一題多解，一型四法：條件概率問題的破解方法

摘要：條件概率作為概率模塊中一個重要知識點，是新舊高中數學教材中概率與統計知識模塊的一個共同部分.在新課程改革與新高考模式下，條件概率的應用與考查更能體現創新與改革.結合典型實例與應用，就條件概率問題的一題多解加以展開，剖析破解條件概率的“四法”技巧，合理開拓數學思維，指導數學教學.

關鍵詞：條件概率；定義；列舉；古典概型

條件概率及其應用問題，是現實生活場景中經常碰到的一類實際應用問題，成為概率知識模塊中的重點與難點之一.而在實際解決條件概率問題時，基于條件概率的定義與對應的計算公式，可以通過多種思維方式，采用多種常見的方法來處理，關鍵在于全面剖析應用問題的條件場景，厘清題設條件與所求結論之間的關系，掌握條件概率的基本概念、基本公式與基本性質，結合其他一些相關的技巧與方法來破解.本文中通過兩個典型實例，合理歸納與總結，就破解條件概率問題的“四法”加以剖析，拋磚引玉.

1 一道二診試題

（2024年重慶市萬州第二高級中學高考數學二診試卷）某地開展黨史知識競賽活動，以黨支部為單位參加比賽.某黨支部在5道黨史題中（包含3道選擇題和2道填空題）不放回地依次隨機抽取2道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則P（B|A）=.

分析：以從5道黨史題中不放回地依次隨機抽取2道題作答來設置，結合事件A與事件B的不同設計，分別確定事件A的概率與事件AB的概率，成為解決問題的關鍵，進而結合不同的技巧來分析與應用，實現問題的突破與求解.

解法1：列舉法

依題，設5道黨史題中的3道選擇題分別為a，b，c，2道填空題分別為x，y，則不放回地依次隨機抽取2道題的所有基本事件為：ab，ac，ax，ay，ba，bc，bx，by，ca，cb，cx，cy，xa，xb，xc，xy，ya，yb，yc，yx，共20種情況.

而第1次抽到選擇題有12種可能：ab，ac，ax，ay，ba，bc，bx，by，ca，cb，cx，cy.其中第2次抽到選擇題有6種可能：ab，ac，ba，bc，ca，cb.

所以P（B|A）=612=12.故填答案：12.

解法2：定義法.

依題，可得P（A）=C13C15=35，P（AB）=C13C12C15C14=310，由條件概率公式可得P（B|A）=P（AB）P（A）=31035=12.

解法3：樣本點數法.

依題，不放回地依次隨機抽取2道題作答，樣本空間有5×4=20（個）樣本點.

而n（A）=3×4=12，n（AB）=3×2=6，所以P（B|A）=n（AB）n（A）=612=12.

解法4：縮小樣本空間法.

依題，第1次抽到選擇題后，第2次再抽1道題，其樣本空間有4個樣本點，滿足事件B的樣本點有2個，所以P（B|A）=24=12.

2 解法總結

題型特點：此類條件概率問題的主要特點是設置兩個不同層次的事件，進而確定在某一事件成立的條件下另一事件的概率問題.

解決條件概率的實際應用問題時，依托問題場景與要求，往往可以選取“四法”來具體分析與求解，并結合自身理解與掌握的情況，選用其中最適合自己的方法來解決與應用：

（1）列舉法.其是求解概率問題時最基本、最常用的一種方法，一般適用于對應事件的基本事件不是太多的古典概型問題，這樣方便對基本事件的列舉.借助列舉法處理基本事件的概率問題，可使得概率的求解更加直接有效，當然對條件概率的求解也非常適用.特別要注意的是，列舉時要注意元素是否與順序有關，要保持所有基本事件與對應具體事件之間的吻合性，不要出現重復或遺漏，否則容易導致錯誤.

（2）定義法.其是回歸條件概率問題本質的場景下，具體應用最多的一種解題方法，是解決條件概率問題的根本方法.根據條件概率的定義，先求P（A）（P（A）gt;0）和P（AB），進而利用條件概率的定義，即對應的計算公式P（B|A）=P（AB）P（A），即可求解相應的條件概率P（B|A）的值.

（3）樣本點數法.其是用來解決一些當條件概率中的基本事件適合有限性和等可能性的概率問題，也是通過建立古典概率模型來解決問題.合理借助古典概型的概率公式，分別求出事件A包含的樣本點數n（A），事件AB包含的樣本點數n（AB），結合公式P（B|A）=n（AB）n（A）來求解對應的條件概率.

（4）縮小樣本空間法.其是一種縮小樣本空間的方法，合理將問題轉化為無條件概率，進而利用古典概率模型求解.解題時通過去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，合理縮小樣本空間，進而利用古典概型的概率公式求解，可以很好地化繁為簡，優化條件概率的求解過程.

3 高考鏈接

（2024年全國高考天津卷·13）A，B，C，D，E這5種活動，甲、乙都要選擇3個活動參加.（1）甲選到A的概率為；（2）已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為.

解法1：列舉法.

根據題意，從5個活動中選3個的情況有：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10種情況.

其中甲選到A有6種可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE.所以甲選到A的概率為P1=610=35.

乙選到A活動有6種可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，其中再選擇B有3種可能性：ABC，ABD，ABE.故乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P2=36=12.故填答案：35；12.

解法2：定義法.

依題，設甲選到A為事件M，乙選到A為事件M′，乙選到B為事件N.

所以甲選到A的概率為P（M）=C24C35=35.

又P（M′N）=C13C35=310，則乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P（N|M′）=P（M′N）P（M′）=31035=12.

解法3：樣本點數法.

依題，設甲選到A為事件M，乙選到A為事件M′，乙選到B為事件N.

那么題設場景下所涉及的基本事件數為C35=10.

事件M′涉及的基本事件為：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，則知n（M）=6.

事件M′N涉及的基本事件為：ABC，ABD，ABE，則知n（M′N）=3.

所以，甲選到A的概率為P（M）=610=35；

乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P（N|M′）=n（M′N）n（M′）=36=12.

解法4：縮小樣本空間法.

依題，設甲選到A為事件M，乙選到A為事件M′，乙選到B為事件N.

所以甲選到A的概率為P（M）=C24C35=35.

已知選到A，采用縮減樣本法來處理：選到A后再選擇的基本事件個數為C24=6，而同時選取A和B后再選擇的基本事件個數有為C13=3.

所以乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P（N|M）=36=12.

點評：借助高考真題的應用剖析，對于條件概率問題，在全面剖析問題的題設條件，分清題目條件與所求結論之間的關系后，掌握相關的概率性質，可以通過列舉法、定義法、樣本點數法及縮小樣本空間法等常見的“四法”求解，正確理解并掌握一些比較常用的方法，進而選用合適的方法來分析與處理，實現條件概率問題的突破與應用.

4 教學啟示

條件概率問題的破解是有法可依的，正確掌握破解條件概率的基本技巧與方法，對于問題的分析與解決是有益處的.破解條件概率問題時，關鍵在于剖析問題本質，挖掘條件概率的實質，抓住對應問題類型，結合實際情況，合理選取與問題相關的、有效可行的方法來解決問題，實現解題目標.隨著新課程改革與新高考的推進，涉及條件概率的試題難度也在不斷加深，同時題目由選擇題、填空題逐步變化，在解答題中呈現與應用等.

條件概率的應用與考查，根植于新高考土壤中，其地位與考查備受各方關注，在一定程度上突出了條件概率的真實地位.作為高中數學新舊教材中的一個共同知識點，條件概率及其綜合應用引導高中教學逐步向新教材過渡.新高考更加注重考教銜接，在突出原教材主干知識與核心內容的同時，積極關注新教材、新高考的熱點與趨勢.