函數概念認知對高中數學解題的干預

摘要：在函數學習中，學生函數概念的認知水平，直接決定了高中函數知識的理解和掌握情況，也是影響學生函數解題能力的主要因素.本文結合函數解題教學實踐，對基于函數概念認知情況的解題教學模式進行了詳細的探究，獲得了一些結論.

關鍵詞：高中數學；函數概念認知；函數解題

縱觀整個高中數學課堂教學體系，函數內容貫穿其中，并占據十分重要的地位.同時，函數也是高中數學學習的重難點，在考試中占據很大的比例，且考查的題目類型靈活多變，常常與其他的內容綜合到一起.在傳統的高中數學解題教學中，常常寄希望于“題海戰術”模式，旨在借助大量的函數解題訓練，提升學生的函數解題能力.但在實踐中發現，“題海戰術”效果不甚理想，學生常常因為概念不清等問題，導致其在解題時面臨諸多困難，甚至導致其成績忽高忽低.同時，“題海戰術”的訓練模式也在很大程度上增加了高中生的學習負擔.“雙減”背景下，部分教師開始意識到學生的函數概念認知與數學解題之間的關系，并嘗試提升學生函數概念認知水平，強化學生的函數解題教學，從而培養學生的函數解題能力.

1函數概念認知與高中函數解題研究

1.1基于函數概念，直接解決問題

在高中函數這一部分內容學習中，概念是基礎和關鍵，直接影響了學生的解題能力.尤其是部分函數題目，難度系數比較低，基本上都是緊緊圍繞函數概念設置的，學生只要掌握函數概念，吃透概念，就可以順利解答.

例1求函數y=x-｜1-x｜的單調增區間.

分析：這一函數題目相對比較簡單，學生只要對函數單調性的相關概念吃透，即可結合概念知識，通過該函數圖象（如圖1）的輔助，順利找到該題目的答案，即（-∞，1］.可以說，在這一題目中，學生對相關概念的認知情況，直接決定了學生的解題效果，唯有徹底理解和掌握相關的數學概念，才能高效、正確地解答這一問題.

例2已知函數y=f（2x＋1）的定義域是（1，5），求解函數y=f（x-3）的定義域.

分析：這一道數學題目看似非常簡單，是對函數概念的考查，但是多數學生在解答問題時，常常因為概念理解不清，導致其在解題時出現錯誤的解題思路，即y=f（2x＋1）的定義域是（1，5），因此1＜2x＋1＜5，解得0＜x＜2，即y=f（x-3）的定義域為（-3，-1）.也有的學生在解題時，認為1＜x＜5，因此，3＜2x＋1＜11，所以y=f（x-3）的定義域為（0，8）.其實這兩種解題思路都是錯誤的，其根本原因就是概念理解不清.針對y=f（x）與y=f（2x＋1）的概念認知不夠清楚，學生唯有理解這一概念，明確函數y=f（x）中，x具備兩重身份，即x不僅僅是自變量，還是法則f作用的對象.如此，基于這一函數概念，就可明確2x＋1和x-3的范圍是一致的，因為1＜x＜5，所以3＜2x＋1＜11，3＜x-3＜11，即6＜x＜14，因此得出函數y=f（x-3）的定義域為（6，14）.

例3已知函數f（x）=ex（2x-1）-ax＋a，其中a＜1，如果存在唯一整數x0，使得f（x0）＜0，那么a的取值范圍應該是多少？

分析：這一題目建立在函數概念基礎之上，學生唯有真正內化、理解了相關的概念，才能在解題的時候，從不同的角度進行思考，最終找出具體的解題方法.根據題目含義可知，要使得f（x）=ex（2x-1）-ax＋a＜0存在唯一整數解為x0，則ex0（2x0-1）-ax＋a＜0.假設g（x）=ex（2x-1），h（x）=ax-a，則g′（x）=ex（2x＋1），因此，在區間-∞，-12上，g（x）單調遞減；在區間-12，+∞上，g（x）單調遞增，因此h（0）＞g（0），h（-1）≤g（-1），最終得出32e≤a＜1.

1.2深挖隱藏的函數關系，簡化函數問題

在高中函數問題中，部分函數問題難度相對比較大.面對這一現狀，唯有增強學生對函數概念的理解，引導學生在明確的函數概念認知中，厘清函數中存在的關系，才能在解題時深挖其中蘊含的函數關系，并運用所學的知識進行簡化，最終達到解決函數問題的目的.［1］

例4設g（x）=mx2＋x＋1.

（1）若g（x）的定義域為R，求m的取值范圍.

（2）若g（x）的值域是［0，＋∞］，求m的取值范圍.

分析：這一類型的函數題目在考試中占據的比例比較大，并且具備一定的難度，對學生的要求相對比較高，唯有全面、深刻掌握相關的函數概念，在對其內化的基礎上，融入一定的分類討論思想，方可進行正確解答.

在對第（1）問進行解答的時候，根據相關的函數概念，以及題目中的已知條件可知，f（x）=mx2＋x＋1≥0恒成立.在這一條件下，融入分類討論思想，當m=0時，f（x）=x＋1≥0不恒成立；當m≠0時，要想滿足題意，必須滿足兩個條件，即m＞0，

Δ=1-4m≤0，解方程組可得m≥14，最終可求出m的取值范圍，即m∈14，＋∞.

在對第（2）問進行解答的過程中，學生也必須建立在深厚的概念基礎之上，對函數概念進行內化，并結合題目得出f（x）=mx2＋x＋1能夠取得大于或者等于0的所有實數.當m=0時，f（x）=x＋1≥0，能夠取得所有大于或者等于0的實數；當m≠0時，要想滿足題意的要求，則有m＞0，

Δ=1-4m≥0，解得0＜m≤14.綜上所述，m的取值范圍為0，14.

1.3基于函數圖象，優化函數解題

在高中函數解題中，圖象是最為重要的輔助工具.同時，函數圖象也是學生函數概念認知能力的具體體現.鑒于此，在指導學生解決函數問題時，必須結合必要的函數概念知識，再結合一定的函數圖象分析，從中得出正確的答案.

例5求不等式16-x2＋8x-x2＞4的解集.

分析：這一道函數問題與不等式知識進行了有效的融合.從總體上來說，這一問題的難度系數不大，但是在解答時學生需要具備扎實的函數概念知識，能夠結合函數內容，準確畫出函數圖象，并以此作為切入點進行解題.解答過程中，可先對原來的不等式進行變形，得到16-x2＞4-8x-x2.之后，令y1=16-x2，y2=4-8x-x2.

通過所求不等式的兩次變形之后，可得出x2＋y21=16（y1≥0），（x-4）2＋（y2-4）2=16（y2≤4）.

在對問題進行解答時，學生唯有具備扎實的函數概念知識，才能結合這兩個函數的解析式，將其圖象（如圖2）準確地畫出來，隨即結合圖形觀察，即可得出不等式對應的解集為｛x|0＜x＜4｝.

1.4基于函數性質，優化函數解題

在高中函數學習中，性質是函數概念的拓展和延伸，也屬于基本的函數知識，是學生解答函數問題的重要工具.一旦學生在解題的時候，出現函數性質不明的現象，就會導致解題思維受到限制.

例6設函數f（x）=ln｜2x＋1｜-ln｜2x-1｜，該函數（）.

A. 是偶函數，且在12，＋∞上單調遞增

B. 是奇函數，且在-12，12上單調遞減

C. 是偶函數，且在-∞，-12上單調遞增

D. 是奇函數，且在-∞，-12上單調遞減

分析：這是一道非常典型的函數問題，學生在解答的時候，需要深刻掌握相關的函數概念、函數性質等，并在此基礎上，結合題目條件，在函數定義域關于原點對稱的前提下，結合f（x）和f（-x）的關系對函數的奇偶性進行判斷，結合函數自變量的取值范圍，對函數進行簡化，并將其單調性質和符合函數“同增異減”的性質，對函數的單調性展開判斷.因此，在該題目中，結合已有條件得出f（x）的定義域為xx≠±12.結合定義域關于原點對稱的已知條件，得f（-x）=ln｜-2x＋1｜-ln｜-2x-1｜=ln｜2x-1｜-ln｜2x＋1｜=-f（x），由此可判斷出該函數在其定義域內是奇函數，對x∈-12，12時，函數f（x）的增減性進行判斷，結果顯示該函數在該區間單調遞增；當x∈-∞，-12時，函數f（x）在該區間單調遞減.綜上所述，可得出正確的選項為D.

2函數概念認知在函數解題應用中的教學啟示

結合上述分析，不難發現在高中函數問題解答中，學生的函數概念認知情況直接決定了函數解題的效果.實踐證明，全面提升學生的函數概念認知水平，可提升學生的符號化水平，使得學生在解題時，能夠將數字、文字、圖象等進行轉化，以便迅速掌握題目的核心，牢牢把握函數題目的重點內容，進而在短時間內形成明確的解題思路.［2］可以說，在高中函數解題教學中，學生對函數概念的認知水平，直接決定了學生的解題水平.

2.1發現數學概念在整個高中函數學習中，概念構建起了整個框架，學生在學習的過程中，唯有深刻理解數學概念，

構建系統化的知識體系，才能更好地開展解題.［3］鑒于此，高中數學教師必須轉變傳統的函數概念教學模式，借助問題驅動學生的思維，引導學生在自主探究中，經歷函數概念的生成、發展過程，最終在深度學習過程中，深刻把握數學概念知識.

2.2加深函數概念知識的理解

在高中函數概念教學中，為了提升學生的函數概念感知力，教師在開展概念教學時，不僅僅要借助問題的引導，幫助學生在已有知識的基礎上，構建新的函數概念，還應引導學生對函數概念進行深度解讀，關注函數概念中的關鍵詞，以便于學生更好地理解函數概念.［4］同時，鑒于函數概念涉及的知識面比較廣，學生在學習的時候，常常出現理解不到位的現象，必須圍繞函數概念核心，結合其關鍵詞，從多個層面進行引導，使得學生在多角度的剖析中，對函數概念知識形成全面、深刻的理解，真正掌握函數概念的本質.

2.3加強數學概念的應用函數的概念具備極強的連貫性，在提升學生函數概念認知力時，如果只是簡單地講解概念，學生的函數認知力僅限于表層，難以對其形成深刻的理解.鑒于此，在優化函數概念教學時，必須提升函數的實用性，結合具體的函數概念，精心選擇實例，以便于學生在函數概念的實例應用中，形成深刻地感悟和理解.需要說明的是，在選函數概念應用實例時，還應立足函數概念的連貫性，既要包括對舊知識的復習，還應關注函數概念的拓展，確保學生在函數概念的應用中，逐漸形成系統化的知識體系.［5］

3結語

在高中數學教學體系中，函數解題尤為重要，同時也是教學的重難點.鑒于當前高中函數解題教學的現狀，高中數學教師在優化函數解題教學時，應立足學生函數概念認知能力與解題之間的關系，重視函數概念的教學，優化函數概念教學的手段，使得學生在函數概念的生成、發展、應用探究活動中，逐漸形成極強的函數感知能力.只有做到這一點，才能在解題的時候，靈活利用函數概念、性質和圖象等解題工具，不斷提升自身的函數問題解決能力.

參考文獻

［1］張坤.關于高中數學函數解題思路多元化的方法舉例探索［J］.數理化解題研究，2022（27）：56-58.

［2］蔡洪洪.淺談高中數學函數解題思路多元化的方法［J］.數理化解題研究，2021（24）：16-17.

［3］甘德學.例析高中函數性質在解題中的活用［J］.高中數理化，2020（18）：4.

［4］張繼潤.函數概念認知對高中數學解題的影響——以函數為例［J］.考試周刊，2020（17）：119-120.

［5］余文.利用圖象特征巧解高中數學函數題研究［J］.成才之路，2019（27）：57-58.