運用柯西不等式解題的方法與技巧

摘要：柯西不等式以其獨特的對稱結構形式和豐富的內涵，在數學解題中得到廣泛的應用.解題的思路是通過變形來溝通待解決的問題與柯西不等式之間的聯系，常見的變形方法與技巧有添項、拆項、分解、組合、配湊、變量代換等.本文通過例題的求解詳細闡述運用柯西不等式解題的方法與技巧，旨在提升學生的解題能力，發展學生的綜合素養.

關鍵詞：柯西不等式；最值問題；幾何類問題

柯西不等式既是高中數學中的一個重要不等式，也是歷年高考數學中一個重要的考點和熱點.高考試題中最常見的是以選擇題、填空題、簡答題等題型求代數式的最值［1］，或者借助柯西不等式來證明不等式、恒等式等.

1柯西不等式的內涵

1.1柯西不等式的不同形式

柯西不等式有以下四種形式.

（1）二維形式.若a，b，c，d都是實數，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時，等號成立.

（2）二維三角形式.設x1，y1，x2，y2∈R，則x21+y21+x22+y22≥（x1-x2）2+（y1-y2）2，當且僅當x1y2=x2y1時，等號成立.

（3）向量形式.設α，β是平面上的兩個向量，則|α·β|≤|α||β|，當且僅當β是零向量或存在實數k，使α=kβ時，等號成立.

（4）多維（一般）形式.設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，當且僅當bi=0（i=1，2，…，n）或存在一個實數k，使得ai=kbi（i=1，2，3，…，n）時，等號成立.

多維形式是二維形式通過構造函數法的推廣.按照“循序漸進，由特殊到一般”的規律和方法，學生需先學習較簡單的二維形式，再學習三維形式，進而推廣為多維形式的柯西不等式.

1.2柯西不等式的證明

下面是對柯西不等式一般形式的證明.

1.2.1構造法

證明：若ai=0（i=1，2，…，n），顯然柯西不等式等號成立，原不等式為真.

若ai（i=1，2，…，n）不全為零，可以構造二次函數f（x）=（a21+a22+…+a2n）x2+2（a1b1+a2b2+

a3b3+…+anbn）x+（b21+b22+…+b2n）.

∵f（x）=（a21x2+2a1b1x+b21）+（a22x2+2a2b2x+b22）+…+（a2nx2+2anbnx+b2n）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2≥0，且其二次項系數a21+a22+…+a2n＞0 .

∴判別式Δ≤0，即（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，

當且

僅當a1x+b1=a2x+b2=…=anx+bn=0，即bi=0（i=1，2，…，n）或存在一個實數k，使得ai=kbi（i=1，2，3，…，n）時，等號成立.

1.2.2數學歸納法

當n=1時，等式顯然成立.當n=2時，左邊=（a21+a22）（b21+b22）=（a1b1）2+（a2b2）2+（a1b2）2+（a2b1）2≥（a1b1）2+（a2b2）2+2a1a2b1b2=（a1b1+a2b2）2=右邊，當a2b1=a1b2，即a1b1=a2b2時，等號成立.

故n=1，2時，不等式成立.

假設n=k（k∈N，k≥2）時，不等式成立，即（a1b1+a2b2+…+akbk）2≤（b21+b22+…+bkk）·（a21+a22+…+akk）.

當bi=λai（λ為常數，i=1，2，…，k），或a1=a2=…=ak=0時，等號成立.

設A=a21+a22+…+a2k，B=b21+b22+…+b2k，C=a1b1+a2b2+…+akbk.

（A+a2k+1）（B+b2k+1）=AB+Ab2k+1+Ba2k+1+a2k+1b2k+1≥C2+2Cak+1bk+1+a2k+1b2k+1=（C+ak+1bk+1）2，即（a21+a22+…+a2k+a2k+1）（b21+b22+…+b2k+b2k+1）≥（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2

當bi=λai（λ為常數，i=1，2，…，k，k+1）或a1=a2=…=ak=ak+1=0時，等號成立，即n=k+1時，等號成立.

綜上所述，不等式對一切自然數n均成立.

2運用柯西不等式解題的方法與技巧

2.1求最值類問題

求一個變量的最值時，首先是分離目標變量，然后利用柯西不等式建立目標變量的不等式，最后通過解不等式即可獲得該變量的最值.

當求多元變量代數式的最小值時，通常是將多元變量代數式整理移動到柯西不等式的左邊；

當求多元變量代數式的最大值時，通常是將多元變量代數式整理移動到柯西不等式的右邊.

2.1.1配方法

柯西不等式具有固定的結構，對于不符合柯西不等式形式的問題，解題時要先分析其特點與結構，充分利用已知條件進行配湊，再應用柯西不等式.

例1已知c＞0，a，b為非零的實數，并滿足4a2-2ab+4b2-c=0，當|2a+b|最大時，求3a-4b+5c的最小值.

解析：因為柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當

且僅當

ac=bd時，等號成立，所以4a2-2ab+4b2-c=0c4=a2-12ab+b2

=a-b42+1516b2，根據柯西不等式，得a-b42+1516b2·（A2+B2）≥Aa-b4+B·

154b2，只有當Aa-b4+B154b=|2a+b|時，才能保證|2a+b|取得最大值，所以就有Aa=2a，即A=2.又2a-b2+154Bb=2a+b，即B=615.

因為2a-b4+615154b=2a+b，且有A2+B2=22+6152，所以a-b42+1516b2·22+6152≥2a-b4+615154b2.

當a-b42=154b615時，|2a+b|取得最大值，所以a=32b，c=10b2，3a-4b+5c=121b-22-2≥-2，即最小值為-2.

思路與方法：本題不能直接套用柯西不等式，需要先對4a2-2ab+4b2-c=0進行配方處理，使之符合柯西不等式的形式后再求解.

2.1.2換元法

在求最值的過程中，有時需要通過換元的方法對原式和目標式進行變形，目的是“拼湊”出與柯西不等式相似的結構，為柯西不等式的應用創造條件.

例2已知實數x，y，z滿足x2+y2+z2+4x+2z-7=0，試求x+y+z的最大值.

解析：將原式x2+y2+z2+4x+2z-7=0整理變形為

（x+2）2+y2+（z+1）2=12.

設x+2=w，y=v，z+1=u，得（x+2）2+y2+（z+1）2=w2+v2+u2=12.

x+y+z=w+v+u-3，因為（w+v+u）2≤（12+12+12）（w2+v2+u2）=36，

所以-6≤w+v+u≤6，當且僅當w=v=u=2時，w+v+u取得最大值6，此時x+2=y=z+1. 由此可知x+y+z的最大值為6-3=3.

思路與方法：本題通過恰當地引入新變量代換原式中的部分式子，不僅為運用柯西不等式創造了條件，而且達到了化難為易、化繁為簡的效果.

2.1.3轉化法

當不能直接運用柯西不等式時，應先通過拆項、重組等方法，將原式轉化為符合柯西不等式的形式后再求解.

例3已知正數a，b，c滿足a+b+c=6，試求2a+2b+1+2c+3的最大值.

解析：根據正數a，b，c滿足a+b+c=6的已知條件，由柯西不等式可得（2a+2b+1+2c+3）2=（1×2a+1×2b+1+1×2c+3）2≤（12+12+12）·（2a+2b+1+2c+3）=3（2a+2b+2c+4）=48，當且僅當2a=2b+1=2c+3，即a=83，b=136，c=76時，等號成立，則有2a+2b+1+2c+3≤43，即2a+2b+1+2c+3的最大值為43.

思路與方法：解答本題的關鍵是利用柯西不等式將原式通過變形與轉化，化根式為整式后再求解.可見，對于三元及以上的根式類問題，借助柯西不等式加以轉化變形是常用的一種方法.

2.2幾何類問題

靈活運用柯西不等式，不僅在代數方面能夠幫助我們快速簡捷地解決問題，而且在解決幾何類問題時同樣具有極大的優越性.［2］

例4已知圓的半徑為R，求該圓內接長方形周長的最大值.

解析：如圖1所示，設內接長方形ABCD的長為x，寬為4R2-x2，長方形的周長為C=2（x+4R2-x2）=2（1·x+1·4R2-x2），由柯西不等式可得

C≤2x2+4R2-x2212·（12+12）12=2×2R×2=42R.

當且僅當x1=4R2-x21，即x=2R時，等號成立.此時，寬為4R2-（2R）2=2R，即長方形ABCD為正方形時，其周長最大，最大值為42R.

思路與方法：本題先表示出長方形的周長，得出目標函數，然后利用柯西不等式的推論來求解.

3結語

熟練掌握對多項式進行湊項、拆項、分解、組合等變形的方法與技巧，是應用柯西不等式解題的關鍵.因此，教師在平時的教學和備考中要強化此類訓練，通過有針對性的練習，幫助學生逐步達到熟能生巧、運用自如的目的.

參考文獻

［1］張靜.魅力無窮的柯西不等式——基于一道教材習題的探究［J］.高中數理化，2023（5）：27-28.

［2］周琳娟.柯西不等式的應用及其考查類型［J］.中學生數理化（高考數學），2023（6）：24-26.