數學思想在高中數學教學中的有效滲透

摘 要：數學思想是高中數學學習的基礎，教學中數學思想的滲透意義深遠.據此，本文重點探討如何在數學教學中高效滲透數學思想.華羅庚曾說過，數學是鍛煉思維的體操.所以，學習數學可以磨煉意志，提升綜合能力.

關鍵詞：數學思想；高中；數學；滲透方法

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）24-0046-04

收稿日期：2024-05-25

作者簡介：李云章（1981.6—），男，廣東省信宜人，本科，一級教師，從事數學教學研究.

基金項目：2023年廣東省中山市教育科研青年項目“數學文化融入高中課堂教學的有效途徑及意義”（編號：C2023144）.

數學思想如同明燈，照亮數學學習的道路.數學思想的有效應用可以幫助學生進一步理解和掌握數學的概念和內涵.所以，教學中教師需加強數學思想滲透，幫助學生正確地理解數學并有效解決問題.

1 數學思想在高中數學教學中滲透的意義

1.1 提升數學能力

在高中數學學習中，學生會接觸到諸如函數與方程、數列與不等式、立體幾何與解析幾何、建模思想等知識點.這些知識背后，都蘊含著豐富深刻的數學思想.以函數思想為例，它幫助學生從變化的角度看問題，將復雜問題轉化為數學模型，更直觀、更準確地找到問題的解決方案.此類思想不但能幫助學生拓展解題思路，還可以促使學生的抽象意識和數學理念得到進步和發展.

1.2 培養思維品質

數學思想于無形中培養著學生的思維品質.以函數為例，它不僅是數學中最為基礎且核心的概念之一，更是訓練邏輯思維和抽象思維的利器.在學習函數的過程中，學生不僅要掌握函數的定義、性質和應用，更要在解決實際問題的過程中，學會將具體問題抽象化，轉化為數學模型.

1.3 激發創新潛力

在現代社會中，創新能力成為衡量個人綜合素質和競爭力的重要指標.數學思想作為數學學科的核心，不僅具有嚴密的邏輯性和系統性，還能夠激發人的創新思維和解決問題的能力.因此，在高中數學教學中有效滲透數學思想，可以培養學生的創新能力，為其未來的發展奠定堅實基礎.教師通過引導學生深入探究數學思想的本質，幫助學生建立起一套完整的數學思維體系，從而激發學生的創新潛能.

1.4 奠基學術研究

高中數學作為連接初等數學和高等數學的橋梁，其內容和方法對于培養學生的學術素養和研究能力具有關鍵作用.通過滲透數學思想，教師可以幫助學生建立起扎實的數學基礎，為他們在未來的學術研究中提供有力的支撐.數學思想的學習不僅能夠幫助學生掌握數學知識，還能夠培養他們的數學直覺和數學美感，使他們在面對復雜的學術問題時能夠迅速找到切入點^［1］.

2 高中數學教學中滲透數學思想的方法

2.1 分類討論——化繁為簡的智慧

面對復雜多變的問題，人們往往可以通過分類討論，將其拆解成若干個子問題逐一解決，而這種思想在高中數學中有著大量的訓練素材.如研究函數性質時，將其分為單調函數、周期函數等不同類型，再針對不同類型的特點進行分析討論，從而理解概念并找到解題的突破口.如在圓錐曲線的學習中對焦點位置的討論和集合是否包含空集的討論等，通過這樣的教學，學生不僅能夠掌握具體的知識，更能學會如何運用分類討論的思想，將復雜問題變得更加簡單，實現化整為零、逐一攻克的效果.

2.2 對比分析——尋找異同的慧眼

對比分析是一種通過比較不同對象之間的差異和聯系，揭示事物本質的方法.在高中數學教學中，教師落實對比分析可以促使學生全面理解數學概念和原理.例如，在學習向量時，教師可以通過對比分析，讓學生明確向量與數量、向量與有向線段在性質、運算等方面的異同，理清新舊知識間的聯系，在舊知識的基礎上掌握新知識，從而深入理解向量的概念和應用.學生通過對比分析增強對數學知識的理解記憶，培養尋找異同、揭示本質的能力.

2.3 數形結合——數形的和諧共舞

數形結合是一種將數量與圖形緊密結合的數學思想，它可以將抽象的基礎概念和原理以圖形方式呈現出來，促進知識的有效掌握.數形結合主要是利用“數”來表現“形”的特征和利用“形”來表現“數”的聯系，學生可以通過數形結合更好地理解問題的實質內涵.例如，在解析幾何中通過數形結合的思想，將幾何圖形與代數表達式相結合，從而更加直觀地理解幾何性質和代數關系.數形結合不僅使數學變得更加直觀易懂，更能將幾何與代數這兩個貌似不相關的事物連成和諧共生的一個整體.

3 高中數學教學如何滲透數學思想

3.1 在概念中探尋數學思想的脈絡

教師在講授新知識前，首要任務便是引導學生深入理解這些概念，以及它們背后的形成過程.而數學概念不僅是數學語言的基石，更是邏輯思維和數學推理的起點，它們的形成往往經歷了漫長的歷史沉淀和無數數學家的智慧結晶.因此，教師在講授概念時，不僅要闡述其定義和性質，更要揭示其背后的數學思想和方法.以“一元二次函數”為例，其概念表達式較為簡潔，但背后蘊含的數學思想卻十分豐富.所以，當教師在講授一元二次函數的表達式時，不能單純地停留在表面形式上，還需深入挖掘其概念和公式背后的數學思想.如一元二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）中a，b，c的意義和作用，三個系數就決定了一元二次函數的位置和形狀.除了這些基本的性質，它還有一個重要的特性——軸對稱性，就此例而言它的對稱軸是x=-b/2a，其性質不僅是一元二次函數的重要特征，也是解決一元二次函數問題的一個關鍵工具.通過這一性質，學生結合其開口方向可以輕松找到函數的最大值或最小值，也可以快速判斷函數與x軸的交點情況，從而為后面的學習作鋪墊.在講授這些知識點時，教師應該注重引導學生理解和把握這些概念形成的具體過程，不僅要讓學生知道一元二次函數的表達式和性質，更要讓他們明白這些性質是如何得來的，在數學中有什么應用^［2］.

3.2 在問題情景中體驗數學思想的碰撞

以學生現有的認知結構和生活情境為教學活動的增長點，有利于學生理解數學思想并能主動應用解決實際問題.如在《指數函數》章節中，以兔子的繁殖數量作為問題情景引入，學生更能理解指數爆炸的實際意義，同時對指數函數的增長趨勢等有了更深層次的理解.數學解題能力作為學生學習數學過程中的核心技能，不僅關系到學業成績，更是培養數學思想如邏輯思維和問題解決能力的關鍵.例如“求函數y=x²-4mx+4在區間［2，4］上的最大值和最小值”問題中，教師先引導學生畫圖分析.隨著分析的深入，學生的認知沖突會越來越激烈，會意識到其是一個開口向上的一元二次函數且對稱軸x=2m是一個不定值.教師可以趁機提問：“同學們，你們覺得這個函數在區間［2，4］上的最大值和最小值可能出現在哪里？”有的學生認為最大值會出現在區間的端點，有的則認為會出現在對稱軸上，還有的提出了更加復雜的可能性，這個過程正是數學問題情景中體驗數學思想的碰撞.基于此，教師需引導學生一步步分析、一步步推理，最終得出答案.

3.3 在轉化中感悟數學思想的魅力

數學轉化思想作為一種高效的解題策略，其本質在于利用等價變換原理，將未知的、復雜的問題轉化為已知的、 簡單的形式^［3］.這一思想在數學學習中具有廣泛的應用，可以有效提高解題效率，而且在面對不同的問題時學生需要靈活運用各種轉化方法，這種過程不僅能進一步鍛煉學生數學技能，還可以持續拓寬學生的思維視野.比如這樣一道題：“滿射”是何物？它描述了一個集合中每個元素在另一集合中都有對應的原像.想象有兩個集合，一個擁有6個元素，另一個則有5個.如何從6到5建立這千絲萬縷的聯系，確保每個元素都能找到它的歸宿？這不僅僅是數字的排列組合，更是對邏輯思維和想象力的挑戰.許多同學初次面對此題，如同霧中的行者，不知所以然.但是這樣的疑惑和探索，教師只需利用轉化思想，實施題目轉變和演化，轉變描述方式：“假設我們有6個不同顏色的小球，現在要將這些球放置在5個顏色不同的紙箱之中，且所有箱子不能是空的，即每個小球都必須放入一個箱子中.那么，請問有多少種不同的投放方式？”讓原本抽象的題目變得生動而直觀.這個時候，學生可以通過想象小球和箱子的關系，更好地理解題目的含義.

3.4 在數形結合中領略數學思想的深度

數形結合作為一門跨學科的研究領域，旨在通過數學和形式思維的結合，探究事物內在的數學規律和形式美感.在這個領域里，我們不僅可以通過數學模型來解釋和分析形式感知，還可以通過形式感知來啟發并拓展數學思維.這種綜合性思維方式，讓我們在研究過程中頻繁地穿梭于數學與形式之間，從而進一步領略到思想的深度^［4］.

例如問題：一元二次方程x²+2kx+3k=0在（-1，3）上存在兩個根，求k的取值范圍.從題目上分析其涉及了一元二次方程的根與系數的關系、不等式的求解等多個知識點，如果我們能夠將其轉化為圖形問題，問題解決就會變得一目了然.在教師的引導下，學生動手畫圖找好關鍵信息，引導學生思考：如果拋物線的對稱軸x=-k在-1和3之間，它的兩個根怎樣分布？對稱軸還可以擺在哪些位置？待有初步結論時教師再借助信息工具如GeoGebra進行動態演示引導學生深入探究、討論、總結得出問題的解，從而實現認識從問題到本質的飛躍.通過這個環節，學生不但可以掌握正確運用數形結合解決數學問題的方式，更重要的是，他們也深刻領悟到了從基本的數學問題如何延伸到數學思想的深度和廣度，所以數形結合是思維訓練的最好例證.

4 結束語

學生在數學課堂上不僅僅是掌握數學知識來應付考試，最主要的是要獲得數學知識所蘊含的數學思想，在數學思想的支持下解決實際問題，同時也為其進一步學習和生活提供數學思維方法.因此，高中數學教育應重視數學思想的培養和滲透，全面提升學生的數學學科素養，增強學生的學習能力.

參考文獻：

［1］ 齊飛和.數學思想在小學數學教學中的有效滲透策略研究［J］.數學學習與研究，2023（23）：44-46.

［2］ 高菱.數形結合思想在高中數學教學中的價值滲透［J］.理科愛好者，2023（02）：58-60.

［3］ 葛永.數學文化在高中數學教學中的有效滲透和實施策略［J］.數理化解題研究，2022（36）：11-13.

［4］ 梁宏暉.審美教育在高中數學教學中有效滲透的意義、困境及策略［J］.教師，2022（23）：33-35.

［責任編輯：李 璟］