HPM視角下大單元教學的實踐與思考

摘" 要：“因數(shù)和倍數(shù)”與“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”都是初等數(shù)論的重要內(nèi)容，本文嘗試以數(shù)學史（HPM）視角，將兩個單元進行整合，展開教學研究.從把握邏輯本源、梳理知識脈絡(luò)、拓展數(shù)學研究、作業(yè)融合設(shè)計等角度，讓數(shù)學史更好地融入小學數(shù)學教學.

關(guān)鍵詞：HPM視角；因數(shù)與倍數(shù)；大單元教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》

指出：“要了解數(shù)學知識產(chǎn)生的背景，強化數(shù)學史的育人功能，通過了解數(shù)學家的卓越貢獻以及相關(guān)創(chuàng)造，可以領(lǐng)悟到中華民族獨特的數(shù)學智慧，從而增強我們的文化自信和民族自豪感.”［1］為了達成這個目標，筆者在教學中嘗試將《因數(shù)和倍數(shù)》與《分數(shù)的含義和性質(zhì)》中“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”兩個單元進行整合，并融入數(shù)學史的內(nèi)容，展開教學研究.筆者依據(jù)現(xiàn)行教材的單元安排，整理出了一份對應的表格（見表1）.

1" 依據(jù)歷史發(fā)展，梳理邏輯本源

“倍數(shù)與因數(shù)”是初等數(shù)論的一部分，屬于“數(shù)的整除”范疇.在數(shù)學中，我們知道兩個整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，但是當我們用一個非零整數(shù)去除另一個整數(shù)時，所得的商未必是整數(shù)，這就引出了整除的概念.因此，倍數(shù)與因數(shù)實際上反映了自然數(shù)在整除性質(zhì)上相互關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象.在我們的數(shù)學探索歷程中，我們的先輩們不斷總結(jié)整除和倍數(shù)關(guān)系的規(guī)律.能整除的，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù).我們試著從古人的角度合情推理這里的演變過程：除法很煩瑣，有時能夠整除，有時又不能整除，如果能夠知道2、5、3的倍數(shù)有什么特征，就不用每次都麻煩地用除法計算一遍，通過運用2、5、3的倍數(shù)特征就能迅速判斷，大大提高除法試商、調(diào)商的效率——這就是我們現(xiàn)在學習“能被2、5、3整除的數(shù)的特征”的意義所在.特別是對3的倍數(shù)的探究，可以結(jié)合我們古代算籌計數(shù)的特點（如圖1）進行教學.

3根、3根去分，每一個10根分出9根后剩1根，每個100根分出99根后剩1根，每個1000根分出999根后也剩下1根……也就是有幾個十、百、千……就會余下幾.可見，各個數(shù)位上剩下的數(shù)字就是除以3之后的余數(shù)，所以，只要考慮各個數(shù)位上剩下的余數(shù)總和是不是3的倍數(shù)就能判斷是否整除.

接下來，在大量例證的前提下，古代數(shù)學家又發(fā)現(xiàn)了以下定理.

定理1：傳遞性.

若a是b的倍數(shù)，b是c的倍數(shù)，則a是c的倍數(shù).

定理2：若a，b都是m的倍數(shù)，則a±b也是m的倍數(shù).教材中例題如圖2.

（1）14、21都是7的倍數(shù)，14與21的和是7的倍數(shù)嗎？

（2）27、18都是9的倍數(shù).27與18的差是9的倍數(shù)嗎？

通過這兩個小題，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能再舉幾個例子驗證你的發(fā)現(xiàn)嗎？

在漫長地探索過程中，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯（Pythagoras）發(fā)現(xiàn)了完美數(shù)（完全數(shù)）與親和數(shù)，這部分可以作為拓展內(nèi)容，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣.教材中例題如圖3.

完全數(shù)

6的因數(shù)有1、2、3、6，這幾個因數(shù)的關(guān)系是：1＋2＋3=6.像6這樣，等于除了它自身以外的全部因數(shù)之和的數(shù)，叫作完全數(shù).

28也是完全數(shù)，而8則不是，因為1＋2＋4≠8.完全數(shù)非常稀少，截至2021年，人們一共找出了51個完全數(shù)，其中較小的有6、28、496、8128等.

完全數(shù)還有一個有趣的性質(zhì)，它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和.不信你可以試試看.

圖3

沿著古希臘文明的歷史痕跡，我們可以從中汲取養(yǎng)料，更好地理解質(zhì)數(shù)和合數(shù).

數(shù)字1看來很符合質(zhì)數(shù)的基本原則：只能被1和它自己（還是1）整除.但為什么我們卻說1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)呢？多年以前，1在質(zhì)數(shù)中也曾經(jīng)占有一席之地.然而，算術(shù)基本定理最終把1從質(zhì)數(shù)名單中趕出去了.定理定義：“合數(shù)是唯一的一系列質(zhì)數(shù)的乘積”，“唯一”一詞十分嚴格，因為假如允許1作為質(zhì)數(shù)，那合數(shù)就不能做唯一的因數(shù)分解了.舉例來說，6是2×3.如果有1，你也可以說6是1×2×3.看起來也沒什么，但是再加些1會如何呢？6是1×1×1×2×3，如果6里面的1可以持續(xù)不斷地添進去，那么就不能說這組質(zhì)因數(shù)是唯一的了，最簡單的修正就是把1移出質(zhì)數(shù)名單.

畢達哥拉斯學派，還發(fā)現(xiàn)可以通過數(shù)形結(jié)合來思考數(shù)字“1”.如圖4，他們把數(shù)和沙灘上的小石子聯(lián)系起來，按小石子所能排列的形狀進行分類，發(fā)現(xiàn)用整數(shù)點可以擺成直線和方形：數(shù)字1不能擺成直線和方形，它只是一個點，所以1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；像2、3、5、7這樣的數(shù)，只可以擺成一條直線，稱為質(zhì)數(shù)；其他如6、21等既可作直線，又可作方形（正方形和長方形），叫做合數(shù).

圖4

畢達哥拉斯學派的小石子研究法，也可以用來理解奇數(shù)和偶數(shù)，如圖5所示.

奇數(shù) ……

偶數(shù) ……

奇數(shù)＋偶數(shù)

圖5

用這種數(shù)形結(jié)合的方法從直觀的角度還可以進一步討論，整數(shù)之積的奇偶性原理.當兩個整數(shù)相乘時，如果其中一個是偶數(shù)，那么結(jié)果必定是偶數(shù)；如果兩個數(shù)都是奇數(shù)，那么結(jié)果必定是奇數(shù).

通過對自然數(shù)的分析，我們識別出其中的質(zhì)數(shù).質(zhì)數(shù)包括2、3、5、7、11、13等，它們的因數(shù)只有1和自身，并且不可分解.質(zhì)數(shù)也被叫做“分解所得的基本粒子”，其定義雖然十分樸素，但人類通過2000多年的不斷探索逐漸明白，質(zhì)數(shù)中充滿了各種深奧的謎團.最大的謎團就是“質(zhì)數(shù)分布規(guī)律是什么”這就是“素數(shù)分布問題”.2、3、5、7、11……開始階段素數(shù)出現(xiàn)的節(jié)奏很快，但往后就變得越來越慢.

在接下來的數(shù)學歷史中，對于質(zhì)數(shù)的判別，難倒了許許多多的數(shù)學家.清代數(shù)學家李善蘭嘆曰：“任舉一數(shù)欲辨其是數(shù)根（質(zhì)數(shù)）否，古無法焉.”高斯－費馬質(zhì)數(shù)、梅森素數(shù)等曾被寄予厚望，但最后被證明是錯誤的.然而，這些錯誤的研究卻對后來的數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響.在數(shù)學發(fā)展過程中，錯誤具有無法估量的價值，因為它們帶來了寶貴的教訓和啟發(fā).數(shù)學的歷程充滿了曲折和挑戰(zhàn)，數(shù)學家們?yōu)榱送七M數(shù)學的研究而不懈努力.而在這些研究中，2200年前古希臘數(shù)學家埃拉托色尼（Eratosthenes）的素數(shù)（質(zhì)數(shù)）篩選法被我們的教材所收錄.教材中的100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表，有著豐富的數(shù)學史價值.

建議在如下環(huán)節(jié)開展數(shù)學探究活動.

找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，做一個質(zhì)數(shù)表（見表2）.

第一步：100開平方得到10.

第二步：找出1～10之間的質(zhì)數(shù)2、3、5、7.

第三步：從1～100里把2、3、5、7的倍數(shù)去掉，剩余的其他數(shù)都是質(zhì)數(shù).

同理，找出1萬以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，第一步10 000開平方等于100，然后得出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)25個，然后去除這25個質(zhì)數(shù)的全部倍數(shù)，就得到1萬以內(nèi)所有的質(zhì)數(shù).以此類推，找出100 000 000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，那就1億開平方，得到1萬，得到10 000以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，再從1億個數(shù)里把這些質(zhì)數(shù)的倍數(shù)全部去除.當然，隨著數(shù)越來越大，我們也會借助超級計算機進行質(zhì)數(shù)研究.

此方法還可以用來判斷一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù).

例如，967是不是質(zhì)數(shù)呢？

我們先把967開平方，約為31.1，找出31以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31”，挨個驗證，就可以判斷出967是一個質(zhì)數(shù).

這個方法也能用在因式分解上，判斷出這個數(shù)是如果是合數(shù)后，就可以找出它是哪幾個質(zhì)數(shù)的乘積.

“有沒有最大的質(zhì)數(shù)？”是學生自然而然會產(chǎn)生的疑問，也是我們古代數(shù)學家所思考的問題.雖然高學段的孩子已經(jīng)認識到自然數(shù)的個數(shù)是無限的，沒有最大的自然數(shù)，具有初步的無限觀，依此能自發(fā)合情推理出沒有最大的質(zhì)數(shù)這一結(jié)論.但這種樸素的觀點，顯然過于隨性，遠遠達不到數(shù)學證明的高度.古希臘數(shù)學家歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》這部兩千多年前的曠世巨著里，就給出了精彩的證明.［2］

命題：素數(shù)（質(zhì)數(shù)）的個數(shù)比給定的素數(shù)（質(zhì)數(shù)）個數(shù)多.

圖6

如圖6，原題使用了線段單位的推理方法進行論證，理解起來可能有一定困難，下面是一個比較簡化的證明.假設(shè)n是最大的質(zhì)數(shù)，現(xiàn)在考慮將所有質(zhì)數(shù)相乘：2×3×5×7×11×…×n.這個數(shù)是一系列質(zhì)因數(shù)乘積組成的合數(shù).現(xiàn)在，我們將這個乘積加1，記為m，即m=2×3×5×7×11×…×n＋1.由于m不是任何已知質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，所以m必定是比n更大的質(zhì)數(shù)，這與我們假設(shè)找到了最大的質(zhì)數(shù)矛盾.這種方法采用了數(shù)學上巧妙的邏輯方式——反證法，我們先假設(shè)命題成立，然后得出矛盾，進而推出命題不成立.正是這種方法使得這個看似棘手的問題得以精巧地證明.

2" 跨越數(shù)學時空，實用與推理交響

“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”的概念是本單元中的一個重要內(nèi)容，它不僅是“因數(shù)和倍數(shù)”的延續(xù)，又是學習分數(shù)通分的前提.對于這些概念的數(shù)學史考證發(fā)現(xiàn)，古希臘數(shù)學家歐幾里得在他的著作《幾何原本》中首次提出了最小公倍數(shù)的概念，這是一種比較純粹的邏輯推導.而中國北魏時期的數(shù)學家張邱建是通過對分數(shù)通分運算與天文、歷法周期計算歸納總結(jié)得到的，并闡明了最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之間的關(guān)系.東西方的源頭不同，一個來源于理論推演，一個更偏向?qū)嶋H總結(jié)，但各自給出了對最小公倍數(shù)的理論認知.HPM為這部分的教材編排提供了一個很好的佐證，依據(jù)歷史發(fā)生原理，我們能體會到為什么人教版教材把“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”放到分數(shù)計算板塊，這恰恰暗合了中國古代研究的歷程——分數(shù)計算的迫切需要.

另一個令教師們頭疼的問題是：“分解質(zhì)因數(shù)要教嗎？”回答這個問題，需要通過對數(shù)學史的比較，進而理解教材編排的意圖.對整數(shù)進行因數(shù)分解是一個容易理解，又是一個很難解決的問題.當涉及較小的整數(shù)時，因數(shù)分解可以被視為一個算術(shù)問題，但當涉及大數(shù)時，如一個50位數(shù)的整數(shù)的因數(shù)分解，就會變成了一個超級數(shù)學難題.即使使用試除法，并借助電腦，一個人一輩子也可能無法完成.大數(shù)的分解是數(shù)學史中最古老的問題之一，即使到了智能算法大行其道的現(xiàn)在，仍然沒有得到徹底解決.由于大整數(shù)可能是質(zhì)數(shù)也可能是合數(shù)，因此，這一問題就包括兩個方面：判定給定的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)和將大合數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的乘積（大數(shù)分解）.

威廉斯法和艾一魯法只能單純判定質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，不能找出合數(shù)的質(zhì)因數(shù).對小學生而言，想要很好地掌握因數(shù)分解相當困難.例如，求735000，238948，421160的最大公因數(shù).而我們古代數(shù)學家另辟蹊徑，是用輾轉(zhuǎn)相除法（更相減損術(shù)）來計算的.所以，分解質(zhì)因數(shù)在具體應用時并不是必需的.為此，教材才會采用“你知道嗎？”的表述形式介紹概念和方法（短除法）.“你知道嗎？”這一欄目不是不教，而是更具有探索性，引導師生作為課程教學資源進行充分挖掘、有效開發(fā)，并與課堂教學有機整合，才能凸顯其教學價值.

圖7、圖8、圖9這三塊“你知道嗎？”的核心是短除法.在小學階段，利用短除法來分解質(zhì)因數(shù)、求幾個數(shù)的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)既清晰又便于計算.不過學生初次接觸時，很可能不太習慣，進而影響對短除法的接受.那就讓我們再次合情推理，還原發(fā)現(xiàn)短除法的過程.

（1）104分解質(zhì)因數(shù)，一般除法豎式需要3步.

52

2）104

10

4

4

0

26

2）52

4

12

12

0

13

2）26

2

6

6

0

（2）數(shù)學家發(fā)現(xiàn)實際有用的數(shù)據(jù)只有三個“2”和一個“13”，可以省略掉無用的過程，于是他們將除法豎式疊起來.

（3）過不多久又出現(xiàn)新的問題，倒著往上寫不符合書寫習慣，也不美觀.于是，想到把除號倒過來書寫的方法，就演變成了我們現(xiàn)在的短除法.

作為課程開發(fā)，有個很有意思的素材值得學生去探索.這就是因數(shù)個數(shù)公式（費馬公式）：因數(shù)個數(shù)=（a＋1）×（b＋1）×（c＋1）×……括號當中的a，b，c是指數(shù)，指數(shù)就比如23，數(shù)字右上方的小數(shù)字3就是指數(shù).

例如，72有多少個因數(shù)？

先用短除法把72分解質(zhì)因數(shù)，再寫成分解質(zhì)因數(shù)的一般形式，然后把相同的質(zhì)因數(shù)個數(shù)加1后相乘，所得的積就是72的因數(shù)的個數(shù).

（1）用短除法分解質(zhì)因數(shù).

（2）分解質(zhì)因數(shù)的一般形式：72=3×3×2×2×2=32×23.

（3）有2個3，3個2，相同質(zhì)因數(shù)個數(shù)加1相乘是（2＋1）×（3＋1）=12（個），72有12個因數(shù).

理解這個概念與我們學過的排列組合有關(guān).根據(jù)數(shù)字23，我們知道它的因數(shù)有1、2、4、8；根據(jù)數(shù)字32，我們知道它的因數(shù)有1、3、9.那么數(shù)字72的所有因數(shù)就是將23中的每個因數(shù)與32中的每個因數(shù)相乘（包括它們本身）.

短除法是小學數(shù)學知識里求“最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)”的最好方法.前后三個“你知道嗎？”貫穿了這部分教學的始終，也為后續(xù)分數(shù)的計算做準備.

我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》介紹了“約分術(shù)”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”意思是說：如果分子、分母全是偶數(shù)，就先除以2；否則用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，把所得的差與上一步中的減數(shù)比較，再用大數(shù)減去小數(shù).如此重復進行下去，當差與減數(shù)相等即出現(xiàn)“等數(shù)”時，用這個等數(shù)約分.

《九章算術(shù)》中的更相減損法（約分術(shù)）和《幾何原本》中的輾轉(zhuǎn)相除法有著異曲同工之妙，它們都是用來簡化和處理分數(shù)的方法，通過不同的途徑，實現(xiàn)了分數(shù)的化簡（如圖10）.

3" 師法古題改編，作業(yè)設(shè)計交融

在大單元教學中，教師不僅要從邏輯的本源和知識的拓展中，融入數(shù)學歷史，還要在數(shù)學作業(yè)練習設(shè)計中，把數(shù)學古題融合其中，體會知識的起源與應用價值.

（1）如圖11，有兩根長分別為40分米和32分米的木條，現(xiàn)在要把它們鋸成同樣長的小段（每段長的分米數(shù)都為整數(shù)），并且沒有剩余，每小段長多少分米？

圖11

（2）如圖12，工人師傅鋪地面，用規(guī)格長16厘米、寬12厘米的長方形磚塊，拼成一個正方形，至少需要多少塊磚？

前文我們已經(jīng)分析過，中國的“最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)”來源于分數(shù)通分運算與天文歷法周期計算，下面就給出一道天體計算的問題.

（3）如圖13，木星與土星兩顆行星都在地球軌道的外側(cè).木星完成一次繞太陽的周期需要12年，而土星則需要29年.地球、木星和土星要隔多少年，它們才能相遇一次，或者說3顆星在一條直線上相貫，多少年是1個周期？

（4）長女三日一歸，中女四日一歸.

小女五日一歸，問幾何日相逢？

圖14

釋義：改編自《孫子算經(jīng)》，如圖14，意為有一戶人家，三個女兒都已出嫁.大姐三天回一次家，二姐四天回來一次，幺妹五天回來一次.假設(shè)三個女兒同一天離開娘家，至少過多少天她們?nèi)⒚貌拍茉俅蜗嗑郏?/p>

了解歷史才能看清未來.課本中的知識，僅僅是數(shù)學大海上露出的冰山一角.我們用數(shù)學史的探針往下杵一杵，是更為廣闊的數(shù)學基石，在單元整體教學中，適時融入一些數(shù)學史知識，可以培養(yǎng)學生更為寬廣的數(shù)學視野.

參考文獻

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