“圓的面積”在不同學(xué)段的教學(xué)研究

摘" 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提到核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，小學(xué)階段是側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟，初中階段是側(cè)重對(duì)概念的理解.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》也強(qiáng)調(diào)關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).由此利用建構(gòu)主義的教學(xué)觀，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上建構(gòu)出來(lái)的，教學(xué)應(yīng)該把現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).本文以“圓的面積”為例，對(duì)教師針對(duì)不同階段的學(xué)生設(shè)計(jì)探究“圓的面積”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)建議，促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成.

關(guān)鍵詞：圓的面積；極限思想；概率思想

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，是源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象.［1］ 數(shù)學(xué)區(qū)別于其他自然科學(xué)學(xué)科，如物理、化學(xué)、生物等，都是以“真實(shí)”為學(xué)習(xí)和研究的對(duì)象.無(wú)論是宏觀世界中的宇宙，還是微觀世界中的基本粒子，都是以真實(shí)的模樣呈現(xiàn)于研究者的面前.正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）所描述的知識(shí)一樣，“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)思想如當(dāng)初剛被發(fā)現(xiàn)時(shí)那樣發(fā)表出來(lái).一旦問(wèn)題解決了，思考的程序便顛倒過(guò)來(lái)，把火熱的思考變成冰冷的美麗”［2］ .數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)做到將冰冷的美麗轉(zhuǎn)化為火熱的思考，即將知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，只有這樣才能使學(xué)生清晰地體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)是有理有據(jù)，應(yīng)用廣泛的.基于此，根據(jù)建構(gòu)主義教育觀點(diǎn)，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，在新舊知識(shí)生成中，產(chǎn)生聯(lián)系，能夠在“舊知”中生長(zhǎng)出“新知”，并且數(shù)學(xué)知識(shí)間是相互聯(lián)系的，因此在深入理解一個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，要結(jié)合學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律和“最近發(fā)展區(qū)”.

1" 小學(xué)階段“圓的面積”的教學(xué)

在小學(xué)階段，“圓的面積”一課是在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形后的內(nèi)容，而在小學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)不規(guī)則圖形求面積采用的是“切割法”，對(duì)于還沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)圓的學(xué)生而言，圓是陌生的，即可采用“切割法”，即將圓平均分成若干個(gè)小扇形，再將其拼成近似的長(zhǎng)方形，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式 .［3］如圖1所示，在單位圓中將圓平均分成若干個(gè)小扇形，將位于圓上相鄰半徑一端分別連接即可出現(xiàn)一個(gè)三角形，當(dāng)?shù)确值纳刃巫銐蚨鄷r(shí)，扇形與三角形的面積將會(huì)越來(lái)越接近，即可利用三角形拼接成長(zhǎng)方形，再利用長(zhǎng)方形的面積公式S長(zhǎng)方形=長(zhǎng)×寬，如圖2所示，其長(zhǎng)即為半圓的圓周長(zhǎng)的一半，其寬等于半徑，即長(zhǎng)=12×2πr，寬=r，得到

S圓=12×2πr×r=πr2 ①.

圓的面積是小學(xué)六年級(jí)的內(nèi)容，在小學(xué)階段，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)平面圖形特征的能力，注重學(xué)生對(duì)基本圖形的理解與認(rèn)識(shí)，會(huì)對(duì)生活中常見(jiàn)物體進(jìn)行測(cè)量，形成初步的空間觀念與量感，充分運(yùn)用合理估計(jì)，并且按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分類，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生“知其然，并知其所以然”的意識(shí)，養(yǎng)成“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界.”［1］

因此，小學(xué)“認(rèn)識(shí)圓”與“圓的面積”教學(xué)過(guò)程可以通過(guò)游戲、制作活動(dòng)開(kāi)展，讓學(xué)生在體會(huì)一個(gè)圓片從一分為二、一分為四、一分為八等更加細(xì)致的均分的真實(shí)體驗(yàn)中，感受拼接的樂(lè)趣，體會(huì)“做數(shù)學(xué)”的魅力，初步養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作探究等良好習(xí)慣.

2" 初中階段“圓的面積”的教學(xué)

2.1" “圓的面積”與“極限”

在北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)》

中，以圓為“引”，深入扇形.學(xué)習(xí)扇形不光要認(rèn)識(shí)什么是扇形，更要理解扇形面積與圓面積的關(guān)系，此時(shí)的教學(xué)就可引入“極限”的思想深入闡釋圓面積在極限思維下的求法，讓學(xué)生更能理解扇形的面積公式S扇形=12lR的意義.“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見(jiàn)長(zhǎng)江天際流”是李白描繪友人的孤帆漸漸地遠(yuǎn)去，消失在天空的盡頭，只看見(jiàn)一線長(zhǎng)江，向遠(yuǎn)方的天際奔去.描繪出了生活中的“極限”意境，張奠宙在書中指出數(shù)學(xué)是人類思維的精致化，可見(jiàn)極限思想在中國(guó)唐代時(shí)期就有所體現(xiàn).

如圖3所示，在一個(gè)圓中畫多個(gè)同心圓，并沿一條半徑和所畫圓環(huán)剪開(kāi)，按照金字塔形排列，如圖4所示，當(dāng)Δr無(wú)限小的時(shí)候，排列后的圖形可看作一個(gè)三角形，則可利用三角形的面積公式對(duì)圓的面積進(jìn)行求解.

三角形的底等于圓的周長(zhǎng)（2πr），高等于圓的半徑（r），即S三角形=12×底×高=S圓=12×2πr×r=πr2②.

扇形的面積實(shí)際上是在圓面積的基礎(chǔ)上，增加對(duì)圓心角的分析.根據(jù)小學(xué)時(shí)期學(xué)習(xí)的圓的面積S圓=πr2，圓的圓心角為360°，扇形只是圓的一部分，根據(jù)扇形的定義，可用圓心角n°占360°的分?jǐn)?shù)來(lái)計(jì)算，從而得S扇形=nπr2360 ③，

再根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=nπr180 ④，得S扇形=12lR ⑤.

由此可見(jiàn)，扇形的面積公式與三角形面積公式相似.其中，底為l，高為R.學(xué)生可以通過(guò)對(duì)圓的面積的深入理解，加深對(duì)扇形公式的理解，感受數(shù)形結(jié)合的魅力，形成空間觀念和空間想象的能力，并且加強(qiáng)學(xué)生推理意識(shí).教師在課堂上由“已知”和“熟悉”的圓的面積的推導(dǎo)入手，進(jìn)一步讓學(xué)生借助操作探究，解決扇形面積公式的深入理解問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

2.2" “圓的面積”與“概率”

投針實(shí)驗(yàn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐（Buffon）在1777年最先設(shè)計(jì)的［4］ ，因而又被稱為蒲豐投針實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)具體內(nèi)容如下：平面上畫有等距離的平行線，每?jī)蓷l平行線之間的距離為a，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)l（l＜a）的針，試求針與平行線相交的概率.［5］ 當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，可以進(jìn)一步求出π的值，這種通過(guò)幾何概型計(jì)算一個(gè)無(wú)理數(shù)的思想是數(shù)學(xué)邏輯思維上的一大進(jìn)步.在人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》中

“概率初步”的學(xué)習(xí)中，同樣可以將蒲豐投針實(shí)驗(yàn)的思想運(yùn)用到求圓的面積中.如圖5所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形中投擲標(biāo)志物，當(dāng)投擲標(biāo)志物的數(shù)量足夠多時(shí)，就可以用概率表示出圓的面積.根據(jù)概率與面積的比值關(guān)系可以得到基本關(guān)系.

S正方形S圓=P正方形內(nèi)標(biāo)志物個(gè)數(shù)P圓形內(nèi)標(biāo)志物個(gè)數(shù)（邊界位置的標(biāo)志物可忽略不計(jì)）⑥.化簡(jiǎn)，得S圓=P圓形內(nèi)標(biāo)志物個(gè)數(shù)P正方形內(nèi)標(biāo)志物個(gè)數(shù)×S正方形 ⑦.

概率與統(tǒng)計(jì)不僅僅是一種統(tǒng)計(jì)方式，還是對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)，是培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識(shí)的關(guān)鍵手段，是在學(xué)科融合中發(fā)揮重要作用的基石，其應(yīng)用在預(yù)測(cè)趨勢(shì)、推理判斷中有巨大作用.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中提及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要“體會(huì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系”，圓的面積的求解可以結(jié)合概率進(jìn)行聯(lián)系，可以增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生能建立起學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成迎難而上、勇于探索的科研精神，同樣為新課標(biāo)要求下學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和教學(xué)中學(xué)科融合打下基礎(chǔ).

3" 高中階段“圓的面積”的教學(xué)

“割圓術(shù)”是對(duì)面積進(jìn)行無(wú)窮小分割，同樣也是對(duì)圓的周長(zhǎng)的無(wú)限分割.將圓的周長(zhǎng)曲線看作由無(wú)窮多段短小的直線段構(gòu)成，將圓的面積趨近于正方形的面積，展現(xiàn)了“以直代曲”的微積分思想.［6］在高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)同樣也是利用微積分思想.導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分之一，同樣是高等教育研究中的科研探究基礎(chǔ)，其應(yīng)用性也廣受關(guān)注.導(dǎo)數(shù)的概念涉及極限思想、無(wú)窮小等概念，具有高度的抽象性，學(xué)生難以真切感受導(dǎo)數(shù)的概念.筆者試圖結(jié)合“割圓術(shù)”的思想先講解導(dǎo)數(shù)的微積分思想，引導(dǎo)學(xué)生理解微積分的含義，導(dǎo)數(shù)的抽象性便顯得更加具體，再結(jié)合物理學(xué)中瞬時(shí)速度加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)的整體認(rèn)知，以期達(dá)到導(dǎo)數(shù)概念的正確理解.基于此，本文提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用“數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)之間，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間，數(shù)學(xué)與生活之間”對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行理解.

魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”.“割圓術(shù)”中蘊(yùn)含著“以直代曲”的微積分思想.如圖6所示，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”畫出圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形……當(dāng)n趨近于無(wú)窮時(shí)，正n邊形的面積將近似等于圓的面積.

教師進(jìn)一步結(jié)合物理學(xué)中“瞬時(shí)速度”的知識(shí)，講解微積分的思想在物理中的運(yùn)用.物理學(xué)中利用物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度，某一時(shí)刻可近似于相機(jī)拍下該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)照片，研究其速度，而速度是一個(gè)矢量，既有大小又有方向.因此，設(shè)計(jì)問(wèn)題情境：向前方拋擲一個(gè)球時(shí)（忽略空氣阻力）繪制該物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)已有知識(shí)，該曲線是一條開(kāi)口向下的拋物線，假設(shè)其運(yùn)動(dòng)方程為s=f（t）=－x2，若物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=f（t），那么物體在任意時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v（t），就是平均速度v=f（t＋Δt）－f（t）Δt，某一時(shí)刻即變化量為0時(shí)的速度，由于平均速度的公式要成立，其分母不能為0，則當(dāng)Δt趨于0即為瞬時(shí)速度.瞬時(shí)速度即時(shí)刻相鄰的無(wú)限短時(shí)間內(nèi)的位移（Δx=f（t＋Δt）－f（t））與通過(guò)這段位移所用時(shí)間（Δt）的比值，即v=ΔxΔt.運(yùn)動(dòng)方向可通過(guò)瞬時(shí)速度的函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為圖象觀察，如圖7所示，當(dāng)Δt=t－t0趨近于0時(shí)，其函數(shù)圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，并且其切線方向即為運(yùn)動(dòng)方向.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz）將曲線的切線定義為“連接曲線上無(wú)限接近兩點(diǎn)的直線”.

通過(guò)“割圓術(shù)”對(duì)微積分思想的介紹，再由物理學(xué)中已經(jīng)學(xué)過(guò)的瞬時(shí)速度的理解，過(guò)渡到導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)，學(xué)生能深刻感受到導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部特征，一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率.學(xué)生才能更好感知學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的意義，而這種由數(shù)學(xué)史到實(shí)際問(wèn)題的探究，通過(guò)觀察、類比、歸納等，由物理中平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程中，能發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)的整體認(rèn)知.

4" 小學(xué)、初中、高中學(xué)段的“圓的面積”的聯(lián)系

小學(xué)生對(duì)基本圖形有一定的認(rèn)識(shí)，從圓的“均分”切入，將圓均分為盡可能多的扇形，從而將圓的面積近似看成三角形的面積之和，在鞏固小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)圖形的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)等核心素養(yǎng).初中可引入“極限”的思想，對(duì)圓中Δr進(jìn)行無(wú)窮小切割，形成一條條的細(xì)長(zhǎng)的條形，拼接成三角形，是對(duì)小學(xué)中所闡述的“盡可能多地細(xì)分扇形”的思想進(jìn)一步講解，使學(xué)生感受動(dòng)態(tài)的推理過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)；初中還可以借助概率進(jìn)行圓面積的講解，借助數(shù)學(xué)史“蒲豐投針實(shí)驗(yàn)”的學(xué)習(xí)，對(duì)圓的面積學(xué)以致用，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.高中的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)可以借助初中對(duì)“極限”思想的鋪墊，進(jìn)一步對(duì)“割圓術(shù)”講解，在講解時(shí)還可提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生遇到難題，勇敢面對(duì)，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的思想態(tài)度，進(jìn)而引出微積分概念，再利用學(xué)科融合思想組織教學(xué)，結(jié)合物理學(xué)中“瞬時(shí)速度”的概念分析，引導(dǎo)學(xué)生真正理解導(dǎo)數(shù)的概念.

5" 結(jié)語(yǔ)

建構(gòu)主義認(rèn)為新知應(yīng)當(dāng)從舊知中“生長(zhǎng)”出來(lái)，學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)、學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)思維在不同學(xué)段之間都具有一定的連貫性.各階段教師在教學(xué)中不僅要注意該學(xué)段內(nèi)課程之間的聯(lián)系，還應(yīng)對(duì)下一階段進(jìn)行擴(kuò)充，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”的上層進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間的關(guān)系，真正“學(xué)數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”“愛(ài)數(shù)學(xué)”.

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