本原性問題驅(qū)動(dòng)下初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)策略

【摘要】專題復(fù)習(xí)是一種重要的復(fù)習(xí)形式，如何設(shè)計(jì)好一節(jié)專題復(fù)習(xí)課是教育界同行一直關(guān)注的問題.文章概述了本原性問題驅(qū)動(dòng)下初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)工作的開展，對(duì)平面幾何中的定值問題這一專題的復(fù)習(xí)做了一些嘗試和思考，提出基于本原性問題驅(qū)動(dòng)的專題復(fù)習(xí)的實(shí)施策略，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】本原性問題驅(qū)動(dòng)；初中數(shù)學(xué)；專題復(fù)習(xí)；平面幾何中的定值問題

引 言

專題復(fù)習(xí)是一種重要的復(fù)習(xí)形式，一線教師經(jīng)常將專題復(fù)習(xí)課當(dāng)成習(xí)題課，將同一類型的題目再整理、再練習(xí)，學(xué)生面對(duì)專題復(fù)習(xí)也很迷茫.如何設(shè)計(jì)好一節(jié)專題課，如何讓專題課深入淺出，更容易被學(xué)生接受是這些年來教育界同行一直關(guān)注的問題.現(xiàn)代教育學(xué)借鑒哲學(xué)中對(duì)于“本原”的理解和思考方式提出了本原性問題驅(qū)動(dòng)的理念.這是從教學(xué)方法的設(shè)計(jì)角度出發(fā)的，對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)中最為原始、樸素、本質(zhì)的觀點(diǎn)、思想和方法進(jìn)行引導(dǎo)，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)最本質(zhì)的問題的主動(dòng)性探索和認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生展開學(xué)習(xí)的原動(dòng)力.本原性問題驅(qū)動(dòng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，指的是教師在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)系列問題，環(huán)環(huán)相扣，把學(xué)生的學(xué)習(xí)分層引向深入，進(jìn)而有效地激發(fā)學(xué)生理解和體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

下面結(jié)合平面幾何中的定值問題這一專題的設(shè)計(jì)談?wù)剬?duì)教學(xué)的實(shí)踐和思考.

一、教學(xué)之困

（一）專題涉及內(nèi)容之寬泛

一節(jié)專題課的內(nèi)容涉及方方面面，一個(gè)專題涉及不同的題型、不同的知識(shí)點(diǎn)，甚至多種思想方法.在教學(xué)中如何把握、如何理清思路、如何引導(dǎo)學(xué)生深入思考都是每一節(jié)專題課前教師必須思考的問題，對(duì)教師來說是不小的挑戰(zhàn).

（二）教學(xué)形式之僵化

在日常教學(xué)中，專題課的形式較為單一，一些教師追求對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的全面講解，表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的簡(jiǎn)單堆積與重復(fù).將專題課簡(jiǎn)單上成了習(xí)題課，缺乏條理和連貫性，教學(xué)收效甚微，無法形成解決一類問題的策略，更無法直指要害給學(xué)生留下深刻印象.

二、教學(xué)之行

（一）課堂實(shí)施

在平面幾何中，定值問題就是研究圖形運(yùn)動(dòng)過程中不變量的問題，常常與動(dòng)態(tài)問題相結(jié)合，通常會(huì)去探求不變的角度、線段的和差倍分、圖形面積等.

1.基于簡(jiǎn)單情境的初步感知：合作與激發(fā)

已知條件 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為線段AB的中點(diǎn).

問題（1） 如圖1，AC=BC，一直角的頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合，繞著點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上，且ED⊥DF.運(yùn)動(dòng)過程中有哪些不變的量或不變的關(guān)系？

師：大家一起來說說看.

生：有很多不變的量，∠A，∠B，∠C，∠EDF的度數(shù)均不變；還有很多線段的長(zhǎng)度也不變，如AD，BD，AC，BC，如果把CD連起來，CD的長(zhǎng)度也不變.

師：有同學(xué)補(bǔ)充嗎？

生：四邊形CEDF的面積應(yīng)該也保持不變.

師：你是如何猜到的？

生：在∠EDF繞著點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，可以取臨界狀態(tài)，如當(dāng)點(diǎn)F與B重合時(shí)，則點(diǎn)E就與點(diǎn)C重合，這時(shí)四邊形CEDF就變成了△BDC，面積恰好是Rt△ABC面積的一半.或者觀察運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置，當(dāng)∠EDF繞著點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到角兩邊分別與直角三角形兩直角邊垂直時(shí)，這時(shí)四邊形CEDF就變成了一個(gè)正方形，面積恰好也是Rt△ABC面積的一半.

師：通過觀察計(jì)算一些臨界狀態(tài)或者特殊位置，我們猜想得出四邊形的面積是定值，所以在碰到問題不知如何處理時(shí)，我們可以先通過一些特殊的位置或者狀態(tài)進(jìn)行大膽猜想.但是光有猜想還不行，能否把特殊情況推廣到一般情形呢？也就是說我們?cè)撊绾螄?yán)格證明四邊形的面積是一個(gè)定值？

生：連接CD后，運(yùn)動(dòng)過程中△EDC和△FDB好像總是全等的.

師：你是如何發(fā)現(xiàn)圖2中三角形全等的？圖形運(yùn)動(dòng)過程中除了有不變的量還有哪些不變的關(guān)系嗎？

生：連接CD之后，易得∠ECD=∠B=45°，∠CDB=∠EDF=90°，由此可知∠EDC=∠FDB.同時(shí)CD=AD=BD，故△EDC和△FDB是全等的，所以在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中四邊形CEDF的面積與△BDC的面積是相等的，是一個(gè)定值.

設(shè)計(jì)意圖 平面幾何中的定值問題的實(shí)質(zhì)是探索動(dòng)態(tài)過程中的不變量，教師首先選取教材中的問題作為引入，讓學(xué)生有似曾相識(shí)的感覺，拉近與學(xué)生的距離，其次提出了一個(gè)本原性問題：運(yùn)動(dòng)過程中有哪些不變的量或不變的關(guān)系？這一問題揭示了定值問題的本質(zhì)，即：探索動(dòng)態(tài)過程中的不變量.當(dāng)然這一問題的解決并不輕松，引導(dǎo)學(xué)生可從多個(gè)方面去考慮，不變的角、線段、面積，也就說明了平面幾何中定值問題經(jīng)常涉及的題型有角度為定值、線段的和差倍分是定值、面積是定值等.探究哪些量是定值的過程可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光.當(dāng)考慮到面積時(shí)，學(xué)生憑借幾何直觀作出了大膽的猜想，猜想四邊形CEDF的面積可能是一個(gè)定值，稍后教師以“你能否大膽猜想一下四邊形CEDF的面積是Rt△ABC面積的幾分之幾？”這樣的小問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)一步思考，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，選取特殊的位置或臨界狀態(tài)推測(cè)這一定值，動(dòng)中取靜、以靜制動(dòng).最后，教師要求學(xué)生用嚴(yán)格的邏輯證明將結(jié)論推廣到一般情形.面對(duì)這一要求，部分學(xué)生不能立刻找到思路，這時(shí)教師試圖引導(dǎo)學(xué)生回到最先提出的問題，即“圖形運(yùn)動(dòng)過程中除了有不變的量還有哪些不變的關(guān)系嗎？”通過分析運(yùn)動(dòng)過程中不變的關(guān)系，這里不變的關(guān)系包含角之間的關(guān)系、線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系，還有面積之間的關(guān)系等，構(gòu)造全等三角形，理清證明的思路，從而將特殊推廣到一般，使學(xué)生初步感知解決定值問題的一般策略和路徑.

2.基于變式的認(rèn)知深入：建構(gòu)與優(yōu)化

問題（2） 已知條件不變，如圖3，若∠B=60°，直角∠EDF繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)過程中有哪些不變的量或不變的關(guān)系？

追問1：與（1）中一樣的結(jié)論我們不再重復(fù)，試圖尋找不同的結(jié)論，問題（1）中DE=DF的結(jié)論在這張圖中還成立嗎？

追問2：DE和DF沒有相等關(guān)系，可不可能存在其他關(guān)系呢？

追問3：我們?nèi)绾尾孪脒@兩條線段之間的關(guān)系？大家打算選取什么樣的特殊位置呢？

追問4：有了初步的猜想后，我們?nèi)耘f要進(jìn)行嚴(yán)格證明，對(duì)于兩條線段的長(zhǎng)度之比，你打算如何證明呢？

追問5：通過以上兩個(gè)問題的探討，對(duì)于解決這一類問題，同學(xué)們有沒有什么想法？說說看.

設(shè)計(jì)意圖 多方面滲透從特殊到一般的思想方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)把結(jié)論推廣到更一般的情況，認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，加深對(duì)學(xué)科知識(shí)的理解和思考.

4.基于遷移的方法應(yīng)用：延伸與拓展

新問題 如圖7，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA=8cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng).連接PQ，交OT于點(diǎn)B.經(jīng)過O，P，Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連接PC，QC.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，其中0

（2）四邊形OPCQ的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

（二）課后延伸

教師繼續(xù)以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生拓展學(xué)習(xí)：針對(duì)以上問題，你還有其他方法嗎？能否也用幾何方法來解決呢？請(qǐng)大家課后思考.

設(shè)計(jì)意圖 解決問題的方法往往不是唯一的，思考問題的角度也不一定是唯一的，引導(dǎo)學(xué)生從多維度去思考問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面幾何中的定值問題有時(shí)可以用代數(shù)方法去計(jì)算求解，有時(shí)也可用幾何方法去證明.教師在專題復(fù)習(xí)中要幫助學(xué)生歸納總結(jié)解決一類問題的策略與方法，但不要帶給學(xué)生思維上的枷鎖，要遵循本原性問題的開放性和發(fā)展性原則，讓學(xué)生得到多重的數(shù)學(xué)體驗(yàn).

三、教學(xué)之思

數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)是初三后期復(fù)習(xí)中的“重頭戲”，本原性問題驅(qū)動(dòng)下的教學(xué)為師生打開了專題復(fù)習(xí)的新思路，讓專題復(fù)習(xí)之路走得更加平穩(wěn)扎實(shí).

（一）明確問題本質(zhì)，尋求解決策略

在本原性問題的引導(dǎo)過程中，層層深入，加深對(duì)問題數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.本節(jié)課在探究平面幾何中的定值問題時(shí)，教師始終引導(dǎo)學(xué)生分析圖形運(yùn)動(dòng)過程中的不變量和不變關(guān)系，幫助學(xué)生明確問題本質(zhì)，通過自主探索、合作交流找到解決這類問題的基本策略和方法，先特殊探求，再理性證明，讓專題復(fù)習(xí)不再漫無目的.

（二）完善課堂結(jié)構(gòu)，滲透數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)中教師要善于運(yùn)用本原性問題引導(dǎo)學(xué)生揭示知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)提升學(xué)生思維的深刻性.本原性問題的設(shè)計(jì)需要經(jīng)過反復(fù)推敲，好的問題設(shè)計(jì)有利于完善課堂結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生參與到課堂中來，充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，集思廣益讓課堂立體而飽滿，在探索思考解決問題串的過程中滲透數(shù)學(xué)常用的思想方法.如本節(jié)課中學(xué)生能夠明晰定值問題中常見的題型，經(jīng)常涉及從特殊到一般、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

（三）注重循序漸進(jìn)，發(fā)展核心素養(yǎng)

本原性問題的設(shè)計(jì)應(yīng)該更加注重問題的層次性和關(guān)聯(lián)性，可以從簡(jiǎn)單的問題出發(fā)，層層深入，循序漸進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，注重提升學(xué)生的課堂感受，發(fā)展核心素養(yǎng).

結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，好的數(shù)學(xué)問題可以直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深入思考，甚至觸類旁通.“本原性問題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的理念”為專題復(fù)習(xí)提供了新的思路，同時(shí)對(duì)廣大教學(xué)工作者提出了不小的挑戰(zhàn).能否通過提出本原性問題引發(fā)學(xué)生思考，這要求教師全面了解學(xué)生學(xué)情、深刻理解課標(biāo)、深度剖析問題本質(zhì)、明確專題素養(yǎng)導(dǎo)向，在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的專題復(fù)習(xí)課中做學(xué)生探究活動(dòng)中的組織者、引導(dǎo)者、合作者，讓課堂自然生成，讓核心素養(yǎng)的提升有章可循.

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊玉東.“本原性數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)”的比較研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2004.

[2]徐文彬.本原性學(xué)科問題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的理論與實(shí)踐[J].教育理論與實(shí)踐，2007（12）：38-40.

[3]楊玉東，黃偉勝.初中數(shù)學(xué)教師專業(yè)能力必修[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，2012.

[4]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講之五：思維的深刻性與“聯(lián)系的觀點(diǎn)”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（12）：30-32.

[5]張乃建.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題鏈”的有效設(shè)計(jì)策略探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（27）：41-43.