逐次逼近原則的溯源、內涵、運用和價值

摘 要：本文對逐次逼近原則進行了歷史溯源，闡明了這一原則的內涵，并從五個方面給出了逐次逼近原則在中學數學知識中的運用情境，揭示了這一原則的育人價值.

關鍵詞：逐次逼近原則；歷史溯源；知識情境

日本數學教育家米山國藏指出，作為知識的數學，人們日后若不從事數學工作，通常是走出校門后不到一兩年就忘掉了.然而，不管人們從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神，數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等（若培養了這方面的素質的話），隨時隨地發生作用，使他們受益終生.^［1］《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中也明確提出：“通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.”^［2］由此可見，研究數學的思想方法并將數學思想方法與解題過程以宏觀的、普適性的原則加以概括和解釋，提升到通性通法的高度，對發展學生數學學科核心素養具有重要作用.

張奠宙教授曾在《數學方法論稿（修訂版）》一書中指出，逐次逼近原則是中小學數學解題思維過程中的一種一般性方法，并強調這既是中學數學解題訣竅的最后一招，也是常能出奇出新的一招.^［3］逐次逼近原則不僅是解題中需要遵循的基本規律，而且是一種獨特探索方法和思維方式，不論是從歷史的還是系統的角度來看，逐次逼近原則都對數學學科發展起到了推動作用.因此，本文對逐次逼近原則進行歷史溯源，挖掘其內涵意義，并以此原則為指導整體理解中學數學相關知識內容，最后給出該原則潛在的育人價值，以期促進對這一原則的深刻認識，獲得更大的效益.

1 逐次逼近原則運用的歷史溯源

逐次逼近原則的運用可以追溯到古代對圓以及一般曲線形面積的計算問題，數學家對這一問題持續研究了約兩千年.直到微積分思想的產生，人們才發現可以用漸進逼近的方法求出任意精度的近似解.古希臘數學家安提豐（Antiphon）提出了窮竭法的萌芽思想，即隨著一個圓的內接正多邊形的邊數逐次成倍增加，此圓與多邊形的面積的差最終將被窮竭.后來古希臘數學家歐多克斯（Eudoxus）正式建立了嚴格的窮竭法思想.古希臘數學家阿基米德（Archimedes）則應用窮竭法，利用多邊形面積逼近拋物弓形面積，求出了拋物弓形面積.無獨有偶，中國數學家劉徽的割圓術，也是用多邊形面積逼近圓面積.可以看出，在計算面積時，逐次逼近原則具體表現為無限逼近的極限思想.

古巴比倫和古埃及時期出現了二次方程的求解方式，此后數學家始終致力于高次方程的求解，由此解出的是方程的精確值.但在科學計數問題中，往往不需要精確值，只需要精確到工程需要的程度即可，因此數學家開始關注求高次方程的近似解.為此，英國物理學家、數學家牛頓（Newton）提出了切線法，即基于函數的局部線性逼近，通過不斷修正當前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根.在求解高次方程的過程中，逐次逼近原則具體表現為縮小解的范圍以逼近正確解.

希臘數學家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）發明了一種用來尋找一定范圍內所有素數的算法——埃拉托斯特尼篩法.他先把大于2的2的倍數劃去，再把大于3的3的倍數劃去，接著又把大于5的5的倍數劃去……如此操作，直至劃去了在一定范圍內的所有合數，最后劃去1.正是利用這種近乎笨拙的、樸素的逐步篩選淘汰法，構造出了10萬以內的質數表.在利用篩選淘汰法構造質數表時，逐次逼近原則又具體表現為對研究對象的篩選淘汰，最終獲得所需結果.

到了近代，逐次逼近原則的應用更加廣泛，如實數理論中用有理數逼近無理數，微分學中用平均變化率逼近瞬時變化率，積分學中用有限和逼近無限和，級數理論中用多項式逼近函數等.逐次逼近原則已成為解決代數方程、微分方程、積分方程、泛函分析、計算數學、概率統計、運籌學等學科中的一些問題的理論指導.

2 逐次逼近原則的方法內涵

不論是利用極限思想求圓的面積，還是通過縮小范圍求高次方程的近似解，抑或是借助篩選淘汰制作質數表，這些都是逐次逼近原則的具體應用形式.這些問題共同的特征是正面解決較為困難，因此數學家就想到了采用迂回的方式，巧妙地用逼近、驗證、淘汰和選擇的方式來逐次漸進地獲得正確答案.數學中的逐次逼近原則是這樣一種解決問題的法則，即為了解決一個數學問題，先從一個與該問題的實質內容有著本質聯系的較大范圍開始解決，再逐步縮小范圍，逐步逼近，以至最后達到問題所要求的解，逐步逼近使后一步比前一步更接近探索目標，一般有三種結果：①通過有限步逐步逼近，最終達到目標；②通過取無限逼近的極限，最終達到目標；③不能最終達到目標，但可以通過適當多次的逐步逼近，取得對目標的接近而達到一定的要求.^［4］

從數學思維的層面來看，逐次逼近原則蘊含的是一般到特殊的數學思維方式，它沒有具體的、有明確步驟的操作過程，表現的是一種運用已有的數學理論與方法，按照逐次漸進的思維模式，從問題的條件、問題的解決程序、問題的結論等不同方面，化難為易、化繁為簡、縮小范圍、選定特殊狀態等方式逐次地、逼近地解決問題.但是逐次逼近原則與通常所說的一般到特殊的思維方式還有所區別，它并不是從大范圍成立的性質論證小范圍這個性質成立，而是具有一定的方向性，始終圍繞著想要解決的問題，將大范圍縮小成小范圍，一步步推進.逐次逼近原則具體主要分為兩種思維方式：一種是對數學問題解法的逐次逼近方式，即對數學問題先給出一個近似的初始解，然后以這個初始解為基礎，按一定的程序給出一個解的序列，這個解序列的極限就是該問題的最后解，典型的例子是有理數逼近無理數；另一種是對數學問題本身的逐次逼近方式，即從較大的范圍開始逐步縮小問題的范圍，通過對這些縮小范圍的數學問題的解決，并且通過對解決問題方法的分析、綜合等，獲得對原來問題解決的一種方法，典型的例子是“四色問題”的研究.

逐次逼近原則的運用往往伴隨著和簡單化原理的結合.所謂簡單化原理是指求解一個問題時，往往是從某個簡單情形開始入手，以分解為主導，將問題分解為幾類，分別求解，或是將問題分解為幾步，一步步求解.在運用逐次逼近原則時，恰當地結合簡單化原理，可以降低解決問題的難度，提升問題解決的成功率.

3 逐次逼近原則的運用情境

3.1 函數性質的研究

函數的奇偶性和周期性是高中數學中函數性質的重點學習內容.奇函數的圖象關于原點中心對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，因此奇偶性的本質是一種特殊的對稱性，由對稱性可知研究奇函數或偶函數只需要研究函數的一半即可.同樣地，周期函數的圖象呈現“周而復始”的特點，因此對周期函數的研究只要搞清楚一個周期內的函數圖象與性質即可，然后可以推廣到若干個周期，最后可以推廣到整個周期.函數的奇偶性和周期性使得我們能夠將對函數整體性質的研究縮小到對函數局部性質的研究，有效減少了問題研究的范圍，達成事半功倍之效，無形中增強了我們研究函數性質的能力，這是一種逐次逼近原則的應用方式.

3.2 二分法解超越方程和高次方程

指數方程、對數方程等超越方程和五次以上的高次代數方程不存在解，即不能用代數運算求解，但是其數值解法卻隨著現代計算技術的發展得到了廣泛的應用.高中教材中介紹的二分法就是一種常見的數值解法.為求方程更為精確的近似解，直觀上就是去求解所處的更小的范圍，于是二分法就在包含解的區間內不斷縮小區間范圍，直到找到一個足夠小的含有解的區間，從而得到具有足夠精度的解.背后的數學原理其實是區間套定理，利用一系列包含探索目標值的區間［a1，b1］［a2，b2］…［an，bn］，當n→∞，區間長度bn-an→0，

即limn→∞an＝limn→∞bn＝A，則A為要求的目標值.

3.3 迭代序列求無理數的近似值

古巴比倫人掌握了許多計算方法，特別是開平方根的算法非常成熟.滬教版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》在《數列》單元末就給出了用迭代序列求2的近似值的巴比倫算法.^［5］一般地，對于正數A，通過將x2＝A變形為x＝12x+Ax得到遞推公式，再通過迭代運算求解x平方根的方法稱為巴比倫算法.無理數是無限不循環小數，無法十分準確地刻畫其值，所以就需要一個逐步準確的過程.巴比倫算法就是前文所述的一種對數學問題解法的逐次逼近方式.這種方式構造了一列能夠收斂到問題所要求的無理數的解序列，從而逐步逼近無理數的精確值.對這種方法的本質和結果加以抽象和概括，便可得到近代分析數學中的不動點定理.

3.4 導數的研究

導數概念的引入，源于對變化率的研究.現實世界中的運動現象往往是“變速運動”，也就是說變化率會隨著時間的變化而變化，那么該如何刻畫變速運動？基本的想法是用一個小區間內的平均速度去逼近某個指定時刻的瞬時速度，用均勻變化率去逼近不均勻變化率，從而引出了函數在一點處的導數定義.因此，導數的本質是瞬時變化率，是區間越來越小時的瞬時變化情況.導數的幾何意義是函數在某點處切線的斜率，滬教版《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊》是通過曲線段PQ取得越來越短，即點Q越來越靠近點P時，割線PQ趨近于一條確定的直線來定義切線的.^［6］切線的定義中有三處體現了逐步逼近，一是曲線段PQ長度無限逼近零，二是動點Q向切點P無限逼近，三是割線向切線無限逼近.導數定義和切線定義蘊含了深刻的極限思想，導數中極限思想與方法的運用正是一種逐次逼近原則的推動結果.

3.5 無窮等比數列各項和

滬教版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》在《數列》單元中還增加了無窮等比數列各項和的內容：以a為首項、q為公比的等比數列，當公比0lt;｜q｜lt;1時，有+∞i＝1aq^i-1＝a1-q.^［7］事實上，在數學分析中，給定數列a1，a2，a3，…，an，…，把其中的各項依次用加號連接起來的和式a1+a2+…+an+…稱為無窮級數，Sn＝a1+a2+…+an稱為級數的n次部分和（簡稱部分和），因此無窮等比數列各項和是用部分和逼近各項和，用有限逐步逼近無限.在逐次逼近原則的指導下，研究級數的收斂問題以及收斂時它的和是什么，就歸結為討論級數的部分和、數列的收斂問題以及它的極限值是什么.

4 逐次逼近原則的育人價值

4.1 激發創新思維能力

在利用逐次逼近原則解決與原問題緊密聯系的問題的過程中，由于所經歷的道路艱難、探索的途徑迂回，往往伴隨著產生了一些新的理論和方法，如在對哥德巴赫猜想的證明和探索過程中，就創造了許多新的數學理論和方法.因此，逐次逼近原則有利于創造性思維發揮作用，提升學生的創新實踐能力，促使學生不斷進步.

4.2 培養循序漸進意識

從逐步逼近原則看數學解題，很多時候我們無法正面、直接、快速地解決問題，因此不得不一步步地推進問題的解答，可以說，數學解題本來就是一步步推進的.同樣地，為了完成某個既定的目標，我們首先要明確目標，然后循序漸進地達成目標，逐次逼近的意識不僅僅是一種解題意識，也是一種實現目標的意識.

4.3 提升堅韌不拔品質

逐次逼近原則的意義還在于個體能夠自主地利用掌握的基礎知識、基本技能和基本思想方法，基于以往的實踐經驗，有條理地、努力地、鍥而不舍地去解決問題.在逐次逼近問題的答案的過程中，必定會有挫折和失敗，因此要求實踐者有堅忍不拔的品質.逐次逼近原則是一種觀念，一種思維方式，更是一種進取精神.

參考文獻

［1］米山國藏.數學的精神、思想和方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2019.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］張奠宙，過伯祥，方均斌，等.數學方法論稿（修訂版）［M］.上海：上海教育出版社，2013.

［4］李明振.數學方法與解題研究［M］.上海：上海科技教育出版社，2002.

［5］［7］上海市中小學（幼兒園）課程改革委員會組織.普通高中教科書數學選擇性必修第一冊［M］.上海：上海教育出版社，2020.

［6］上海市中小學（幼兒園）課程改革委員會組織.普通高中教科書數學選擇性必修第二冊［M］.上海：上海教育出版社，2020.