變式教學在高中數學圓錐曲線中的應用研究

摘要：圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，是高考數學的重難點之一，對學生的運算和思維有著較高的要求.這部分知識繁多且復雜，對學生具有極大的挑戰.傳統的教學使學生處于被動接受中，不利于學生深入了解知識的本質.新課標中對數學教學提出了新的要求，積極推廣并實施新的教學方法，以培養學生獨立思考、大膽探索、合作交流的學習方式，變式教學與課程改革理念中所強調的學生能力培養要求相契合.因此，變式教學在圓錐曲線的教學中具有關鍵性作用.

關鍵詞：高中數學；圓錐曲線；變式教學；教學策略

圓錐曲線的理論知識點繁多，對于高中學生來講，面臨的學習負擔沉重，且必須在有限的時間掌握，因此掌握高效的學習策略顯得格外重要.采取多樣化的學習方式來應對圓錐曲線的課題，可以幫助學生徹底掌握已學的知識，鼓勵學生積極掌握數學概念，在解決數學問題的歷程中掌握數學知識，同時提升對數學這門學科的自信.經深入剖析圓錐曲線變式教學實踐中的問題及其根本原因，本文依據教師和學生這兩個視角提出了如下對策.

1加強集體備課，分享教學經驗

圓錐曲線在高中數學教學內容中占據了重要地位，對于學生而言，它不僅富有挑戰性，還對學生的思維能力提出了較高的要求.教師對教育理念的領悟及施教手法皆不盡相同，集體備課成為一個互通有無的舞臺，教師借此交流心得，集思廣益，進而促成小幅調整促發深刻轉變，以期獲得更優質的授課成效.在集體備課的階段，教師可以交流他們在講授圓錐曲線時，巧妙運用多樣化教學策略的經驗.教師通過互相借鑒和推薦，攜手克服了實際授課中遭遇的諸多挑戰.［1］這有助于增強學生的綜合素質，并對持續提升教學水平產生積極影響.采用集體備課的模式能夠協調一致各班級的授課節奏，對教師加深對變式教學策略的認識以及處理實際教學中的難題大有裨益.此外，此舉也擴展了學生思維的空間，有助于喚起他們對數學這個學科的熱情，進而促使他們積極投入課堂互動中.因此，當實施多樣化的教學策略時，教師需特別注重集體備課，并在教學圓錐曲線時增進研討與溝通，幫助學生解決疑惑和不確定問題，進而提高教學效果.

2深度挖掘教材，充分解析素材

隨著輔助教材和互聯網技術的不斷提升，在備課所能分配的時間愈發有限的背景下，教師傾向于采用現成的教輔資源改編形式，或者簡單地匯總課本中的練習題目，卻忽視了對教材內容的深化拓展.教師需高度注重教材內容與課堂教學的相互聯系.教材不只體現了教學大綱的實際運用，同時也承載了大部分教學素材.因此，教師需要充分發掘并且利用教材，對教材內容進行調整，進而使學生深刻掌握其背后的知識架構.借助差異性的教學方法可促進學生理解數學的基本原理與定律，增進數學修養，養成優秀的學習風格，拓展邏輯思維技巧.［2］教師應深刻掌握圓錐曲線這一關鍵知識點，全方位熟練掌握相關教材內容，透徹辨析教材所要傳達的核心要旨，進一步挖掘教材的深遠寓意，增強各知識點之間的聯結，辨識它們的共性，構筑起新、舊知識間的紐帶，整合教學資源的同時，加深對基礎知識的理解與運用.教師應針對圓錐曲線的學習模塊，透徹解析其可變參數的層面，并且對教學材料執行適宜的改編，在現行理解能力的基礎上創設、創新教學內容.這樣一來，不僅有助于學生溫故知新，在變式教學模式下提高他們的學習成效，同時保證了教學過程的順暢銜接.

教學過程中教師可將教材中的例題和練習題放在一起進行研究，創設新的題目.

新題設A，B兩點的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程.

解析：假設點M的坐標為（x，y），因為點A的坐標為（-5，0），所以直線AM的斜率為kAM=yx＋5（x≠-5）.同理，直線BM的斜率為kBM=yx-5（x≠5），由已知有yx＋5×yx-5=-49（x≠±5）化簡得x225+9y2100=1（x≠±5）.因此，點M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點的橢圓.

教師通過變題練習幫助學生鞏固所學，指導他們梳理尋找解題軌跡的基本步驟，并讓他們領悟多個問題采用同一解法是解題變化中的一種策略.

3變式難度適當，面向全體學生

教師施行圓錐曲線變式教學法時，須顧及學生之間的差異性，依據其已有的知識水平調整教學方案，激發那些基礎薄弱學生的學習熱情與參與度.如果題目改編的難度偏高，可能打擊學生的學習熱情；反之若太簡單，則會導致教學內容失去深度，難以喚醒學生的好奇心和發掘其潛力，改編題目的優點亦難以在教學過程中顯現.［3］變式教學理應依循學生最近發展區進行逐層次深入的構建，從而補足學生在知識與技術層面的潛在缺陷，幫助學生樹立初步理念，并獲取初階實踐體驗.因此，教師需站在學生的角度，針對其心理屬性進行適當調整，簡化難題，以便于學生領會，逐步攻破問題.

以學習橢圓離心率的取值范圍相關知識為例，在編寫例題時，教師應遵循由易到難、循序漸進的原則.

例題已知F1， F2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右焦點，點P在C上，PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則雙曲線C的離心率為.

解析：焦點三角形條件背景下求雙曲線的離心率，一般結合雙曲線的定義，運用已知條件研究出△PF1F2的三邊之比或內角正弦值之比，得到

e=ca=2c2a=｜F1F2｜||PF1｜-｜PF2｜｜=sin∠F1PF2｜sin∠PF1F2-sin∠PF2F1｜.

不妨設｜PF2｜=1，則｜PF1｜=3，｜F1F2｜=2，由橢圓離心率公式，得

e= ｜F1F2｜｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=23-1=3＋1.

變式1已知F1，F2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右焦點，過F1且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A，B兩點，若△ABF2是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為.

解析：因為△ABF2是等腰直角三角形，所以△AF1F2也是等腰直角三角形.由離心率公式，得

e=sin∠F1PF2｜sin∠PF1F2-sin∠PF2F1｜=sin45°｜sin90°-sin45°｜=2＋1.

變式2過雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左焦點F1作x軸的垂線交C于A，B兩點，C的右焦點為F2，若cos∠AF2B=18，則雙曲線C的離心率為.

解析：由題，cos∠AF2B=cos2∠AF2F1=2cos2∠AF2F1-1=8，解得cos∠AF2F1=34，即|F1F2||AF2|=34.

不妨設|F1F2|=3，|AF2|=4，則|AF1|=7，所以e=|F1F2||AF2|-|AF1|=34-7=4+73.

【設計意圖】上述三個問題依次設計，形成了一個遞進式學習的過程，讓學生逐漸領會并學會離心率相關的運用.尤其是變式2，鑒于其融入了三角函數的恒等式轉換知識，對學生的能力要求更高.直接推演變式2有可能導致一些學生困惑，所以從簡易案例出發并融入三角函數公式，以此逐漸引導學生解題.通過這種方式，既可以輔助學生記起雙曲線的離心率計算方法，又能保證每位學生發現最適合自己的掌握途徑，減輕了學習的難度，增加了學習的樂趣.在案例教學的帶動下，筆者逐漸提高了題目的難度水平，促使學生能在掌握的知識陣地上持續自我突破，養成他們的探求能力.在解答例題時，先設出PF2的長，隨后依據垂直性質確定PF1的長，由此推導出焦距的值，最后運用相應的公式來計算離心率，這樣既加深了學生的基本理解，又提升了他們分析推斷的能力.在變式2解題中，針對焦點三角形知識的測試標準進行了進階加強.盡管如此，得益于早先的例題以及變式1的基礎搭建，學生形成了一套理論結構，從淺入深，能夠更加自信地迎接這次考驗.此過程充分顯現了富于意義的學習理論的核心觀點，即在學生現有認知與新領域知識之間架設紐帶，確保每一名學生都能融入學習過程，并獲得解決棘手問題技巧的機會.這不僅能促進學生邏輯思維的精進，也能喚醒他們創新的思想火花，促使他們在各自的層面上取得進步.

4變式數量適度，重視學生體驗

課堂教學中，如果變式練習的次數太頻繁，學習的樂趣將減少，容易使學生感到疲乏，失去積極探求的動力，這與教學的初衷相悖.另外，上課時間有其固定限制，變式太多會擠占后續教程的時間，使得之后的內容倉促應付，影響教學效果.變式少到一定程度，又會限制問題探索的廣度和深度，進而影響學生思維能力的全面發展.因此，教師應當巧妙地構思變式設計，確保既揭示知識相互之間的聯系，又能彰顯其固有的特性.教師需準確了解變式的數量，數量的大小并不是決定性因素，真正重要的是準確度.施行變式教學時，教師需依據教育對象量力而行，設計教案時要兼顧教學內容的難易程度與學生的理解能力，并且在授課前清晰界定差異教學的應用邊界.授課時，教師需以既定目標為引領，兼顧學生的接受程度，恰當掌握適度原則.實施過程中，教師應關注學生的參與頻率、表情的微妙變化以及課堂互動反饋，適當改進教學方法，以期達到最佳的教學成效.教與學應該并重，僅僅教師向學生傳授課程內容遠遠不夠，學生亦需積極參與其中，使學習過程由被動轉為主動.在涉及圓錐曲線的學習中，學生應在掌握初步概念之后，積極進行多樣化的練習，課余時間應養成自我反思與梳理的習慣，通過這種方法才能深化對知識的認識與掌握.這樣，在多變的習題訓練過程中，他們才能開闊思路，從新穎的視角審視和思索問題.

5優化布置創新型作業，拓展課外多樣化學習空間

多樣化的教學方法并非只適用于基礎數學課程，在課堂以外，學生亦應被賦予實踐不同教學模式的自由.此類多變的教學方式被視作一項行之有效的教學策略.研究拋物線等二次函數過程中，所牽涉的理論點頗為繁雜，這導致課堂講授時難以對各環節內容做到細致全面地呈現.運用多樣化的教學策略，既能夠增強學生對學習內容的理解與記憶，也能構建一個供學生獨立研究和應用多樣化學習法的空間，最大限度地發揮多樣化教學法的特殊益處，進而提升學生的實際操作技能.再者，針對“中國學習者悖論”現象，采用差異化的教學策略同樣是一種妥當的闡釋手段.為緩解學生的學業壓力并提升其操作實踐技能，教師可以規劃更為合理的動態性作業內容，創新作業形式.在準備教案的過程中，更為專注并深入探討相關資料，從而構建一整套既合理又具有實操性的動態教學任務.

教師在布置作業時應緊扣教育目標，并依據學生當日所學的知識內容進行適當更改，以確保作業內容與學生已掌握知識相適應.即便外在形態存在差異，教師亦可探索多種呈現方法以創設題目的多樣化，從而維持思想的一致和融洽，激發學生探索多種解題途徑，感悟不同策略的優劣，以便在面對未來相似難題時能夠更有效率地運用恰當的應對技巧.構建具有一致性的習題時，教師要讓學生在解決問題的過程中明確他們所使用的解題方法和思考方式，從這批相似的問題中總結出普適性的處理辦法，提升學生在解決多個問題時運用統一解答技巧的能力.為激發學生的好奇心和實驗精神，教師應設計多樣化的探究型任務，以此拓展學生的思考邊界及其深層次的認知能力.

6結語

在實際的圓錐曲線教學過程中，教師在設計變式時必須遵循相應的規則.首先，教師需要設計出具有針對性的變式，而不是盲目地進行.這需要以存在的問題為中心，針對學生的特定思維進行專門的訓練.其次，變式應以學生的具體需求為基礎，既需保證變式的復雜程度，滿足他們總體上的接納程度，又需保證變式的數量恰如其分.唯有如此，學生的參與熱情才能得以激發.同時，鑒于課程的時長是有限的，教師需要恰當地掌控這個“度”.

參考文獻

［1］李琴.高中數學變式教學應用析談——以“圓錐曲線的方程”為例［J］.考試周刊，2023（31）：76-80.

［2］蔣火桂.GeoGebra可視化教學在高中數學探究活動中的應用——以圓錐曲線中動點軌跡問題為例［J］.數理天地（高中版），2024（9）：128-130.

［3］陳鋒，沈才權.GeoGebra在高中數學單元教學中的應用探微——以《圓錐曲線的方程》為例［J］.試題與研究，2022（18）：36-38.