巧思維破解，妙視角拓展：一道離心率題的求解

摘要：圓錐曲線離心率及其綜合問題，是歷年高考數學試卷中的重點與熱點，考查形式多樣，場景變化多端.結合一道模擬題中橢圓離心率的求解，借助不同思維方式的應用，合理進行邏輯推理與數學運算，歸納總結解題技巧，巧妙變式與拓展，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：橢圓；離心率；勾股定理；平面向量；雙曲線

圓錐曲線離心率的求值或最值（或取值范圍）問題，是基于橢圓或雙曲線的問題場景，巧妙融入平面幾何與平面向量等幾何知識，或函數與方程、不等式以及三角函數等代數知識，非常契合高考數學試卷“在知識交匯點處命題”的指導思想；同時是多種思維方式切入與應用的基地，是數學命題與創新應用的一個重要場景，也是各類模擬考試與高考試卷中的熱點問題之一，備受各方關注.

1 問題呈現

問題 （2024年浙江省溫州市普通高中高三第三次適應性考試數學試卷·7）已知F1，F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，C上兩點A，B滿足：AF2=2F2B，cos∠AF1B=45，則橢圓C的離心率是（" ）.

A.34

B.74

C.23

D.53

此題以橢圓為問題場景，結合橢圓上兩點與兩個焦點之間所對應的平面向量的線性關系及相應角的三角函數值，確定橢圓的離心率.以簡單明了的場景創設，巧妙地將平面解析幾何、平面幾何、平面向量及三角函數等相關知識加以交匯與融合，實現知識之間的聯系與轉化.

2 問題破解

解法1：勾股定理法.

依題，設|BF2|=tgt;0.結合AF2=2F2B，可得|AF2|=2t.

根據橢圓的定義，可得|BF1|=2a－t，|AF1|=2a－2t.

如圖1，在△AF1B中，由余弦定理，可得（3t）2=（2a－2t）2+（2a－t）2－2（2a－2t）（2a－t）×45，整理可得2a2－3at－9t2=0，解得a=3t或a=－32t（舍去）.

所以|BF1|=5t，|AF1|=4t，|AB|=3t，則有|AB|2+|AF1|2=|BF1|2，可知AB⊥AF1.

在Rt△AF1F2中，由勾股定理得（2c）2=（4t）2+（2t）2，解得c=5t.

所以橢圓C的離心率e=ca=5t3t=53.故選：D.

點評：根據圓錐曲線中的基本量方法，通過設元引入，借助橢圓的定義，結合解三角形中的余弦定理，合理構建各邊之間的關系，為問題的進一步分析與求解奠定基礎.而依托直角三角形的判定與勾股定理的應用，合理構建對應的關系式，為橢圓離心率的求解及其他相關應用創造條件.

解法2：平面向量法.

依題，設|BF2|=tgt;0.結合AF2=2F2B，可得|AF2|=2t.

根據橢圓的定義，可得|BF1|=2a－t，|AF1|=2a－2t.

如圖1所示，在△AF1B中，結合余弦定理，可得（3t）2=（2a－2t）2+（2a－t）2－2（2a－2t）（2a－t）×45，整理可得2a2－3at－9t2=0，解得a=3t或a=－32t（舍去）.

所以|BF1|=5t，|AF1|=4t.

在△AF1B中，由AF2=2F2B，可得F1F2=13F1A+23F1B，兩邊平方可得（2c）2=19（4t）2+49（5t）2+49×4t×5t×45，解得c=5t.

所以橢圓C的離心率e=ca=5t3t=53.故選：D.

點評：同樣依托圓錐曲線中的基本量方法，在確定各邊之間關系的基礎上，結合向量的線性關系，借助基底法思維構建對應的平面向量關系式，通過平方運算與轉化，為進一步利用平面向量數量積創造條件.其思維基礎是回歸平面幾何中“形”的幾何特征，合理借助角的余弦值，聯系平面向量數量積的定義公式，通過數學運算與邏輯推理，為問題的進一步深入與應用指明方向.

解法3：中線定理法.

依題，設|BF2|=tgt;0.結合AF2=2F2B，可得|AF2|=2t.

根據橢圓的定義，可得|BF1|=2a－t，|AF1|=2a－2t.

如圖1所示，在△AF1B中，結合余弦定理，可得（3t）2=（2a－2t）2+（2a－t）2－2（2a－2t）（2a－t）×45，整理可得2a2－3at－9t2=0，解得a=3t或a=－32t（舍去）.

所以|BF1|=5t，|AF1|=4t.

設線段AF2的中點為D，在△AF1F2中，結合三角形中線定理有（4t）2+（2c）2=2（|DF1|2+t2）；

在△F1BD中，由三角形中線定理有|DF1|2+（5t）2=2[（2c）2+t2].

消去|DF1|2并整理可得c2=5t2，解得c=5t.

所以橢圓C的離心率e=ca=5t3t=53.故選：D.

點評：同樣依托圓錐曲線中的基本量方法，在確定各邊之間關系的基礎上，合理回歸平面幾何圖形，借助三角形中線定理來分別構建關系式，通過關系式的變形與轉化來確定對應邊的關系.回歸平面幾何圖形的幾何本質，回歸“形”的幾何特征，從初中平面幾何知識來分析與轉化，解題的關鍵就是圖形的直觀分析，借助直觀想象與平面幾何的基本性質來分析與推理.

3 變式拓展

3.1 場景變式

根據以上問題及其求解過程，合理從問題的設置場景方式入手，改變條件的設置方式來巧妙進行變式.

變式1 已知F1，F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，C上兩點A，B滿足：F1F2=13F1A+23F1B，cos∠AF1B=45，則橢圓C的離心率是（" ）.

A.34

B.74

C.23

D.53

變式2 已知F1，F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，C上兩點A，B滿足：AF2=2F2B，AF1·AB=0，則橢圓C的離心率是（" ）

A.34

B.74

C.23

D.53

當然，除了以上兩種不同的問題設置場景及方式，還可以深化問題的實質，創設其他與之相關的場景設置來綜合與應用.

3.2 類比變式

挖掘以上問題中的本質與內涵，從橢圓這一特殊的圓錐曲線入手，合理進行類比推理與深度學習，并進行巧妙的變式與拓展.

變式3 已知F1，F2是雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點，C上兩點A，B滿足：AF2=2F2B，cos∠AF1B=45，則雙曲線C的離心率是（" ）.

A.54

B.174

C.43

D.173

4 教學啟示

解決涉及圓錐曲線離心率的求值或最值（或取值范圍）問題，關鍵在于剖析橢圓或雙曲線中對應曲線的實際場景，正確尋找并構建基本量a，b，c所滿足的關系式.

而在實際尋找并正確構建橢圓或雙曲線中基本量a，b，c所滿足的關系式時，往往可以從“數”或“形”兩個視角層面來展開.或從“數”的代數視角切入，利用代數思維，結合函數與方程等建立對應的等量關系式；或從“形”的幾何視角切入，利用幾何思維，結合平面幾何圖形直觀尋找相關圖形中的幾何關系.