“同構(gòu)法”在解析幾何一類(lèi)切線問(wèn)題中的應(yīng)用

新課程要求教師在教育教學(xué)活動(dòng)中，立足核心素養(yǎng)的視角，采用多樣化的教學(xué)方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展.新高考，更加注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，可學(xué)生能花在數(shù)學(xué)科目上的精力較之以前又大大減少，如何在有限的時(shí)間里，既鞏固基礎(chǔ)又提升能力，這對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)提出了不小的挑戰(zhàn).筆者認(rèn)為師生都應(yīng)注意歸納，歸納知識(shí)點(diǎn)、題型和方法，進(jìn)而提高效率.接下來(lái)以教學(xué)中的一段實(shí)例，闡述筆者對(duì)于歸納的思考.

假期第一天，班上一個(gè)學(xué)習(xí)很刻苦的學(xué)生QQ筆者拍照例1發(fā)過(guò)來(lái)，問(wèn)：“老師，像這種過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解決思路是什么？”

例1 已知圓C：x2+y2+2x-4y=0.

（1）過(guò)直線x+3y+10=0上動(dòng)點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，求證：直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；

（2）過(guò)點(diǎn)Q（-1，1）的動(dòng)直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，圓C在M，N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線上.

分析：由于圓有很好的幾何性質(zhì)，因此在處理直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，通常很少直接用代數(shù)方法解決問(wèn)題，一般用幾何方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再適當(dāng)計(jì)算.這就要求學(xué)生有較強(qiáng)的化歸能力，能夠運(yùn)用化歸思想解決常見(jiàn)問(wèn)題.筆者回復(fù)他說(shuō)此兩題是同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即圓的切點(diǎn)弦所在直線方程如何求.至于直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)參數(shù)表示出直線方程，求定點(diǎn)就好；而動(dòng)點(diǎn)所在的定直線，就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.學(xué)生說(shuō)如何求切點(diǎn)弦直線方程他都沒(méi)想到，而這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是在一輪復(fù)習(xí)“直線與圓的位置關(guān)系”時(shí)特別強(qiáng)調(diào)的模型，看來(lái)學(xué)生不善于歸納總結(jié)，講過(guò)的知識(shí)沒(méi)有內(nèi)化，化歸能力薄弱.

筆者的具體證明如下：

證法1：（1）設(shè)P（-3t-10，t），則A，B在以PC為直徑的圓（x+1）+（y-2）（y-t）=0，即x2+y2+（3t+11）x-（t+2）y+（5t+10）=0上.又因?yàn)锳，B在圓C：x2+y2+2x-4y=0上，所以直線AB的方程為（3t+9）x+（2-t）y+5t+10=0，通過(guò)整理可得t（3x-y+5）+（9x+2y+10）=0.由3x-y+5=0，9x+2y+10=0，解得x=-43，y=1.所以直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)-43，1.

（2）設(shè)P（x0，y0），則M，N在以PC為直徑的圓（x+1）（x-x0）+（y-2）（y-y0）=0，即x2+y2+（1-x0）x-（y0+2）y+（-x0+2y0）=0上.又因?yàn)镸，N在圓C：x2+y2+2x-4y=0上，所以直線MN方程為（-x0-1）x+（2-y0）y-x0+2y0=0.又因?yàn)橹本€MN過(guò)點(diǎn)Q（-1，1），所以（-x0-1）＼5（-1）+（2-y0）＼51-x0+2y0=0，即y0=-3.所以點(diǎn)P在定直線y=-3上.

兩天以后，這個(gè)學(xué)生又QQ我，拍照例2發(fā)過(guò)來(lái)，說(shuō)：“老師，這個(gè)題又把我看蒙了，我想知道一些基本模型.”

例2 已知橢圓C：x24+y22=1.

（1）過(guò)直線x+2y+6=0上動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，求證：直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；

（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，1）的動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C在M，N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線上.

分析：橢圓沒(méi)有圓那么好的幾何性質(zhì)，一輪復(fù)習(xí)中筆者給學(xué)生只介紹過(guò)與橢圓的切點(diǎn)弦有關(guān)的結(jié)論1，用得也很少.

結(jié)論1：橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）在點(diǎn)A（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

老實(shí)說(shuō)，例2對(duì)筆者的學(xué)生來(lái)說(shuō)有點(diǎn)難了，在以往的教學(xué)中，這類(lèi)問(wèn)題也沒(méi)遇到過(guò)，筆者一時(shí)并沒(méi)有很好的解法.但是解析幾何的問(wèn)題，往往可以通過(guò)直譯來(lái)解決，無(wú)非是運(yùn)算可能麻煩一些.筆者的證法一如下：

證法一：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），若x1≠x2，則直線AB的方程為y-y1=y1-y2x1-x2（x-x1），即y=y1-y2x1-x2x+x1y2-x2y1x1-x2.又橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為x1x4+y1y2=1，在點(diǎn)B處的切線方程為x2x4+y2y2=1，聯(lián)立得交點(diǎn)P4（y1-y2）x2y1-x1y2，2（x2-x1）x2y1-x1y2.由點(diǎn)P在直線x+2y+6=0上，得2（y1-y2）x2y1-x1y2+2（x2-x1）x2y1-x1y2+3=0，所以x1y2-x2y1x1-x2=23＼5y1-y2x1-x2-23，則直線的AB方程可化為y=y1-y2x1-x2x+23＼5y1-y2x1-x2-23=y1-y2x1-x2x+23-23，所以直線AB過(guò)定點(diǎn)-23，-23.若x1=x2，則直線AB的方程為x=x1，P4x1，0，代入直線x+2y+6=0，得x1=-23，此時(shí)直線AB方程為x=-23，也過(guò)點(diǎn)-23，-23.綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn)-23，-23.

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則橢圓在點(diǎn)M處的切線方程為x1x4+y1y2=1，在點(diǎn)N處的切線方程為x2x4+y2y2=1，聯(lián)立兩條切線方程可得到交點(diǎn)P4（y1-y2）x2y1-x1y2，2（x2-x1）x2y1-x1y2.又M.N，Q三點(diǎn)共線，則QM∥QN，所以（x1-1）（y2-1）=（x2-1）（y1-1），即x2y1-x1y2=（x2-x1）+（y1-y2）.所以可得xP=4（y1-y2）（x2-x1）+（y1-y2），yP=2（x2-x1）（x2-x1）+（y1-y2），有xP+2yP=4，即點(diǎn)P在定直線x+2y-4=0上.

分析：?jiǎn)栴}雖然解決了，但是這樣的運(yùn)算在應(yīng)試中是不可取的.筆者回憶起之前給學(xué)生講過(guò)的解析幾何中方程的“同構(gòu)”思想，得到了例2的如下優(yōu)化解法.

證法二：（1）設(shè)P（x0，y0），則x0+2y0+6=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則切線PA的方程為x1x4+y1y2=1，所以x1x04+y1y02=1；切線PB的方程為x2x4+y2y2=1，所以x2x04+y2y02=1.所以直線AB的方程為x0x4+y0y2=1.又因?yàn)閤0=-2y0-6，所以直線AB的方程可化為（-2y0-6）x4+y0y2=1，即y02（x-y）+32x+1=0.由x-y=0，32x+1=0，可知直線AB過(guò)定點(diǎn)-23，-23.

（2）設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），則切線PM的方程為x1x4+y1y2=1，所以x1x04+y1y02=1；切線PN的方程為x2x4+y2y2=1，所以x2x04+y2y02=1.所以可知直線MN的方程為x0x4+y0y2=1.又直線MN過(guò)點(diǎn)Q（1，1），所以x04+y02=1，即P（x0，y0）在定直線x4+y2=1上.

分析：很明顯，對(duì)于例2，證法二的可操作性要強(qiáng)很多.這時(shí)候，筆者又想到例1也可以用此同構(gòu)方法來(lái)解決，于是在下面結(jié)論2的基礎(chǔ)上，得到了例1的第二種證法.

結(jié)論2：圓（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）在點(diǎn)A（x0，y0）處的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）＼5（y-b）=r2.

例1的證法2：（1）設(shè)P（x0，y0），則x0+3y0+10=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由圓C：（x+1）2+（y-2）2=5，得切線PA的方程為（x1+1）（x+1）+（y1-2）（y-2）=5，則（x1+1）（x0+1）+（y1-2）＼5（y0-2）=5；切線PB的方程為（x2+1）（x+1）+（y2-2）（y-2）=5，則（x2+1）（x0+1）+（y2-2）＼5（y0-2）=5.所以直線AB方程為（x0+1）（x+1）+（y0-2）（y-2）=5.因?yàn)閤0=-3y0-10，所以直線AB的方程可以變形整理為y0（-3x+y-5）+（-9x-2y-10）=0.由-3x+y-5=0，-9x-2y-10=0，可得直線AB過(guò)定點(diǎn)-43，1.

（2）同（1），直線MN的方程為（x0+1）（x+1）+（y0-2）（y-2）=5，由直線MN過(guò)點(diǎn)Q（-1，1），得（x0+1）＼50+（y0-2）＼5（-1）=5，即y0=-3.所以點(diǎn)P（x0，y0）在定直線y=-3上.

分析：比較起來(lái)，例1的證法1更適合操作，而證法2的價(jià)值是可以作為例1和例2這個(gè)題組的通法，而圓向橢圓的遷移也是數(shù)學(xué)研究中樂(lè)意涉及的問(wèn)題.在整理這個(gè)題組時(shí)，筆者進(jìn)一步用同構(gòu)思想歸納了下述三個(gè)結(jié)論.

結(jié)論3：過(guò)圓（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）外一點(diǎn)P（x0，y0）作圓的切線有兩條，設(shè)切點(diǎn)分別為T(mén)1，T2，則切點(diǎn)弦T1T2所在直線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

結(jié)論4：過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）外一點(diǎn)P（x0，y0）作橢圓的切線有兩條，設(shè)切點(diǎn)分別為T(mén)1，T2，則切點(diǎn)弦T1T2所在直線方程為x0xa2+y0yb2=1.

結(jié)論5：過(guò)拋物線y2=2px（pgt;0）外一點(diǎn)P（x0，y0）作拋物線的切線有兩條，設(shè)切點(diǎn)分別為T(mén)1，T2，則切點(diǎn)弦T1T2所在直線方程為y0y=p（x+x0）.

結(jié)合這三個(gè)結(jié)論，得出例1、例2對(duì)應(yīng)的一般結(jié)論，記為定理1、定理2、定理3，如下：

定理1 已知圓：（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）.

（1）過(guò)直線Ax+By+C=0上動(dòng)點(diǎn)P作圓的切線PM，PN，其中M，N分別為切點(diǎn)，則直

線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)a-Ar2aA+bB+C，b-Br2aA+bB+C；

（2）過(guò)點(diǎn)Q（m，n）的動(dòng)直線l與圓交于M，N兩點(diǎn)，圓在M，N兩點(diǎn)處的切線相交

于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2上.

定理2 已知橢圓：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）.

（1）過(guò)直線Ax+By+C=0上動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的切線PM，PN，其中M，N分別為切點(diǎn)，則直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)-Aa2C，-Bb2C；

（2）過(guò)點(diǎn)Q（m，n）的動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C在M，N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線mxa2+nyb2=1上.

定理3 已知拋物線：y2=2px（pgt;0）.

（1）過(guò)直線Ax+By+C=0上動(dòng)點(diǎn)P作拋物線的切線PM，PN，其中M，N分別為切點(diǎn)，則直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)CA，-pBA；

（2）過(guò)點(diǎn)Q（m，n）的動(dòng)直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，拋物線在M，N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線p（x+m）-ny=0上.

以上這個(gè)題組的歸納，筆者把它命名為“解析幾何中一類(lèi)切線問(wèn)題的研究”.教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，需要精心選講問(wèn)題，歸納題組呈現(xiàn)給學(xué)生，這樣學(xué)生在每節(jié)課都有一個(gè)清晰的目標(biāo)，每次練習(xí)都是一次精準(zhǔn)的訓(xùn)練強(qiáng)化，這樣的教學(xué)效果一定會(huì)更好.而學(xué)生通過(guò)教師的示范，也會(huì)逐步養(yǎng)成愿意歸納、會(huì)歸納的好習(xí)慣，這對(duì)學(xué)生一生的幫助都是巨大的.