深究其惑 探究其解

摘 要：根據(jù)2021年全國新高考Ⅰ卷21題廣東省考生的評卷情況，對試題進(jìn)行多角度分析后，給出了三種不同的解法.在教學(xué)過程中，注重開發(fā)學(xué)生的思維，鼓勵學(xué)生通過一題多解來不斷加深并拓展知識，有效擺脫思維定式的制約，倡導(dǎo)在解題中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，開拓思維.

關(guān)鍵詞：開拓思維；探究問題；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0069-03

2021年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握必備知識和關(guān)鍵能力的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)題型的開放性和數(shù)學(xué)思維的開放性，穩(wěn)中求新，對深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常困惑于找不到突破口，如何選擇變量？選擇哪種途徑？能不能行得通？不能確定選擇的方案能否解決問題？等等.在日常教學(xué)中教師應(yīng)了解學(xué)生解題“卡”在哪里，要有針對性地解決學(xué)生的困惑，幫助學(xué)生跨過“坎”.下面以2021年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題為例談?wù)勗诮虒W(xué)中如何助推學(xué)生順利達(dá)成目標(biāo)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1 考題呈現(xiàn)

題目 （2021年全國新高考Ⅰ卷21）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1（-17，0）F2（17，0），MF1-MF2=2，點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

2 評卷情況

從高考評卷的情況來看，此題全省平均分2.32，其中第（1）問平均分2.24，難度0.56；第（2）問平均分0.08，難度0.01，很多考生得0分，此題總平均分還是得益于第一問貢獻(xiàn)的.問題出在：一是考生聯(lián)立直線AB與曲線C的方程后，整理不出含有參數(shù)k1和t的關(guān)于x的一元二次方程；二是考生不知如何處理式子TA·TB=TP·TQ，卡住了很多考生，歸根到底是計算問題.運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功，但是運(yùn)算素養(yǎng)并不是一蹴而就的，需要長期的培養(yǎng).

3 試題解法分析

此題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的性質(zhì)、直線和雙曲線的位置關(guān)系.（1）利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點(diǎn)F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出a，b的值，即可得出軌跡C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)T（12，t），設(shè)直線AB的方程為y-t=k1（x-12），設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線AB與曲線C的方程，列出韋達(dá)定理，求出TA·TB的表達(dá)式，設(shè)直線PQ的斜率為k2，同理可得出TP·TQ，由TA·TB=TP·TQ化簡可得k1+k2的值.

3.1 第（1）問解析

解析 因?yàn)镸F1-MF2=2lt;F1F2=217，

所以軌跡C是以點(diǎn)F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

設(shè)軌跡C的方程為x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），則2a=2.

可得a=1，b=17-a2=4.

所以軌跡C的方程為x2-y216=1（x≥1）.

當(dāng)然也有部分考生利用兩點(diǎn)間的距離公式，然后利用兩次平方法求得，此方法對運(yùn)算能力要求較高.第（1）問由于部分考生漏寫了限制條件x≥1而導(dǎo)致扣分，反映出部分考生對雙曲線的定義掌握得不夠牢固.

3.2 第（2）問解析

解法1 （代數(shù)法）設(shè)點(diǎn)T（12，t），若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點(diǎn)，不妨設(shè)直線AB的方程為

y-t=k1（x-12），

即y=k1x+t-12k1.

聯(lián)立y=k1x+t-12k1，16x2-y2=16， 消去y整理，得

（k21-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-12k1）2+16=0.

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1gt;12且x2gt;12.

由韋達(dá)定理，得

x1+x2=k21-2k1tk21-16，x1x2=（t-k1/2）2+16k21-16.

則TA·TB=（1+k21）·x1-12·x2-12

=（1+k21）·（x1x2-x1+x22+14）

=（t2+12）（1+k21）k21-16.

設(shè)直線PQ的斜率為k2，同理可得

TP·TQ=（t2+12）（1+k22）k22-16.

因?yàn)門A·TB=TP·TQ，即

（t2+12）（1+k21）k21-16=（t2+12）（1+k22）k22-16.

整理可得k21=k22.

即（k1-k2）（k1+k2）=0.

顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

因此直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

點(diǎn)評 高考評卷時發(fā)現(xiàn)部分考生知道設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)和直線AB的方程，但是聯(lián)立直線AB與曲線C的方程后，整理不出含有參數(shù)k1和t的關(guān)于x的一元二次方程，只有極小部分考生能夠準(zhǔn)確得到關(guān)于x的一元二次方程，而又不能準(zhǔn)確算出TA·TB和TP·TQ，此方法運(yùn)算量較大，容易出錯，因而得分不多.

解法2 （參數(shù)方程法）設(shè)點(diǎn)T（12，t），若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點(diǎn).因而設(shè)直線AB，PQ的傾斜角分別為α和β（α≠β），則直線AB的參數(shù)方程為

x=12+tcosα，y=m+tsinα.（t為參數(shù)）

代入曲線C的方程可得關(guān)于t的一元二次方程為（16cos2α-sin2α）t2+（16cosα-2msinα）t-m2-12=0.

顯然16cos2α-sin2α≠0，否則過點(diǎn)T的直線平行于漸近線，不可能與C有兩個交點(diǎn).根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知

TA·TB=t1t2

=-m2+1216cos2α-sin2α

=-m2+1217cos2α-1.

同理可得TP·TQ=-m2+1217cos2β-1.

由于TA·TB=TP·TQ，

于是17cos2α-1=17cos2β-1.

可得cosα+sinα=0.

則α=π-β.

因此直線AB與直線PQ的斜率互為相反數(shù)，兩者斜率之和為0.

點(diǎn)評 采用參數(shù)方程的方法運(yùn)算量較小，相對來說容易得高分，但是對考生的能力要求較高.

解法3 （二次曲線系法）設(shè)直線AB，PQ的斜率分別為k1和k2，令點(diǎn)T（12，n），則這兩條直線上所有點(diǎn)的并集構(gòu)成的點(diǎn)集對應(yīng)的曲線方程可設(shè)為C1：（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）=0.

進(jìn)一步，經(jīng)過C1與C的交點(diǎn)即A，B，P，Q的曲線系方程可表示為C2：（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）+（16x2-y2-16）=0.

又因?yàn)門A·TB=TP·TQ，由相交弦定理可知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，故C2中交叉項(xiàng)系數(shù)和為0.

即k1+k2=0.

因此直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

點(diǎn)評 利用曲線系和相交弦定理的方法運(yùn)算量很小，簡潔明了，但思維量很大.對學(xué)有余力、基礎(chǔ)扎實(shí)和能力較強(qiáng)的學(xué)生來說不失為一種好方法.

4 結(jié)束語

高三復(fù)習(xí)主要是解題教學(xué)，樹立正確的解題教學(xué)觀很重要.解題教學(xué)首要目的是鞏固概念，最終目的是學(xué)會思考，教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣［1］，從運(yùn)算的準(zhǔn)確性、熟練性、

合理性、簡潔性、規(guī)范性入手，努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

我們要重視學(xué)生獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用、靈活應(yīng)變能力、數(shù)學(xué)閱讀和表達(dá)等關(guān)鍵能力的培養(yǎng).不要盲目追求題量，解題關(guān)注的是質(zhì)量，題不在多，典型就行；題不在難，有思想則靈.通過解題，我們能夠一葉知秋，拓展思維，提高解題能力.

教師應(yīng)該千方百計提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，開展“以學(xué)生自主活動為主”的課堂教學(xué)，讓學(xué)生獨(dú)立自主地進(jìn)行探究點(diǎn).更重要的是，教師要以學(xué)生學(xué)習(xí)為主線，關(guān)注學(xué)生問題生成、提出、分析和解決的全過程，指導(dǎo)并促使學(xué)生由淺入深、由表及里地進(jìn)行學(xué)習(xí)探究，進(jìn)而形成獨(dú)立思考、實(shí)踐和學(xué)習(xí)的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 江中偉.重視基礎(chǔ)提煉方法提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2019（09）：52-54.

［責(zé)任編輯：李 璟］