核心素養背景下GeoGebra助力函數奇偶性概念教學

摘 要：發展數學核心素養是數學學科落實立德樹人的重要途徑.高中數學因其符號的抽象性，導致學生難以理解數學概念，尤其是在函數性質的學習中特別突出.本研究以GeoGebra為平臺助力函數奇偶性概念教學，從整體到局部，再到整體，引導學生理解并構建奇偶性的概念，發展核心素養，以期為GeoGebra融入高中數學教學提供教學建議.

關鍵詞：核心素養；函數奇偶性；GeoGebra

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標準”）指出：“學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.”^［1］函數作為高中數學的主要學習內容之一，對發展核心素養有著至關重要的作用，但是由于函數的抽象性以及符號形式化表示使得大部分學生在學習過程中感覺很枯燥乏味，以至于學生的核心素養提升不明顯.

數學概念是數學形成和發展的基礎，但是對于數學概念的教學，大部分教師容易忽略對概念的生成進行講解，尤其是用符號表示函數性質的概念時特別明顯.在函數奇偶性概念的教學中，盡管大部分教師能夠使用教學工具進行直觀演示讓學生分析具體函數的圖象，從而形成感性認識，幫助學生歸納概念，并上升到理性認識，但是在處理奇偶性“定義域關于原點對稱”環節往往沒有引導學生發現定義域的對稱是函數具有奇偶性的前提，以至于在之后運用奇偶性解決問題時，學生容易忽略定義域的對稱，從而出現解題錯誤.

為了解決以上問題，筆者按照從函數圖象的整體到局部，再到整體的思路，以GeoGebra為平臺，設計“定義域對稱的直觀演示”，引導學生發現“定義域關于原點對稱”是函數奇偶性的重要前提，助力學生理解奇偶性的概念，發展數學核心素養.

1 GeoGebra的特征與優勢

1.1 GeoGebra簡介

由Markus Hohenwarter團隊開發并推廣的GeoGebra，是一款用于教育教學的交互式動態數學軟件.它集代數、幾何、概率統計、導數、微積分于一體，因其操作簡單、功能強大、免費開源被廣泛應用.^［2］GeoGebra是一個幾何系統，可以讓學生和教師在軟件窗口看到包含點、向量、直線、圓錐和函數，然后進行動態修改這些數學對象.此外，GeoGebra還可以計算函數的導數和微積分，并具有各種指令，如繪制給定區間的函數圖象的指令.如圖1所示，輸入“如果（-2≤x≤3，x2-3）”，就會出現相應的二次函數圖象.

1.2 GeoGebra的特征

作為一款動態互動的教育教學軟件，GeoGebra具有構建性、導向性、互動性、準確性等特性，有助于學生在數學學習的過程中更好地體驗數學的魅力.

構建性是指GeoGebra能使得學生反復嘗試來構建數學對象進行表示.例如，GeoGebra自帶快捷的工具——作交點、作平行線、作垂線等，在函數f（x）＝x2-3圖象上作出一個點，再作垂線與x軸相交并作出交點從而找到對應x值；也能作出平行線與y軸相交并作出交點找到對應y值（如圖2）.在這個過程中，學生通過嘗試進行主動構建函數，從而深刻理解數學概念.

導向性是指學生和教師可以自由靈活地探索.GeoGebra有電腦版本和移動手機版本，便于隨時隨地對思考的數學問題進行作圖探究.

互動性是指學生能夠獲得即時和有效的反饋，使學生能夠及時意識到自己的錯誤，進而改變學習策略.GeoGebra可以同時呈現兩個繪圖區域，如圖3所示，函數f（x）＝x2-3顯示在繪圖一區域，函數f（x）＝x2-3（-2≤x≤3）顯示在繪圖二區域，學生可以觀察兩者的異同，進而歸納數學知識.

準確性是指學生和教師可以精確地執行創建數學對象的操作.對于不等式的解集、函數的零點、極值點等，GeoGebra都能精確地進行操作.

1.3 GeoGebra的優勢

相較于其他教學軟件，GeoGebra具有工具便捷、功能豐富、幾何與代數相統一、“傻瓜式”輸入等許多優點，這使得學生、教師以及其他教育教學工作者能夠輕松使用.GeoGebra的工具包含了基本幾何對象的構建、變換、符號的表示等.“傻瓜式”輸入欄與繪圖區相結合，使得其可以演示復雜的數學對象，如分段函數、導函數分別與原函數的單調性的關系等.教師引導學生觀察歸納數學知識，從感性認識上升到理性認識，從而培養和發展學生的直觀想象核心素養.

2 基于GeoGebra的“奇偶性”教學設計

2.1 教材分析

本次研究的課題，選自人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》第3.2.2節“奇偶性”的內容.本節課編排在單調性之后，采用由觀察圖象特征—用符號語言描述數學概念—應用數學知識的學習思路.^［3］本節課主要的知識點是奇偶性的概念，關鍵點是引導學生發現定義域關于原點對稱，體現數形結合、特殊到一般、轉化與化歸、類比遷移的數學思想方法，蘊含直觀想象、邏輯推理、數學抽象的核心素養.

2.2 學情分析

學生在之前的學習中已經掌握了函數的概念，知道定義域、對應關系、值域作為函數的三要素以及了解了單調性的概念；積累了研究函數性質的經驗，有一定的學習思路.

2.3 課標要求

實施課堂教學，必須以課程標準的要求為依據.本節課要求學生能夠結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義.教師要引導學生正確使用符號語言清晰地刻畫函數的性質.

2.4 教學目標

根據課程方案與課程標準的要求，對教材和學情的分析，確定如下的教學目標：①借助GeoGebra觀察函數圖象，了解奇偶性的概念與幾何意義;②能夠使用符號描述奇偶性的概念，體會數形結合、特殊到一般、轉化與化歸、類比等數學思想，發展直觀想象、邏輯推理、數學抽象核心素養，培養數學表達能力，感受數學的對稱美、激發學生學習興趣.

2.5 教學重難點

本節課的教學重難點如下.

教學重點：結合函數圖象的對稱性，引導學生用符號描述奇偶性的概念.

教學難點：引導學生發現定義域關于原點對稱，進一步使用符號語言表達數學對象.

2.6 教學工具與方法

本節課的教學工具與方法如下.

教學工具：GeoGebra軟件與PPT.

教學方法：本節課教師采用問題驅動、引導發現的教法，讓學生學會獨立思考、類比遷移、小組合作的學習方法.

2.7 教學思路

函數的奇偶性是函數的整體性質，本節課采用整體—局部—整體的教學思路.通過函數圖象的對稱—坐標點的對稱—定義域的對稱—函數值對稱—圖象的對稱的教學思路，使用GeoGebra觀察函數圖象的對稱性并結合反例進行對比教學.

2.8 教學過程

（1）創設情境.

（PPT展示）橋梁文化是中國傳統文化的一部分，從古代的拱橋到新時代的高速大橋，都蘊含了人民群眾的偉大智慧，觀察這些橋梁結構（如圖4），在它們身上你發現了什么數學對象？這些數學對象有什么結構特征？試用你已經學習過的函數進行描述？

預案：學生能夠發現展示的橋梁包含函數、幾何圖形等，它們都具有對稱性.學生也能用學習過的二次函數對橋梁進行刻畫.

【設計意圖】教師通過創設情境，讓學生感受數學與生活的聯系，激發學習興趣，感受數學文化和中國傳統文化，培養學生用數學的眼光觀察世界，增強文化自信.

（2）探究新知.

問題1 畫出函數f（x）＝x2，函數g（x）＝2-｜x｜，函數h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的圖象，它們有什么相同和不同之處？

預案：學生能繪制出三個函數的圖象，并且觀察到前兩個函數圖象關于y軸對稱，最后一個函數圖象不關于y軸對稱.

教師活動：教師使用GeoGebra在繪圖一區域繪制函數f（x）＝x2，在繪圖二區域繪制函數h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）同時展示這兩個圖象，為引導學生對比發現異同做鋪墊.

思考 類比單調性的學習過程，思考如何使用數學符號描述函數圖象關于y軸對稱？

追問 函數圖象由什么幾何對象構成？這些幾何對象又是如何確定下來的？

預案：學生能夠發現函數圖象是由無窮多個坐標點構成，并且這些點是由函數定義域內x的取值和其對應的函數值f（x）組成，即（x，f（x））.

學生活動：觀察函數f（x）＝x2，h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的圖象，分別寫出當x＝-4和x＝3時，對應函數圖象上的坐標點，并寫出該點關于y軸對稱的坐標點，觀察坐標之間的聯系.

預案：除了不能寫出x＝3時第二個函數圖象對稱點的坐標之外，學生能夠寫出其他相應點的坐標，并且能夠發現“定義域內函數圖象上關于y軸對稱的點，橫坐標互為相反數，縱坐標相等”，即f（-x）＝f（x），如果函數圖象不對稱則沒有這個結論.

【設計意圖】教師通過問題和追問，借助GeoGebra繪制的圖象引導學生對比發現函數圖象上對稱點的坐標數值的數量關系，發展學生直觀想象、邏輯推理和數學抽象核心素養，為歸納偶函數的概念作鋪墊.

問題2 對于不關于y軸對稱的函數圖象，為何不具有上述結論？它與關于y軸對稱的函數，還有哪些不同？試試從函數的三要素角度思考分析，你有什么發現？

預案：學生再次對比圖象，能夠發現圖象不關于y軸對稱的函數h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）其定義域也不對稱.

教師活動：使用GeoGebra在x軸上作線段表示函數h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的定義域（如圖5），并進行動態演示，讓學生直觀感受定義域的分布，進一步引導學生發現圖象關于y軸對稱的函數f（x）＝x2的定義域是關于原點對稱.

追問 關于原點對稱的定義域（區間）有什么特征？不關于原點對稱的定義域（區間）又有什么特征？試著舉幾個例子進行說明？你能得出什么結論并用符號表示這個結論嗎？

預案：學生能列舉（-3，3），［-2，2］，（-4，1），［-2，3］等例子，并發現對于［-2，2］定義域內的一個取值，其相反數也屬于這個定義域，即任意x∈D，-x∈D.

追問 我們通過觀察函數圖象關于y軸對稱和圖象上點的坐標的關系，得到了f（-x）＝f（x）數量關系，再對比兩個函數圖象，得出了“定義域關于原點對稱”并用符號語言進行描述，現在試著用符號語言描述“圖象關于y軸對稱”的這類函數的特征？

預案：學生能夠總結出偶函數的概念及其幾何意義.

教師活動：教師引導學生歸納偶函數的概念和研究思路并板書.

板書：函數圖象關于y軸對稱—圖象上的點對稱—點坐標值的數量關系—定義域的對稱—符號語言描述—得出結論.

【設計意圖】教師通過GeoGebra的動態演示和舉例分析，引導學生發現由圖象的對稱到定義域的對稱，并用符號語言描述這些發現，培養學生的數學表達能力，發展直觀想象、邏輯推理、數學抽象的核心素養，體會特殊到一般的數學思想.教師板書研究結果和思路，有助于學生構建研究函數性質的一般思路，為學生類比研究奇函數作鋪墊.

探究：在初中學習的正比例函數與反比例函數中，它們的圖象關于原點對稱，學生建立合作小組，試著用研究偶函數的思路，研究這類函數的共同特征“圖象關于原點對稱”，并用符號語言進行描述.

預案：通過小組的合作，學生能夠歸納并用數學符號表達奇函數的概念.教師進行板書.

（3）概念剖析.

討論：從奇偶性的概念及其幾何意義兩個角度出發，如何判斷一個函數的奇偶性并對比兩種方法的優缺點？

教師活動：教師使用GeoGebra繪制一個反例的函數圖象（如圖6），引導學生發現幾何直觀的判斷方法有一定的誤差，進而突出符號化的重要性.

預案：學生能夠歸納判斷函數奇偶性的方法，并且能夠發現幾何直觀的判斷可能會出現誤差，因此采用符號語言進行嚴謹的推理判斷才能準確無誤.

【設計意圖】學生開展小組合作，類比應用研究思路探究奇函數的概念，并使用符號進行描述，體會轉化與化歸、類比遷移、數形結合的數學思想，發展學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象的核心素養，培養學生的數學表達能力，增強自信心.

3 結語

本次研究將GeoGebra與問題驅動、引導啟發的教學方法相融合，借助該軟件的兩個繪圖區進行對比作圖，讓學生獨立思考、合作交流，發展數學核心素養，提升數學表達能力，學會用數學眼光觀察世界，用數學語言表達世界.在教學中，教師需要恰當使用GeoGebra，盡可能讓數學更簡單，使知識通俗易懂.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］張志勇.高中數學可視化教學：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺［J］.數學通報，2018（7）：21-24+28.

［3］孫彬.基于多元表征的數學概念課教學設計——以函數的奇偶性教學設計為例［J］.中學數學研究，2019（12）：3-6.

*基金項目：2023年銅仁市基礎教育教學實驗課堂“基于應用GeoGebra發展學生直觀想象素養的實踐研究”（項目編號：2023sj118）.