基于問題鏈設計的章節起始課教學設計

摘 要：以蘇教版“任意角”為例對問題鏈式的教學設計進行了研究和闡述，發現問題鏈式教學在概念生成和原理獲得方面有顯著效果，可以促進學生對問題進行分析、思考、討論、歸納，從而達成學科學習目標并促進學生發展.

關鍵詞：問題鏈；教學設計；任意角

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）24-0052-04

收稿日期：2024-05-25

作者簡介：尹曉融（1997.11—），女，江蘇省海安人，碩士，中小學二級教師，從事數學教學研究.

數學教學是對數學的“再創造”，要引領學生經歷數學的再發現過程^［1］.問題鏈式教學指的是以學生為主體，教師按知識點的功能和聯系將教學過程轉化為一系列環環相扣的問題，以“問題”的形式組織教學，讓學生對問題進行分析、思考、討論、歸納，從而達成學科學習目標并促進學生發展的一種教學方式^［2］.1 內容解析

1.1 學情分析

學生在初中階段學習了正負數與0還有0°～360°的角等相關概念，有一定的認知基礎，同時也存在一定的認知障礙.對于角的認識形成了一定的思維定式，缺少對任意角概念的認知與思考，打破該定式有一定難度，后面對角的定量表示，用集合形式去表示終邊相同的角與象限角也有一定難度.學生通過類比正負數與0的概念得到正角、負角、零角的概念，并通過實際情景在直角坐標系中研究象限角、討論任意角以及終邊相同角集合的表示方法，其知識儲備水平符合本節課的基本學習要求，學習內容處于其最近發展區.

1.2 課標要求

三角函數是一類典型的周期函數.本單元的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性 （對稱性）、單調性和最大（小）值等性質；探索和研究三角函數之間的一些恒等關系；利用三角函數構建數學模型，解決實際問題.

內容包括：角與弧度、三角函數概念和性質、同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、三角函數應用.

課程目標：了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.

1.3 教材分析

“任意角”是人教A版高中數學必修一第五章第一節第一課時的內容.任意角的概念是學習任意角三角函數的基礎，是突破學生對角的概念認知的關鍵內容.本章教材的定位是展示對周期現象進行數學研究的過程，即建構刻畫周期性現象的數學模型的思維過程.角的概念的推廣（從靜態到動態）是研究三角函數的后續課程的邏輯基礎，在這之中起著承上啟下的作用.學生已經經歷過函數概念由靜態到動態的推廣，這對于角的概念的推廣有一定的幫助.角的概念在三角函數知識的發展過程中起著重要的作用，它決定著對三角函數的概念、性質的理解和把握的深度與廣度.

1.4 教材對比

蘇教版教材立足于概念產生的必然性，也就是“為什么角的概念要推廣”.從學過的角入手，以“游樂園的摩天輪旋轉了兩周半”得出以前學過的角不夠用了，再通過比較歸納得出角的概念在旋轉量和旋轉方向上都需要推廣，從而要表示周而復始運動所成的角引出任意角的概念.例題中涉及終邊相同角并判斷終邊位置和半角.

人教A版教材立足于大單元教學思想，把一個小節的內容融入整章去通盤考慮^［3］.從作周期運動的圓周運動出發，通過思考如何刻畫圓周上一點的位置變化，為后續研究作準備，體現了章起始課應有的作用.再舉生活中超出0°～360°的角的例子，體操、齒輪的旋轉提出區分旋轉的度數和方向，由此對角的概念進行推廣.例題中涉及終邊相同角并判斷終邊位置，寫出終邊落在直線上的角的集合和區域角.

北師大教材是從擰螺絲可以轉一圈，也可以轉多圈出發，對角的概念進行了推廣.例題與人教A版教材題型相同.

滬教版教材在《三角比》這一章第一節先給出銳角的正弦、余弦、正切、余切并給出了幾個特殊角的正弦、余弦、正切、余切值.任意角是其介紹的第二個概念，由于在小學和初中已經對角有了明確的旋轉定義，在此基礎上從體操、跳水等體育運動中出現的轉體術語、調節時鐘時間出發，從旋轉量和旋轉方向對角的概念進行推廣.例題也與人教A版題型相同.

這幾種教材的引入環節都圍繞學生對角的認知沖突展開，充分展現了對角進行推廣的必要性；都以問題串的形式呈現，層層遞進，每個問題都是學生思維的階梯；都與生活實際相聯系，并通過學生舉例的方式將抽象的概念具體化，從而深化對任意角的理解.

1.5 教學目標

（1）通過觀察生活情境，了解任意角的概念，理解任意角引入的過程與原因；

（2）能進行終邊相同角的計算，提高數學抽象素養與數學運算素養.

1.6 教學重難點

重點：任意角的概念、終邊相同角的集合表示方法.

難點：分類討論終邊相同角的問題，然后借助圖象分析其周期.

2 教學設計過程

2.1 回顧已學0°～ 360°范圍內的角

活動一：用你的兩支筆表示0°～ 360°范圍內的角

師：我們已經學過哪些角，有銳角、直角、鈍角、平角還有周角，請大家用兩支筆來表示出這些角，聽我指令：銳角、直角、鈍角、平角、周角.那周角怎么表示呢？請一位同學拿兩支筆在黑板面上給我們演示一下，大家看他是順時針旋轉得到的，那逆時針旋轉行不行呢？也可以.

【設計意圖】讓學生對角有一個基礎的認識，也能強化基本印象.一是“黑板面”，突出角是一個平面圖形；二是兩支筆旋轉，突出角的形成是通過旋轉；三是順時針和逆時針都可以，為后續正負角的概念生成作鋪墊.

活動二：校準時鐘

（1）時鐘快了1小時，校準后分針最少轉了多少度？

生：360°.

變1：若時鐘慢了1小時呢？

師：與剛才區別？

生：這會兒是順時針旋轉，是旋轉方向不同.

變2：若時鐘快了1.5小時呢？

師：與剛才區別？

生：這會兒是逆時針旋轉 540°，旋轉量不同.

【設計意圖】通過校對時鐘，讓學生親身體驗旋轉的角度和方向，得出540°是一個不在0°～ 360°范圍內的角，為后續角的擴充作準備.

師： 540°，這會兒出現了一個不在0°～ 360°范圍內的角，你還能舉出其他例子嗎？

活動三：例舉生活中不在0°～360°范圍內的角

生：跳水運動員前空翻720°，風車的旋轉，托馬斯全旋1 080°等等.

師：既然有這么多不在0°～ 360°范圍內的角，那今天我們來一起學習任意角.請大家閱讀課本，告訴我兩個概念（黑板上板書：角的概念、任意角，并作演示圖）

【設計意圖】讓學生聯系生活實際，讓知識更具象.帶領學生用數學的眼光觀察世界，有效調動學生積極性，課堂氛圍輕松，且角的概念已在學生的腦海中悄然生根發芽.

2.2 建構數學

（1） 角的概念：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

（2）任意角：

正角：按逆時針方向旋轉形成的角.

負角：按順時針方向旋轉形成的角.

零角：射線不作旋轉時形成的角.

師：黑板上畫出角的圖形（如圖1）.

活動四：如何比較兩銳角的大小

生：用量角器量.

師：很好，很聰明！那如果沒有量角器怎么辦？

生：移到一起看.

師：我們可以把這兩個角頂點放在一起，始邊重合，看終邊的位置.為了以后方便研究，所以我們把角放在平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，角的始邊與x軸正半軸重合.

【設計意圖】通過比較角的大小，把角放入直角坐標系，為后續將角的位置進行分類作鋪墊.

活動五：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，在同一平面直角坐標系中畫出下列各小題中的三個角.

①60°，-300°，420°；

②120°，480°，840°；

③90°， 450°，-270°.

師：我拿了三位同學畫的圖來給大家看一看，這三位同學畫得很好.（依次對照每幅圖）

【設計意圖】整節課唯一一道題，讓學生鞏固新知識的同時，也極大地推動了知識進程.學生通過觀察自己所畫的圖更有體會，更容易發現規律，也更能活躍氣氛.

問題1：通過觀察，你能發現同一組中三個角的終邊有何關系嗎？

生：終邊相同.

問題2：你能再寫出一個與60°終邊相同的角嗎？

生：780°，-660°，等等.

問題3：你能寫出所有與60°終邊相同的角β嗎？

生：β|β=60°+k·360°，k∈Z

問題4：根據上述探索，你能總結出一般性的結論嗎？

【設計意圖】循序漸進，不由一個例子進行直接總結，通過問題2進行過渡，使難點得到分散，整節課的進程也在學生們的共同努力下邁出了很大的一步，沒有直接告知結論，學生也有很強烈的成就感.在問題鏈的推動下，由60°這個角到所有與60°終邊相同的角，從具象到抽象概括，學生充分體會由特殊到一般的思想方法.

（3）終邊相同角的表示.與角α終邊相同的角的集合為β|β=α+k·360°，k∈Z.

注意：①k∈Z；②α是任意角；③終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同;終邊相同的角有無數多個，它們相差360°的整數倍.

【設計意圖】從360°的整數倍可體現周期現象，而三角函數是描述周期現象的重要數學模型，為整章周期性的模型觀念奠定了基調.

問題5：你能發現這三組角的終邊在平面直角坐標系中的位置有何不同？

（4）象限角、軸線角.終邊（除端點外）落在第幾象限就是第幾象限角；終邊（除端點外）在坐標軸上就說這角是軸線角.

2.3 小組合作，討論探究

圍繞終邊相同角的表示這一知識點，請每小組組長任意寫出幾個角，組員判斷這些角的終邊位置.

研究：如何判斷一個角的終邊位置？

生：（小組合作）把角化成在0°～ 360°范圍內容易判斷.

師：一句口訣：負化正、大化小.

變式：角α與60°終邊相同，那么α/2是第幾象限角？

生：（小組代表）我們可以寫出{α|α=60°+k·360°，k∈Z}，{α/2|α/2=30°+k·180°，k∈Z}，通過畫圖我們可以得到α/2是第一或者第三象限角.

師：非常好，有沒有其他方法（學生一片寂靜），我們還可以通過畫圖的方式來得到.既然是α/2，那我們將每個象限均分成兩部分，從第一象限的下方開始依次標上1、2、3、4，一共標出了兩組，此時，我們根據α與60°角終邊相同，而60°角是第一象限角，圈出所有的序號1便可以得到α/2所在的象限位置了，此時你發現與我們剛才計算得到的象限位置正好是一致的.（如圖2）

設計意圖】小組合作互相出題，讓學生的想象力充分得到發揮，不僅學以致用，也能開動學生腦筋如何判斷角的終邊位置.從0°～360°的角出發到任意角，最終又回到了0°～360°，轉化與化歸的思想在這一刻得到升華.得出α/2是第幾象限角時，在學生給出數的方法之后，再提供形的方法，相較之下形的方法更為簡單明了，也給學生留下了想象和思考的空間.

2.4 課堂小結

（1）知識小結：角的概念、角的大小、角的位置、角的關系；

（2）數學思想小結：數形結合、轉化與化歸、特殊到一般.

3 教學反思

以問題驅動教學是生成概念和獲得原理的最佳途徑，學生在合適的問題空間中能夠進行探索活動并體驗數學思想方法的形成過程.本節課通過生活情境，圍繞學生對角的認知沖突展開，充分展現了對角進行推廣的必要性，使得任意角概念的生成輕松自如.在僅有的一道畫圖題后，以問題鏈的形式層層遞進又層層推進，從特殊到一般，逐級突破本節課的重點——終邊相同角的表示.再從宏觀到微觀，角的終邊位置分類，對于判斷角的終邊具體位置，通過小組內相互出題的形式，學生在此過程中逐漸熟練，也能自己總結出判斷任意角的終邊位置，將本節課的難點分散.整節課數形結合的思想貫穿始終，問題鏈式教學能有效地提升高中數學課堂教學效益，增加學生學習數學的興趣，是促進數學教學減負增效的有力手段，有助于實現學生數學核心素養的培育和達成.

參考文獻：

［1］ 王海青，曹廣福.問題驅動數學教學的基本原則與思想及其實施步驟［J］.數學教育學報，2022，31（01）： 24-27.

［2］ 顧鐳.核心素養背景下高中數學問題鏈式教學設計與實施：以“直線的方程”為例［J］.科教導刊，2021（09）：163-164.

［3］ 孫信玲.“任意角”概念不同引入方式的比較研究［J］.中學數學月刊，2022（07）：34-36.

［責任編輯：李 璟］