新課標下高中數學復數的有效教學研究

摘要：新課標將“課堂有效性”作為數學教學工作的主要方向，為教學創新提供了重要參考，促進了數學教學的改革發展.復數作為高中課程體系中的教學內容，在數系擴充理論發展和學生思維培養方面具有積極的影響，需要教師以實際教學情況為基礎進行深入研究.

關鍵詞：新課標；高中數學；復數

復數的合理化應用，對于解答數學問題、培養數學思維具有重要的影響.復數在運算和幾何中都有廣泛應用.因此，在整合高中數學知識點時，教師應加強復數概念學習，通過引入相關知識點，使學生主動探索復數的幾何意義；通過強化學生對復數知識的應用技能，使其逐步形成良好的數學學習行為，為學習復數的四則運算奠定基礎.在教學過程中，教師通過幫助學生解答復數疑慮，強化復數學習技能，旨在幫助學生提高綜合性實踐能力，為發展數學思想奠定堅實基礎.

1“數系的擴充和復數的概念”教學設計

1.1教材分析

“數系的擴充和復數的概念”知識點是人教A版《普通高中教科書數學必修第二冊》第七章中7.1節“復數的概念”第1課時的知識，其教學內容涵蓋復數的產生、數系的擴充、復數的概念.教師在類比實數系擴充的方法下，引入復數的概念、定義虛數的概念，這個過程能夠體現復數知識點的學習必要性，使學生養成良好的數學科學思維.［1］在這一階段學習過程中，學生已掌握非負整數集、正整數集、整數集、有理數集和實數集的概念知識以及運算法則，為復數學習做好知識鋪墊.同時，學生已經對方程的概念、方程的解，以及通過一元二次方程求解進行學習與應用，為本章節知識學習做好準備工作.義務教育階段對數學知識的介紹較為詳細，但學生只了解一部分知識，因此，在復數教學過程中，教師應通過優化教學路徑和創新教學方法，幫助學生建構抽象思維.在復數學習過程中，以強化數學能力，提高學科核心素養為目的.

1.2教學目標、教學重點與難點

1.2.1教學目標

本節課的教學目標如下.

（1）探究數系逐步擴充的發展歷程.

（2）深入理解與復數相關的基礎概念.

（3）熟練掌握復數的各種表示方式.

1.2.2教學重點與難點

本節課的教學重點與難點如下.

（1）重點在于了解數系擴充的基本過程，以及復數核心概念.

（2）難點是接受并理解虛數單位的引入.

1.3教學過程

1.3.1創設情境，引入新知

問題1基于一元二次方程相關知識點，x2—10x＋40＝0是否有實數根？

分析：因為Δ＜0，所以該方程沒有實數根.

問題2歷史上有位數學家曾表示該方程其實存在兩個根，大家能否猜測這兩個根是什么？

【設計意圖】通過提出看似矛盾的數學問題，引發學生對所學知識的好奇心，使學生脫離傳統框架束縛，探索新知領域，為后續教學活動的順利實施提供保障.

問題3該方程的兩個根是x＝5±－15，與以往我們所學的實數根有哪些區別呢？

分析：經過對比之后，學生發現根號下是負數，按照常規理解，根號下的負數是沒有意義的，這正是引入復數概念的好時機.

師：當意大利數學家卡爾達諾（G.Cardano）面對這種類型的方程時，也遇到了類似的疑問，他沒有停止探索，而是采取了一元三次方程探究法對方程進行解答，即x3＋px＋q＝0的一個求根公式，

對x3－7x＋6＝0進行求解.

分析：求解過程中，存在負數需要開方的問題.

師：解得這個方程的三個根是1，2，－3，得出負數開方具有現實意義，像－15這樣的數存在研究價值.

師：卡爾達諾把5±－15叫作“虛構的數”，即為a＋b－1.繼卡爾達諾后，法國數學家笛卡爾（R.Descartes）將其命名為“虛數”，瑞士數學家歐拉（L.Euler）用“i”表示－1.

【設計意圖】教師通過教學過程中的有效引導，幫助學生進行數學聯想，利用實數系的擴充學習方法，類比出同樣的情境，得出數學系數的擴充形式，由此幫助學生建構數學思維.［2］

師：學習復數相關知識，如a＋bi（a，b∈R）的數稱為復數，其中i為虛數.由復數組成的集合可以被稱為復數集，通常用z＝a＋bi表示，a為實部，b為虛部.

問題4怎樣計算復數中的i，需要運用什么計算規律？

分析：學生能夠在教師引導下，觀察方程由于根是復數無法開平方，沒有實數解，則x2＋1＝0無實數解.又由于i＝－1，則方程x2＋1＝0有解x＝i，則x2＝－1.

【設計意圖】教師通過循序漸進的教學過程，使學生對復數有更全面的認知.根據歷史上數學家經歷的問題，培養學生科學探究意識，使學生能夠在計算中發現知識中存在的矛盾.在此背景下，幫助學生強化知識學習能力，培養發散性思維，提高數學問題解答能力，與高中數學教學目標保持一致性.基于對復數開平方的深入研究，了解i的計算方法，學習系數擴充本質，使學生在復數中虛數單位i不是憑空捏造的實際情況下感受數學內涵，加強學生對數學概念的認知.［3］

問題5當復數的形式為a＋bi，其中a和b均為實數，如果b＝0，則可以得出什么？

分析：當b＝0時，z＝a為實數.

問題6如果a和b均等于0，則這個復數表示什么？

分析：表示實數0.

問題7如果b≠0，a＝0，又得到什么？

分析：可以得到bi，

稱其為純虛數.

問題8我們能否從上述討論中得出復數、實數、虛數之間的關系？怎樣用圖形表示？

分析：得出復數、實數、虛數之間的關系，如圖1所示.

【設計意圖】分析實數、復數、虛數等的概念，探索其相互關系，培養學生推理意識，促進學生數學思維發展.

1.3.2組織練習，鞏固知識

練習1對5＋6i，8－3i，12－2i，－4－56i，－0.6i，5進行分類？

練習2虛數m是什么數時，復數z＝m＋6＋（m－3）i是以下哪種數？

（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數.

【設計意圖】通過練習1，使學生學習如何對復數進行分類，提高其對數集的理解.通過練習2，融合實數、虛數、純虛數等概念，引導學生進行習題練習，理解本節課程所學知識，從而判斷復數.

2“復數的幾何意義”教學設計

2.1教材分析

當完成對復數基礎知識的學習后，引導學生進行更深入的學習，為學生掌握復數四則運算規律奠定基礎.學生在學習實數的幾何意義、平面向量知識后，通過類比幾何意義，幫助學生借助復平面認識過程，強化對知識點的解讀和理解能力，為學生建構二維思想奠定堅實基礎.

2.2教學目標、教學重點與難點

2.2.1教學目標

本節課的教學目標如下.

（1）對比實數與復數的關系，引導學生理解復數的幾何意義，認識到每一個復數都可以在復平面上找到一個唯一的對應點.

（2）能夠識別復平面上的實軸和虛軸，并理解這兩個軸是如何劃分復平面的.

（3）熟練應用公式計算復數的模，深入理解復數的模所代表的幾何意義.

2.2.2教學重點與難點

本節課的教學重點與難點如下.

（1）重點在于讓學生理解復數的幾何意義.

（2）難點在于讓學生理解復數的模的含義.

2.3教學過程

2.3.1創設情境，引入新知

問題1復數與實數有何種聯系？

分析：復數通常形式為z＝a＋bi，當復數的虛部等于0時，該復數簡化為實數，表明實數集是復數集的子集.

【設計意圖】通過分析復數與實數間的聯系，輔助學生明確復數的根本概念，幫助學生進行歸納與總結，以夯實未來探討復數與幾何相互作用的基礎.

問題2我們是否有可能像表示實數那樣，采用數軸來表示復數呢？

分析：復數由實部與虛部組成，單一數軸無法表達，必須依靠兩條數軸進行表示.

問題3那我們應該如何利用兩條數軸來描繪復數？

分析：平面直角坐標系可以基于有序數對概念構建.

【設計意圖】通過串聯一系列問題的思考鏈條，引導學生深化研究，以提升其學習技能.

問題4由于復數z＝a＋bi可以被一個有序對（a，b）確定，二者之間存在著一一對應關系.如何在有序數與平面直角坐標系中建立這種對應關系？

分析：類似于平面直角坐標系中的表示方法，可以用兩條數軸分別代表實部與虛部.

問題5通過對圖2進行研究，實數軸和虛數軸上的數據點分別展現了怎樣的屬性？

分析：實軸上的所有點都表示實數（包括原點），虛軸上的點除了原點外均表示純虛數.

問題6復平面上的點（2，－3）（0，－2）以及（5，0）分別可以表示什么？

分析：（2，－3）表示復數2－3i，（0，－2）表示純虛數－2i，（5，0）則為實數5.

師：根據本節課所學知識，發現二者之間的關系為

復數z=a+bi與復平面內的點Z（a，b）一一對應.

問題7通過對有序數的分析，還可以發現什么信息？

分析：除了表示點的位置以外，可以用于表示平面向量.

問題8復數是否能與平面向量對應？

分析：考慮到平面向量可以與點Z（a，b）相對應，因此復數也可以通過類似的方式與之對應.

師：通過有序數對，我們發現復數z＝a＋bi、復平面上的點Z（a，b）以及平面向量OZ這三者之間存在著一一對應的關系，如圖3所示.

問題9以上提到的復數、復平面上的點、平面向量之間在描述時有哪些不同之處？

師生總結：復數強調復數的數值屬性及其在復數運算中的作用；復平面上的點關注于復數在復平面上的位置，直觀展示了復數的幾何意義；平面向量則強調復數作為向量的方向和長度屬性，有助于理解和應用復數的實際應用.

【設計意圖】基于數形結合思想的學習能夠幫助學生深入探索復數的相關知識，使學生能夠從實數的數學特征到復數的一般特征學習，由此提高學生的數學推理能力，有效建立數學思想.

問題10既然實數有絕對值的概念，那么復數的絕對值又是什么呢？

分析：復數的絕對值是指復數對應的點與原點之間的距離關系.

問題11如何計算這個距離？

分析：利用復數向量表示，可以得出｜z｜＝｜OZ｜＝a2＋b2.

師：復數在復平面上的位置可以用點Z（a，b）表示，該點與坐標原點O之間的距離被稱為這個復數的絕對值.這一概念類似于實數中絕對值的概念，但在復數域中，擴展到了包含虛部的復數.

【設計意圖】通過科學的學習方法，使學生了解絕對值設計思路，提高學生對數量關系的解讀技能，增強學生對復數模型的理解能力.

2.3.2加強練習，鞏固所學

練習設復數z1＝4＋3i，z2＝4—3i.

（1）在復平面內畫出復數z1，z2對應的點和向量.

（2）求復數z1，z2的模，并比較它們的模的大小.

【設計意圖】第（1）問強調對學生繪圖能力的考查，能夠幫助學生鞏固復數的幾何意義.第（2）問旨在通過進行新知識學習，增強學生計算能力，提高問題解決素質.

2.3.3知識拓展，概括總結

追問1復數z1，z2有什么關系？

分析：實部相等，虛部相反，位置則是關于實軸對稱.

師：當兩個復數的實部相等，同時虛部互為相反數時，這兩個復數互為共軛復數，共軛復數用＝a－bi表示.

【設計意圖】培養學生幾何直觀的核心素養，增強學生學習能力.

追問2本節課學習中，你獲得哪些知識？

【設計意圖】回顧復數的幾何意義，幫助學生強化制圖能力，增強問題解決技能.

3結語

“核心素養”“雙減政策”“素質教育”等理念的提出，對于提高教學質量、減輕學生負擔具有現實意義.在解決數學根本問題過程中，教師應采用“理論＋實踐”的方式，增強學生數學學科思維、強化數學學習技能，發展學生的綜合能力.在高中數學教學中，教師既要發揮傳授者的作用，又要體現引導者的價值，幫助學生進行系統性學習，強化高中生數學核心素養，為學生終身發展奠定堅實基礎.

參考文獻

［1］廖明林.高中數學新課標視域下復數的有效教學研究［J］.高考，2023（31）：42－44.

［2］白小軍，李淑娥.新課標下高中數學有效教學評價策略分析［J］.新課程，2022（25）：58－59.

［3］張春立.淺談新課標下高中數學有效教學的實施策略［J］.數理化學習（教研版），2021（6）：21－22.