項目化初中數學實驗教學的實踐研究

1 問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：數學教學要“引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”，“積極開展跨學科的主題式學習和項目式學習等綜合性教學活動”．項目化學習讓學生經歷對有價值、有挑戰的驅動性問題合作、探究與發現的過程，掌握所需的知識與技能，形成問題解決的方案、呈現設計作品，積累豐富的數學活動經驗，自主進行知識整合，形成高階認知策略，發展數學核心素養，實現學科育人．數學實驗是學生通過觀察、操作、試驗、推理等實踐活動“做”數學的一種學習方式，是學生從自己的“數學現實”出發，運用有關工具（包含計算機及幾何畫板等），形成或檢驗某個數學猜想，解決某類問題，在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學探究活動，能有效改變學生數學學習的方式，讓學生體驗發現知識的樂趣，幫助學生主動建構并發展自己的數學認知結構．因此，運用項目化學習方式進行初中數學實驗教學，以螺旋上升的系列驅動性問題為載體，引導學生通過自主探究、合作交流，經歷數學實驗過程，掌握數學核心知識和方法，是以發展學生數學核心素養為目標的初中數學課堂教學新途徑．

2 項目化數學實驗教學設計的路徑

2.1 確定項目化數學實驗主題

數學項目化學習中的情境可以是歷史情境或者虛擬情境，只要能經歷數學問題解決的過程和對數學概念的理解并形成能分享的結論，都能看成是項目化學習．因此，可選取數學史中的真實問題和情境作為數學實驗項目化教學的素材，讓學生經歷用實驗的方法解決問題的過程，從而感悟數學思想的實際發展歷程，起到對自身的激勵和啟迪作用．因此，可將著名的“三等分角”問題作為數學實驗項目化學習的主題之一，根據知識、方法、思想的不同類型設計合適的實驗活動，讓學生了解三等分角問題的研究歷史，并經歷歷史上借助標記長度的直尺進行三等分角或在反比例函數圖象基礎上利用尺規三等分角等方法的過程，在動手做數學實驗的基礎上掌握探究問題的基本方法，并了解數學發展歷程的曲折．

2.2 設計數學實驗子項目活動

數學實驗項目要依據數學內容和核心素養，將主題分解成可實施的目標明確、計劃詳細和評價科學的一系列完整而獨立的子項目，最后形成問題的解決方案或完成作品的設計，達到對學生核心素養的培養．在設計子項目活動的過程中，教師首先必須充分理解“三等分角”的發生、發展和結果的史學路徑，從高觀點看初等數學問題，然后根據數學內容與核心素養的關系形成分主題式實驗子項目．所以可設計三個年級的數學實驗子項目，如表1．

2.3 確定數學實驗項目活動的素養要求

數學實驗項目必須要有明確的目標，它承載著學生應該掌握的知識、技能和應該內化的數學核心素養．因此，必須依據課程標準對項目活動所要培養學生的數學素養進行描述確定，才能在項目實施和評價的過程中關注目標的達成．在“三等分角”項目化學習過程中，要培養學生以下數學核心素養：

（1）知道30°，45°，60°，90°這四個角之間的關系和等分角的含義，會進行角度的四則運算，能用這四個角度拼出不同度數的角，提高數學運算素養，培養分類討論的思想，提高直觀想象和數學抽象素養；從角平分線的定義出發，遷移到三等分角、n等分角，培養學生的發散思維和創新能力．

（2）理解三等分角的原理和依據，知道借助的輔助工具為問題解決提供了什么關鍵性作用．學生在實驗過程中要熟練運用平行線的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質、矩形的性質、全等三角形的性質、反比例函數和圓等知識，還要具備扎實的運算能力和幾何畫板的應用能力，提升數學運算、邏輯推理、數學建模和數學交流能力．

（3）制作三等分角工具，是實踐到理論再到實踐的飛躍，通過學生動手設計和制作，在互相交流協作與反思改進中成長，培養學生的動手能力，提高數學運算、直觀想象和邏輯推理能力等素養．

（4）通過小組合作學習，培養學生合作互助、數學交流和動手操作等能力，培養學生的情感、態度與價值觀，提升學習數學的信念．

2.4 提煉數學實驗項目的驅動性問題

驅動性問題就是將需要學生理解和掌握的核心知識、技能，轉化為有挑戰性的、情境化的問題，激發學生的學習動機，在實驗的過程中實現知識的重組、技能的遷移運用，引導學生進行高階思維，是核心素養得以產生和發展的載體．因此，從符合學生的認知特點出發，“用一副三角板拼角”的實驗項目可以提出以下驅動性問題：（1）你能利用兩個三角板中30°，45°，60°，90°這四個角進行兩兩組合拼出多少不同度數的角？請動手拼拼畫畫．（2）你能找到所拼出的這些角之間的數量關系嗎？（3）你能用三角尺畫出哪些角的角平分線？（4）你能利用三角尺畫出一些角的三等分線嗎？你能總結你的發現嗎？（5）大家今天借助三角尺畫出了一些角的三等分線．請各小組推薦一份最優秀的作品，并說明推薦的理由．

2.5 數學實驗項目學習活動的評價

在數學實驗項目活動中，學生既整合已有的知識和技能遷移應用到新的情境中，又在新情境中動手操作、合作探究、發現新知、形成新的技能，還鍛煉和發展了學生的數學核心素養．因此，評價可以劃分為三個維度：（1）基礎知識與技能維度，作品能否體現掌握了知識與技能目標，掌握了多少個目標；（2）基本思想維度，參與實驗活動過程中，數學核心素養表現出了多少，運用了哪些解決問題的高階思想和方法；（3）基本活動經驗維度，學生合作交流的意愿強不強，積累哪些探索問題和實驗操作的經驗，學習數學的興趣和信念怎樣？

3 數學實驗項目化教學實踐案例

開展數學實驗項目化教學要體現學生是實驗活動的主體，設計適合不同實驗環境的項目活動，讓學生在實驗中用已有的知識和經驗解決未知領域的問題，感受、探究、獲得數學知識和技能，幫助學生理解數學，堅定數學學習的信念．

案例 八年級，利用輔助工具三等分角

作銳角∠MAN，在邊AM上取點B，過點B作射線BE⊥AN，再作射線BF⊥BE，在射線BF上取一動點D，連接AD交射線BE于點C，如圖1．

學生活動1 以幾何畫板為操作環境的小組，學生通過鼠標移動點D的位置，利用度量角工具測量∠DAN和∠MAN的度數，當∠DAN=1/3∠MAN時，再度量線段AB，CD的長度，提出自己的發現；

生1 當∠MAN=30°時，用鼠標沿BF向右拖動點D，射線AD交BE于點C，我發現當∠DAN=10°時，CD=2AB，如圖2；

生2 用鼠標沿BF向右拖動點D的過程中，射線AD交BE于點C，我發現當CD=2AB時，會有∠DAN=1/2∠MAN=15°，如圖3；

生3 當∠MAN=60°時，用鼠標沿BF向右拖動點D，射線AD交BE于點C，我發現當∠DAN=20°時，CD=2AB=5.42，如圖4．

學生活動2 以紙筆為操作環境的小組，學生利用量角器在∠MAN內部畫∠DAN=1/3∠MAN，利用刻度尺測量線段AB，CD的長度，如圖5～6，觀察線段AB與CD數量關系；

生4 如圖5，當∠MAN=60°時，我在∠MAN內部作∠DAN=20°，測量AB=2.8，CD=5.6，發現∠DAN=1/3∠MAN時，CD=2AB．因此，要三等分∠MAN，只要在射線BF上取合適的點D，然后連接AD交BE于點C，使CD=2AB，即可得三等分線AD．

設計意圖讓學生分組參與活動1和活動2，通過動手實驗操作，在變化中尋找不變的規律，即CD=2AB時，∠DAN=∠1/3MAN．請小組歸納出發現的結論，初步感受三等分角與相關線段之間的數量關系，并進行推理證明；

學生活動3 已知角MAN∠，設∠α=1/3∠MAN，如圖7，將∠MAN放置在每個小正方形的邊長為1cm的網格中，角的一邊AM與水平方向的網格線平行，另一邊AN經過格點B，且AB=2.5cm．現要求只能使用帶刻度的直尺，請你在圖中作出∠α，并簡要說明做法．

設計意圖學生在活動1和活動2的過程中，探索了三等分角與相關線段之間的關系．學生在理解三等分角原理的基礎上，將方法遷移到不同的情境中，有助于學生深度學習，理解問題本質．

學生活動4 如圖8，將∠MAN置于平面直角坐標系中，使點A與原點O重合，邊AN與x軸重合，以BC，BD為邊作矩形BCED，使BC與y軸平行，BD與x軸平行，讓學生移動點D的位置，當∠DAN=1/3∠MAN時，如圖8，測量點B和點E的坐標，你有何發現？讓學生再次改變∠MAN的大小，進行重復實驗，所發現的結論還一樣嗎？

設計意圖引導學生發現∠DAN=1/3∠MAN時，點B和點E的橫縱坐標之積相等，即點B和點E在同一雙曲線上．因此，點E在經過點B的雙曲線上．學生在幾何畫板上先畫出一條合適的雙曲線y=kx與邊MA交于點B，在點B下方的雙曲線上任取一點E，以BE為對角線作矩形BCED，使BC⊥AN，BD⊥BC．如圖9，連接AD，說明點ACD，，三點共線．讓學生改變點E的位置，說明點A，C，D仍三點共線．如圖10，當BE=CD=2AB時，∠DAN=1/3∠MAN．由此，引導學生發現構造矩形BCED的簡單方法：以點B為圓心，以2AB的長為半徑畫弧，與反比例函數圖象在點B下方的交點就是要求的點E，以BE為對角線構造如圖的矩形BCED，使BC⊥AN，BD⊥BC．從而，連接AD就使13∠DAN=1/3∠MAN．

學生活動5 請查找帕普斯三等分角的方法，在此基礎上設計三等分一個鈍角的方法，用文字簡要說明；以小組為單位完成一篇有關三等分角的數學小論文．

設計意圖 學生在幾何畫板實驗的基礎上，探索、發現并證明了利用反比例函數圖象進行三等分角的的方法和原理，用帕普斯三等分角的方法對學生進行學習評價．項目式學習要求評價要素和方式多元，以三等分銳角推廣到三等分鈍角和可視化數學小論文等多種形式進行，讓學生對三等分角的多種方法和原理進行歸納總結，實現深度學習和發展核心素養．

3 小結

3.1 項目化初中數學實驗教學有助于轉變學習方式，實現深度學習

以項目化學習開展數學實驗教學，能以學生為中心發揮學生的主體性作用，激發學生的學習動機，在富有挑戰的活動中助力深度學習．數學實驗強調學生借助數學工具運用觀察、操作、試驗、推理等方式主動參與學習活動過程，將數學實驗與項目化學習深度融合，讓學生在自覺的、自主的系列“做數學”的項目活動中，集中關注數學核心概念或原理，運用已有知識與能力完成項目實踐以達到發展新的知識與能力．在案例《利用輔助工具三等分角》中，學生運用已有的等腰三角形、直角三角形、特殊四邊形和反比例函數知識進行操作與觀察，從變中尋求不變，發現借助工具三等分角的基本原理，并進行邏輯推理證明，實現了深度學習，同時提升了學生信息技術與常規學習方式整合的能力．

3.2 項目化初中數學實驗教學有益于豐富校本課程，發展核心素養

項目化數學實驗教學的設計可以看成是特定課程開發的過程，即在建立與課程標準相聯系的目標基礎上，設計一套能夠使教師指導學生對某一特定主題進行深入研究的數學實驗課程．項目化數學實驗課程圍繞某一特定主題，充分整合學科知識的內部聯系以及跨學科與生活、工作技能、現實生活的聯系，采用螺旋上升式設計符合學生的興趣和知識能力發展水平的數學實驗項目，有利于主題學習的延續性，使學生在不同年段圍繞主題進行深入實驗研究，數學知識網絡結構不斷擴張，數學核心素養不斷提升．數學史中的《三等分角》內容相當豐富，可以形成校本化的項目式數學實驗課程，七年級安排《玩轉三角尺》；八年級安排《借助工具三等分角》；九年級安排《制作三等分角工具》和《數域擴充及尺規三等角不可能證明》．

3.3 項目化初中數學實驗教學有利于聯系真實情境，培養批判精神

無論是作為課程及其資源設計，還是作為數學教學方式的實施，項目化數學實驗教學的開展對數學素養的發展都有積極的作用．項目化數學實驗學習的目的是建立真實世界與數學世界之間的聯系，幫助學生從真實問題中抽象出數學問題，并建立數學模型來解決現實問題．項目化數學實驗活動的開放性強，對學生運算能力、推理能力、數據處理能力要求高，學習活動的進程不可控因素較多，在用折紙三等分角和制作三等分角工具中，需要學生在學習活動中不斷反思或自我批評，及時改進數學實驗方案，這無疑將培養學生的批判性思維．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2022

[2]徐斌艷．數學素養與數學項目學習[M]．上海：華東師范大學出版社，2021

[3]夏雪梅．項目化學習設計：學習素養視角下的國際與本土實踐[M]．北京：教育科學出版社，2018

[4]董林偉，趙維坤．初中數學實驗課程的開發與實踐探索[J]．江蘇教育研究，2017（S1）：33-36