v = w。

則稱析取屬性映射（ P，A，τ ） 析取完備于屬性結構（ A，C ）。

從某種意義上，析取完備性意味著一個項目可容許的每個響應值v 必須是可觀察的。首先，（1）保證了項目響應對（ q，v ） 滿足析取規則。其次，（2）保證在滿足（1）的條件下，響應值v 必須是最大的。

下面將通過例子說明以上定義。

例2 考慮例 1 中析取屬性映射生成的結構（ A，C ），如圖1 所示。

因為? ∈ C 且∪C = A，因此（ A，C ） 是屬性結構。

（1）（ A，C ） 是析取相容的。

當C = { a1，a3 } 時，對于項目q1，有τ （ q1，v2 ）∩ C ≠ ?，τ （ q1，v3 ）∩ C ≠ ? 和

{ v2，v3 }u ∩ P （ q1 ）={ v3 }≠ ?

且C＼τ （ q1，v3 ） ? τ （ q1，v2 ）。

對于項目q2，有τ （ q2，v1 ）∩ C ≠ ?，τ （ q2，v2 ）∩C ≠ ?，τ （ q2，v3 ）∩ C ≠ ?，同時

{ v1，v2，v3 }u ∩ P （ q2 ）={ v3 }≠ ?

且C＼τ （ q2，v3 ） ? τ （ q2，v2 ）。

對于項目q3，有τ （ q3，v1 ）∩ C ≠ ?，τ （ q3，v2 ）∩C ≠ ?，τ （ q3，v3 ）∩ C ≠ ? 與

{ v1，v2，v3 }u ∩ P （ q3 ）={ v3 }≠ ?

且C＼τ （ q3，v3 ） ? τ （ q3，v2 ）。因此，{ a1，a3 } 與（ P，A，τ ） 析取相容。同理，任意子集C ∈ C 都與（ P，A，τ ） 析取相容。因此，（ P，A，τ ） 析取相容于（ A，C ）。

（2）（ A，C ） 是與（ P，A，τ ） 析取相容的最大屬性結構。若將2A 中缺失的六個屬性狀態的任何一個添加到C，則所得到的結構將不再與（ P，A，τ ） 析取相容。例如，若將C = { a1，a2 } 加入C 中，得到C′，對于q3，有

τ （ q3，v1 ）∩{ a1，a2 } ≠ ?，

τ （ q3，v2 ）∩{ a1，a2 } ≠ ?，

同時{ v1，v2 }u ∩ P （ q3 ） = { v3 } ≠ ?，但對于任意（ q，v ） ∈ P，有{ a1，a2 } ＼τ （ q3，v3 ） ? τ （ q，v ），因此{ a1，a2 } 與（ P，A，τ ） 不析取相容。所以，（ A，C ） 是與（ P，A，τ ） 析取相容的最大屬性結構。

（3）（ P，A，τ ） 析取完備于（ A，C ）。

對于項目響應對（ q1，v1 ），當C = { a4 } 時，有τ （ q1，v1 ）∩{ a4 } ≠ ? 且對任意w ∈ P （ q ），當τ （ q1，w ）∩{ a4 } ≠ ? 且v ? w 時，有w = v1，滿足析取完備性。同理，對于項目響應對（ q2，v1 ），（ q3，v1 ），當C = { a4 } 時，滿足析取完備性；對于項目響應對（ q1，v2 ），（ q2，v2 ），（ q3，v2 ），當C = { a1 }時，滿足析取完備性；對于項目響應對（ q1，v3 ），（ q2，v3 ），（ q3，v3 ），當C = { a3 } 時，滿足析取完備性。因此，（ P，A，τ ） 析取完備于（ A，C ）。

（4）屬性結構（ A，C ） 是一致空間。對任意a ∈ A，有{ a } ∈ C，因此定義3（1）顯然成立。{ a1 } ? { a1，a3 }，{ a3 } ? { a1，a3 }，且{ a1 }，{ a3 }，{ a1，a3 } ∈ C。同理，對于任意C′ ? C，若C ∈ C，有C′ ∈ C。因此定義3（2）顯然成立。

項目響應對集合P 上的偏序關系? P 是由響應值集合V 上的偏序關系? 推導出來的：對于（ q，v ），（ r，w ） ∈ P，（ q，v ）? P （ r，w ） ? q = r 且v ? w。

定義10 設析取屬性映射（ P，A，τ ） 與屬性結構（ A，C ），析取項目響應函數是映射p：C → 2P，對于C ∈ C，有p（ C ） = max {（ q，v ） ∈ P：τ （ q，v ）∩ C ≠ ? }。特別地，規定p（ ? ） =⊥。

若非空子集C ? A，有τ （ q，v ）∩ C ≠ ?，即個體具有C 中的部分屬性，則對項目q 可觀察到“至少”響應值v。此外，將⊥= Q ×{ z } 稱為將底元賦予所有項目的常值映射。

定理1 對于析取項目響應函數p，若C1，C2 ∈ C，C1 ? C2，則p（ C1 ） ? p（ C2 ）。

證明 設（ q，v ） ∈ p（ C1 ），（ q，w ） ∈ p（ C2 ），則τ （ q，v ） ∩C1 ≠ ?，τ （ q，w ） ∩C2 ≠ ?。因為C1 ? C2，所以τ （ q，v ） ∩C2 ≠ ?。由定義10 可得，v ? w， 即p（ C1 ）（ q ）? p（ C2 ）（ q ）。因此，p（ C1 ）? p（ C2 ）。

定理2 設（ P，A，τ ） 是析取屬性映射，（ A，C ）是屬性結構，析取屬性映射（ P，A，τ ） 析取完備于屬性結構（ A，C ） 當且僅當∪C ∈ Cp（ C ） = P。

證明 必要性。設析取屬性映射（ P，A，τ ）析取完備于屬性結構（ A，C ）， 下證∪C ∈ Cp（ C ） = P。設（ q，v ） ∈ p（ C ），由定義10 得，（ q，v ） ∈ P，有∪C ∈ Cp（ C ） ? P。另一方面，設（ q，x ） ∈ P。根據析取完備性可得，存在C ∈ C，使得τ （ q，x ）∩ C ≠ ?。若任意w ∈ P （ q ），τ （ q，w ）∩ C ≠ ? 且x ? w，有x = w。由定義10 得，（ q，x ） ∈ p（ C ）。因此，P ? ∪C ∈ Cp（ C ）。所以，∪C ∈ Cp（ C ） = P。

充分性。設（ A，C ） 相對于（ P，A，τ ） 不是析取完備的。當定義9（1）不成立時，存在q ∈ Q，v ∈ P （ q ），對任意C ∈ C，有τ （ q，v ）∩ C = ?，則p（ C ）（ q ） ≠ v。當定義9（2）不成立時，存在C′∈ C，τ （ q，x ）∩ C′ ≠ ? 且對任意w ∈ P （ q ），τ （ q，w ）∩ C′ ≠ ?，有x ? w ? p（ C′ ）（ q ），因此對于任意C′ ∈ C ，p（ C′ ）（ q ）≠ x。所以∪C ∈ Cp（ C ）? P。這與∪C ∈ Cp（ C ） = P 矛盾。因此，證明成立。

定理3 與析取屬性映射（ P，A，τ ） 析取相容的最大屬性結構是唯一的，且是一致空間。

證明 設（ A，C ） 是與析取屬性映射（ P，A，τ ）析取相容的最大屬性結構，則它必須包含且只包含所有與τ 相容的子集。由此，唯一性可證。

下證該最大屬性結構是一致空間。設C，C′∈ 2A，C′ ? C，C ∈ C。設任意q ∈ Q，x ∈ F，F ? P （ q ），τ （ q，x ）∩ C′ ≠ ?。由于C′ ? C，有τ （ q，x ）∩ C ≠ ?。因為C ∈ C，所以由析取相容性可得Fu ∩ P （ q ） ≠ ?，且存在r ∈ Q，v ∈ F 使得C＼τ （ q，Fu ） ? τ （ r，v ）。所以，對任意x ∈ F，τ （ q，x ）∩ C′ ≠ ? 有

Fu ∩ P （ q ）≠ ?，

且C′＼τ （ q，Fu ） ? C＼τ （ q，Fu ） ? τ （ r，v ）。因此C′∈ C，即定義3（2）成立。由定義6（3）和定義3（2）得，對于任意a ∈ A，有{ a } ? C，則{ a } ∈ C，即定義3（1）成立。

定理4 設（ P，A，τ ） 是析取屬性映射，（ A，C ）是屬性結構。對于C ∈ C，集合K = p（ C ） 是多分知識狀態當且僅當（ A，C ） 相對于（ P，A，τ ） 是析取相容的。

證明 設（ P，A，τ ） 析取相容于（ A，C ）。若K不是多分知識狀態，則有q ∈ Q，v，w ∈ V 且v ≠ w，于是（ q，v ），（ q，w ）∈ p（ C ），即存在C ∈ C 使得τ （ q，v ）∩ C ≠ ? 且τ （ q，w ）∩ C ≠ ?。令C =τ （ q，v ）， v，w ∈ F 且F ? P （ q ）， 有τ （ q，v ）∩ τ（ q，w ）≠ ?。由定義6（3）和定義10 得，有x ∈ Fu ∩ P （ q ） 且τ （ q，x ） ? τ （ q，v ）∩ τ （ q，w ）。因此，τ （ q，x ）∩ C ≠ ?，則（ q，x ）∈ p（ C ），這與（ q，v ），（ q，w ）∈ p（ C ） 矛盾。故當（ A，C ） 相對于（ P，A，τ ）析取相容時，K 是多分知識狀態。反之，設C 不析取相容于τ，則存在q ∈ Q，F ? P （ q ），a，b ∈ F且a，b 在P （ q ） 中都是最大的，使得τ （ q，a ）∩ C ≠ ?，τ （ q，b ）∩ C ≠ ?，則p（ C ）（ q ） 不唯一，即p（ C ） 不是映射。

推論1 設P 是集合Q 和V 的可容許關系。給定析取屬性映射（ P，A，τ ） 和屬性結構（ A，C ），K = p（ C ） = { p（ C ）：C ∈ C }。四元組（ Q，V，P，K ）是多分知識結構當且僅當（ P，A，τ ） 析取相容于（ A，C ），且（ P，A，τ ） 析取完備于（ A，C ）。

證明 根據定理1，定理 2，定理 4，證明成立。

下面將通過例子對上述的定義10 進行說明，并解釋上述幾個定理。

例3 考慮例1 中定義的析取屬性映射（ P，A，τ ） 以及例2 中與之析取相容的屬性結構（ A，C ）。根據定義10，可得到多分知識狀態K = p（ C ），如表2 所示。

由此構成的多分知識結構如圖2 所示。

例如，對于屬性狀態{ a1，a3 }，滿足（ q，v ） ∈ P且τ （ q，v ）∩{ a1，a3 } ≠ ? 的項目響應對有：（ q1，v2 ），（ q1，v3 ），（ q2，v1 ），（ q2，v2 ），（ q2，v3 ），（ q3，v1 ），

（ q3，v2 ），（ q3，v3 ），

則p（ { a1，a3 } ） = {（ q1，v3 ），（ q2，v3 ），（ q3，v3 ） }。同時，有p（ ? ） = {（ q1，v0 ），（ q2，v0 ），（ q3，v0 ） } =⊥。對于{ a2，a3 }，{ a2，a3，a4 } ∈ C ，有

p（ { a2，a3 } ） ? p（ { a2，a3，a4 } ） 。

根據上面的論述，設計一種構建多分知識結構的算法，如算法1 所示。

算法1 是啟發式搜索算法，求解效率比盲目搜索算法更高，其時間復雜度為Ο（ 2| A|·| P | ）。

3 應用例子

在本節中，通過舉例說明析取屬性映射誘導的多分知識結構理論能運用于多分項目情況，如：除v0 外的響應值無序的教學模式的對比研究，響應值部分偏序的教師成長過程分析，響應值線性序關系的部分冗思反應量表分析。此外，根據知識結構的網格化［10］的特征，可將小規模的信息表集成為大規模的信息表，因此論文所提出的方法對大規模的信息表仍有效，具有廣泛適用性。

例4 本例運用基于析取屬性映射誘導的多分知識結構理論，以數學課堂評價中較受關注的幾個要素［26］為維度，結合《義務教育數學課程標準（2022 年版）》，對分課堂和翻轉課堂兩種教學模式［27］進行對比研究。

考慮項目集Q = { q1，q2 }，定義如下：

q1：對分課堂；q2：翻轉課堂。

考慮響應值集V = {v0，v1，v2，v3 }，定義如下：

v0：較不受關注的評價要素；v1：教學目標；v2：教學效果及教師素質；v3：教學內容過程與方法。其中，v0 ? vi，i ∈ {1，2，3}。

屬性集為A = {a1，a2，a3，a4，a5 }，定義如下：

a1：促進學生自主學習，加強綜合實踐；

a2：關注教學評價；

a3：整體把握并注重教學內容的結構化，注重教學內容與核心素養的關聯；

a4；注重信息技術與數學教學的融合，教學方法豐富；

a5：明確教學目標，體現整體和階段性。

析取屬性映射（ P，A，τ ） 如表3 所示。

屬性結構（ A，C ） 和多分知識結構K 分別如圖3 和圖4 所示。

從教學模式的多分知識結構可以對對分課堂和翻轉課堂兩種教學模式進行對比研究。例如，從多分知識狀態{（ q1，v2 ），（ q2，v0 ） } 到{（ q1，v2 ），（ q2，v2 ） } 這一變化可以看出，對分課堂在教學效果及教師素質這一方面是優于翻轉課堂的；從多分知識狀態{（ q1，v0 ），（ q2，v3 ） } 到{（ q1，v3 ），（ q2，v3 ） } 這一變化可以看出，對分課堂在教學內容過程與方法這一方面是劣于翻轉課堂的；而在教學目標這一方面兩者無明顯優劣之分。該結果可以用來指導實踐。例如，在運用的過程中，針對一定難度的項目可以錄制視頻以供學生在授課前后進行觀看，并布置適當的課后作業，了解學生的知識掌握程度，便于進行教學評價。

另外，令K1 = {（ q1，v2 ），（ q2，v0 ） }，則

K1′=Q＼K1={（ q1，v0 ），（ q1，v1 ），（ q1，v3 ），

（ q2，v1 ），（ q2，v2 ），（ q2，v3 ） }。

這里v1，v2，v3 沒有偏序關系，根據文獻［23］， K1′不是合取情況下的多分知識狀態。因此，我們這里所討論的析取屬性映射誘導的多分知識結構和文獻［23］中的合取情形下的多分知識結構不是對偶的。這不是偶然，孫文在文獻［28］中有以下結論：如果能力結構C ≠ 2A，則技能映射（ Q，A，τ ） 在析取模型與合取模型下生成的知識結構不一定是對偶的。

例4 討論了除v0 外的響應值無序的情況，但現實生活中不乏部分水平有高低之分的情況。下面將通過例5 說明析取屬性映射誘導的多分知識結構理論在這種情況下也是適用的。

例5 設項目集合Q = { q1，q2，q3 }，定義如下：

q1：幼兒園老師；q2：小學老師；q3：中學老師。

響應值集合V = {v0，v1，v2，v3 }，定義如下：

v0：與教育教學無關的水平；v1：學科知識水平；v2：教育理論素養；v3：教學能力。

其中，v0 ? v1，v0 ? v2 ? v3。

屬性集合A = {a1，a2，a3，a4 }。定義如下：

a1：能夠深入淺出地講解知識點；

a2：設計合理的教學方案；

a3：不斷反思和改進自己的教育實踐；

a4：能夠進行個性化教學并科學評價。

教師專業發展水平的析取屬性映射如表4所示。

可得到相對于該析取屬性映射析取相容的最大屬性結構（ A，C ），如圖5 所示。

由每個屬性狀態C ∈ C 通過析取屬性映射所描繪的多分知識狀態K = p（ C ） 所構成的多分知識結構，如圖6 所示。

首先，學科知識水平與教學水平反映的是不同方面的水平，因此教師專業發展水平的多分知識結構缺少頂層元素。其次，從多分知識狀態{（ q1，v0 ），（ q2，v0 ），（ q3，v0 ） } 到多分知識狀態{（ q1，v3 ），（ q2，v0 ），（ q3，v3 ） }，再到多分知識狀態{（ q1，v3 ），（ q2，v2 ），（ q3，v3 ） }，最后到多分知識狀態{（ q1，v3 ），（ q2，v3 ），（ q3，v3 ） }，反映了教師成長的復雜性和階段性的特征。

除了例4 和例5 的情況，在以往研究中更多考慮的是響應值具有線性序的情況。下面將通過例6 說明析取屬性映射誘導的多分知識結構理論也適用于響應值具有線性序的情況。

例6 以“ 冗思反應量表（Ruminative Re?sponse Scale，RRS）”［29］為例。我們選取其中的兩個項目作為項目集Q = { q1，q2 }，定義如下：

q1：想到“我剛剛為什么不能把事情做得更好一點”；

q2：會想自己什么事情都做不好。

同時，我們將四個評分等級的集合記為線性序集V = { v0，v1，v2，v3 } 且v0 ? v1 ? v2 ? v3，即從1 到4 級評分，得分越高表示使用相應的思考方式就越多。

根據量表，設屬性集A = { a1，a2，a3，a4 }，定義如下：

a1：很憂傷；a2：有些憂傷；a3：有一點憂傷；a4：沒有憂傷。

由此產生的析取屬性映射（ P，A，τ ） 如表5所示。

可得到最大屬性結構（ A，C ） 及多分知識結構，分別如圖7 和圖8 所示。

對比項目q1 和項目q2，可以得出低冗思個體往往會將個體的注意力集中于當下的狀態或感受。此時，如果能采取積極的應對策略，不僅有利于個體適時有效地處理生活中可能帶來消極影響的事件，而且會降低此類事件對個體心理產生消極影響的可能性。另外，可以注意到，當響應值呈現線性序關系時，C 和K 都具有頂層元素。

4 結論

本文從析取規則的角度，提出了析取屬性映射的公理化定義，并考慮析取相容性和析取完備性，從而建立了由析取屬性映射誘導的多分知識結構理論，擴展了文獻［23］的屬性映射的概念，并且通過應用例子說明所提出的構建方法具有廣泛適用性。結合文獻［10］中知識結構網格化的有關知識可以發現，本文所提出的方法對大規模的信息表依然有效。在本文框架中，僅考慮析取屬性映射誘導的多分知識結構，對于更一般化的能力模型，將結合文獻［24］在后續的研究中進行考慮。此外，智慧來等［18］借助模糊形式概念分析對知識結構作增量學習，因此今后也將進一步考慮多分知識結構的動態學習過程。

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