解決多面體截面問題的兩種視角

多面體的截面問題是立體幾何的常見問題之一，要求學生借助正方體直觀圖，根據已知條件結合空間想象，同時建立形與數的聯系，是具有挑戰性的一類問題；解決截面問題的過程中，又綜合運用平面基本性質、線面平行的性質定理和面面平行的性質定理等多方面的立體幾何知識，同時又有利于進一步發展提升學生的空間想象能力、數形結合能力和幾何作圖能力.

一、案例呈現

例1.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（ """"）

A.直線B1C與直線AF垂直

B.平面AEF截正方體所得的截面面積為

C.三棱錐F－AGE的體積為2

D.點A1與點G到平面AEF的距離相等

例2.已知邊長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1（如圖1），現用一個平面α截該正方體，平面α與棱AA1、AB、BC分別交于點E、F、G.若A1E=2EA，AF=2FB，CG=2GB.

（1）求面α與面ABCD所成銳二面角的余弦值；

（2）請在答題卷的第2個圖中作出截面α與正方體各面的交線，用字母標識出交線與棱的交點.

二、案例解析

（一）幾何法的分析與畫法

例1選項B.分析：首先直接連接多面體面上兩點A，E和E，F就得截面與多面體的面的兩條交線；其次，根據平面的無限延展性，三角形AEF只是截面的一部分.

（1）根據“不在一條直線上的三點唯一確定一個平面”，A，E，F分別為正方體不同側棱上的點，顯然三點不共線，于是截面在平面AEF上；

（2）根據“若兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行”，截面與平面AD1、平面BC1都相交，且平面AD1//平面BC1，于是交線平行；在平面AD1內，過點A的AD1滿足AD1//EF.

畫法：連A，E，連E，F，連A，D1，連D1，F，則等腰梯形AEFD1即為所求截面（如圖2）.

例2題（2） 分析：除了直接連線得截面與多面體的面的兩條交線，還需根據“面面相交得線，線線相交得點”來延長線段得交點.

（1）連G，F，則GF為截面與平面AC的交線，令GF∩DA=P1；

（2）根據“三個平面兩兩相交得到三條直線，若其中兩條相交于一點，則第三條也經過這點”，截面，平面AC與平面AD1兩兩相交，而有平面AC∩平面AD1=DA，截面∩平面AC=GF，GF∩DA=P1，于是截面與平面AD1的交線必過點P1，即P1E必為截面與平面AD1的交線，令P1E∩D1D=P2；

（3）同理，令FG∩DC=P3，截面，平面AC與平面DC1兩兩相交，而有FG∩DC=P3，于是截面與平面DC1的交線必過點P3，令P2P3∩C1C=P4.

畫法：連G，F，并延長與DA的延長線交于點P1；連P1，E，與D1D交于點P2；將延長與DC的延長線交于點P3；連P2，P3，與C1C交于點P4；則五邊形EFGP4P2即為所求截面（如圖3）.

雖然問題（2）不要求理由與過程，只要求作出截面α與正方體各面的交線，但就學生本身而言還是非常有必要弄清楚獲得截面多邊形各頂點的來龍去脈，對“如何確定這些交線？如何確定交點？”等核心問題要知其所以然.

（二）向量法的分析與畫法

由上述例1、例2的幾何法解析可以發現，求過多面體表面上的三點作多面體的截圖，關鍵在于尋找截面多邊形的頂點——截面與多面體棱的交點，而這種幾何上的位置關系可以通過數量關系來確定.

例1選項B. 解：分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D－xyz.

∵AD=2，E，F分別為BC，CC1中點，由A（2，0，0），E（1，2，0）， """"F（0，2，1），則=（－1，2，0），= （－2，2，1）.設面AEF的法向量為=（x，y，z），則·=0·=0，即－x+2y=0－2x+2y+z=0.

令y=1，則x=2，z=2， ∴=（2，1，2）.

設截面在棱DD1上的頂點為點P，設P（0，0，λ），則AP=（－2，0，λ），由·AP=0，則－4+2λ=0，有λ=2.∴點P即為點D，四邊形AEFD1即為所求截面（如圖4）.

注：上述解答過程中，“截面在棱DD1上的頂點為點P”的假設是關鍵，這需要學生發揮空間想象力，猜想平面在空間延展時將會與多面體的哪一條棱相交而產生截面多邊形的頂點.本題中λ=2，所以截面為等腰梯形AEFD1；若所求λlt;2，則截面為四邊形AEFP（如圖5）；若所求λgt;2，則截面為五邊形AEFMN（如圖6）.

例2題（2）解：分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D－xyz.

∵AD=3，A1E=2EA，AF=2FB，CG=2GB.由F（3，2，0），E（3，0，1）， G（2，3，0），則=（－1，1，0），=（0，－2，1）.

設面EFG的法向量為=（x，y，z），則·=0·=0，即－x+y=0－2y+z=0.令y=1，則x=1，z=2， ∴=（1，1，2）.

設截面在棱DD1上的頂點為點P，設P（0，0，λ），則=（－3，－2，λ）.由·=0，則－3－2+2λ=0，有λ=.

同理，設截面在棱CC1上的頂點為點M，設M（0，3，μ），則= "（－3，1，μ）.

由·=0，則－3+1+2μ=0，有μ=1.

∴五邊形EFGMP即為所求截面（如圖7）.

注：上述解答過程中，根據“截面多邊形的頂點一定在多面體的棱上”和平面的延展，分別通過計算λ和μ，明確點P為線段DD1的六等分點，點M為線段CC1的三等分點，從而確定了截面多邊形.

用向量法解決多面體的截面問題，與用向量法解決空間角問題類似，按部就班地通過坐標運算求解面的法向量等，形式單一易懂，只要明確所要求解目標的本質內涵就能快捷迅速得到最終正確結論.

三、教學啟示

1.如上述兩個案子，立體幾何題目不一定附帶直觀圖，這就需要學生們根據已知作出符合題意的圖像，且在解題過程中還需要數形結合以發現解題的關鍵.因而，在日常教學中應有意識多示范如何作圖，多提供畫圖的機會給學生.

2.避免因講題而講題，使得學生重現“聽得懂，不會做”的情境.因此，在用幾何法解決多面體截面問題時，不能僅僅展示怎樣作圖，而因分析清楚幾何法的理論依據及前因后果，說明為什么這樣作圖，怎樣想到要這樣作圖，讓學生在遇到類似問題時能憑借理論、方法和已有的解題經驗實現熟練正確地解題.

3.用幾何法解決案例2的多面體截面問題時，都有一個共同的出發點——將線段延長相交，這個作圖手法行之有效，能使解題即刻“柳暗花明”.此外，多面體的截面作圖問題可以歸結為確定截面多邊形的頂點問題，也就是截面與多面體棱的交點問題.

4.應有意識地讓學生多復習并儲備平面幾何知識，高中立體幾何的正確解答也需要平面幾何知識的輔助，如案例1中等腰梯形面積的求解，案例2中的等分點和相似三角形的邊長.

5.上述三個案例中幾何法和向量法的解答各有優勢：幾何法直觀簡潔，但思維要求較高；向量法形式規整統一，但對計算能力要求較高.所以教學時要做到這兩種方法兼顧，將數與形有機結合，進一步發展學生幾何直觀、空間想象能力和數學運算能力，提升學生的直觀想象和數學運算等核心素養.

責任編輯"邱"麗