數(shù)學(xué)表征視角下高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)策略探析

【摘要】數(shù)學(xué)表征是指學(xué)生運用數(shù)學(xué)符號、圖形、文字等多種形式，將數(shù)學(xué)概念、關(guān)系及問題轉(zhuǎn)化為具體、可操作的表征形式的過程.這一過程不僅反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，還直接影響著他們對數(shù)學(xué)問題的解決能力.基于數(shù)學(xué)表征視角的高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)，強調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)知識的主動表征與建構(gòu)，鼓勵學(xué)生運用多種表征形式理解和解決問題，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).文章首先剖析了高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的現(xiàn)存問題，其次闡述了數(shù)學(xué)表征在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，最后提出了基于文字、圖形、符號三種表征形式的具體教學(xué)策略，旨在為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)表征；問題解決；核心素養(yǎng)

引 言

在當(dāng)今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往面臨一個挑戰(zhàn)：如何使抽象的數(shù)學(xué)概念與復(fù)雜的問題解決過程更加貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，從而提高教學(xué)效果？傳統(tǒng)的講授式教學(xué)往往側(cè)重于知識的傳授與解題技巧的灌輸，忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)知識的主動表征與建構(gòu).這里被忽視的數(shù)學(xué)表征既是解決數(shù)學(xué)問題的第一環(huán)節(jié)，又是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要環(huán)節(jié).因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極探究基于數(shù)學(xué)表征視角的問題解決教學(xué)策略，進一步提高問題解決教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)現(xiàn)存問題

（一）創(chuàng)新意識匱乏：思維禁錮嚴(yán)重

在新課程改革的浪潮下，創(chuàng)新意識的培養(yǎng)成為教育的重要目標(biāo).然而，高中數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)中，創(chuàng)新意識的缺失卻成為一道難以跨越的鴻溝.對于學(xué)生而言，長期受傳統(tǒng)教育模式的影響，習(xí)慣于按部就班地接受知識，思維逐漸僵化，難以在數(shù)學(xué)問題解決中展現(xiàn)出獨特的創(chuàng)造力.他們無法將所學(xué)知識靈活運用，難以從不同角度思考問題，導(dǎo)致在面對新的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)時，往往束手無策.同時，部分教師在教學(xué)過程中，過于注重數(shù)學(xué)知識的傳授和解題方法的講解，忽視了對學(xué)生創(chuàng)新思維的激發(fā)和引導(dǎo).這種重理論輕實踐、重結(jié)果輕過程的教學(xué)方式，使得學(xué)生的創(chuàng)新潛能被壓抑，無法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中釋放出應(yīng)有的活力.

（二）課堂氛圍沉悶：缺乏學(xué)習(xí)活力

良好的課堂氛圍是教學(xué)成功的關(guān)鍵因素之一.但是，在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)中，課堂氛圍卻顯得沉悶而壓抑.一方面，學(xué)生在課堂上表現(xiàn)出積極性不高的狀態(tài)，缺乏主動參與的熱情.他們被動地接受教師的講解，很少主動提出問題或參與討論，使得課堂互動極為有限.另一方面，在“問題解決”的活動中，學(xué)生之間的合作與交流不足，缺乏思想的碰撞和靈感的激發(fā).這種沉滯的課堂氛圍，不僅限制了學(xué)生思維的拓展，也降低了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和效率.教師未能充分調(diào)動學(xué)生的積極性，未能創(chuàng)造出一個充滿活力和競爭的學(xué)習(xí)環(huán)境，導(dǎo)致課堂教學(xué)效果大打折扣.

（三）生活元素缺失：知識應(yīng)用脫節(jié)

數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，然而在高中數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)中，生活元素的融入?yún)s不令人滿意.部分教師在教學(xué)中，僅僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識的邏輯性和系統(tǒng)性，而忽視了其與實際生活的聯(lián)系.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，無法感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值，難以產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣.部分教師只是一味地傳授知識，忽視了學(xué)生的主體地位及其實際需求.在這種教學(xué)方式下，學(xué)生只能被動接受知識，難以將所學(xué)數(shù)學(xué)知識與自身生活經(jīng)驗相融合，從而使得數(shù)學(xué)知識與生活實踐之間產(chǎn)生了明顯的脫節(jié).這一現(xiàn)象不僅阻礙了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度理解和掌握，也削弱了他們運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.

（四）質(zhì)疑能力薄弱：探索精神匱乏

在新課標(biāo)背景下，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神十分重要，質(zhì)疑是探索精神的重要組成部分.但是，在高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中，學(xué)生的質(zhì)疑能力普遍較為薄弱.面對數(shù)學(xué)問題，學(xué)生往往缺乏深入思考和探究的精神，對問題的本質(zhì)和內(nèi)涵認(rèn)識不足，難以提出有針對性的疑問.在解決復(fù)雜問題時，他們依賴教師的指導(dǎo)，缺乏自主判斷和獨立思考的能力，無法有效地分析和解決問題，更無法從中發(fā)現(xiàn)新的問題和思考方向.學(xué)生質(zhì)疑能力的缺失，使得他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中缺乏主動性和創(chuàng)造性，無法真正培養(yǎng)起探索數(shù)學(xué)世界的精神和勇氣.

二、數(shù)學(xué)表征在高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的重要性

（一）為教師教學(xué)研究提供視角

數(shù)學(xué)表征在高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的應(yīng)用，為教師的教學(xué)研究開辟了一個全新的視角.傳統(tǒng)的教學(xué)研究往往側(cè)重于教學(xué)內(nèi)容、方法及效果的評估，卻容易忽視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的內(nèi)在思維活動及知識表征方式.數(shù)學(xué)表征視角下的數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)，能使教師能夠更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)難點與誤區(qū)，從而制訂更加精準(zhǔn)、有效的教學(xué)策略.這一新視角的引入，不僅豐富了教師的教學(xué)研究內(nèi)容，還提升了教學(xué)研究的針對性和實效性.

（二）為學(xué)生知識建構(gòu)搭建平臺

數(shù)學(xué)表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在學(xué)生數(shù)學(xué)知識有效構(gòu)建方面發(fā)揮著無可替代的重要作用.通過數(shù)學(xué)表征的應(yīng)用，可以使學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)概念，關(guān)系和問題變成具體的，可操作性強的符號、圖形或者文字等形式，進而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識與記憶.另外，數(shù)學(xué)表征促使學(xué)生知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，從而能靈活地運用已學(xué)過的知識來處理復(fù)雜問題.這一高效的知識建構(gòu)方式在提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與成長打下堅實基礎(chǔ).

（三）為核心素養(yǎng)提升開拓路徑

將數(shù)學(xué)表征應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)至關(guān)重要.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理和數(shù)學(xué)建模幾個層面構(gòu)成，數(shù)學(xué)表征是培育這幾個素養(yǎng)的主要媒介.通過指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)表征解決數(shù)學(xué)問題，能夠幫助教師培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度；同時經(jīng)過不斷的實踐與運用，還將顯著提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，邏輯推理能力及數(shù)學(xué)建模能力.發(fā)展這些核心素養(yǎng)，既有利于學(xué)生更好地面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與考試的挑戰(zhàn)，也可為他們今后的發(fā)展提供強有力的支撐.

三、數(shù)學(xué)表征視角下的高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)策略

基于數(shù)學(xué)表征視角的高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的多元表征能力，即能夠靈活運用文字、圖形、符號等多種形式對問題進行表征與轉(zhuǎn)化.在這一過程中，教師在分析和解決問題時，需要指導(dǎo)學(xué)生注意問題內(nèi)在結(jié)構(gòu)和特征，并選擇合適的表征形式.與此同時，教師需要重視對學(xué)生表征轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在各種表征形式間靈活地進行切換和轉(zhuǎn)化，以達到全面認(rèn)識和深入分析問題的目的.

（一）基于文字表征，促進問題結(jié)構(gòu)化

文字表征作為數(shù)學(xué)表征的基本和主要形式.在解決數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生首先要準(zhǔn)確地理解題中文字信息，把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.所以教師有必要引導(dǎo)學(xué)生注意題中關(guān)鍵詞句及其邏輯關(guān)系，并借助準(zhǔn)確的文字表述梳理出試題的結(jié)構(gòu)框架與解題思路，通過指導(dǎo)學(xué)生運用準(zhǔn)確的語言表達數(shù)學(xué)概念及關(guān)系，能夠幫助他們加深對于數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和記憶，并且能夠培養(yǎng)他們的邏輯推理能力.

例1 古希臘哲學(xué)家畢達哥拉斯曾說過：“美的線型和其他一切美的形體都必須有對稱形式.”在中華傳統(tǒng)文化里，對稱美也無處不在，如建筑、器物、書法、詩歌等.在數(shù)學(xué)中，這種對稱美也得以體現(xiàn)，如回文數(shù).回文數(shù)是指從左向右讀和從右向左讀都一樣的數(shù).例如，20200202是一個回文數(shù).兩位數(shù)的回文數(shù)有9個（11，22，…，99）.一共有多少個這樣的三位回文數(shù)？

這一道題以古希臘哲學(xué)家的名言和中華傳統(tǒng)文化中的對稱美為引子，巧妙地引出了“回文數(shù)”的概念，并通過具體實例加深了學(xué)生對這一概念的直觀感受.教師要引導(dǎo)學(xué)生在理解了題目中的文字信息后，將這些信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并進行結(jié)構(gòu)化處理.

首先，提取關(guān)鍵信息.從題目中提取出與解決問題直接相關(guān)的信息，如“回文數(shù)”的定義、兩位回文數(shù)的數(shù)量以及問題要求的三位回文數(shù)的數(shù)量，根據(jù)題目要求，明確需要求解的是三位回文數(shù)的總數(shù).然后，分析問題結(jié)構(gòu).通過分析回文數(shù)的結(jié)構(gòu)特點（即首尾數(shù)字相同），發(fā)現(xiàn)三位回文數(shù)可以由百位和個位數(shù)字確定，而十位數(shù)字則可以是0～9中的任意一個（但需要注意0不能作為百位數(shù)字）.其次，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：基于上述分析，可以構(gòu)建出一個簡單的數(shù)學(xué)模型來表示三位回文數(shù)的數(shù)量.具體來說，對于百位和個位上的每一個數(shù)字（1～9），都可以與0～9中的任意一個數(shù)字（作為十位數(shù)字）組合成一個回文數(shù)，但由于百位和個位數(shù)字必須相同且不能為0，因此實際上只需要考慮百位和個位數(shù)字的組合情況.最后，求解數(shù)學(xué)模型：根據(jù)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，即可以計算出三位回文數(shù)的總數(shù).具體來說，以1為百位和個位的回文數(shù)有10個，十位可以是0～9中的任意一個，以2～9為百位和個位的回文數(shù)也各有10個，同樣地，十位可以是0～9中的任意一個.因此，三位回文數(shù)的總數(shù)為10（以1為百位和個位的回文數(shù)）+8（以2～9為百位和個位的回文數(shù)組合數(shù)）×10（每種組合下十位的選擇數(shù)）=90個.

從以上案例可以看出，文字表征在促進數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)化中發(fā)揮著不可替代的作用.它不僅能幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解了題目中的信息并提取出關(guān)鍵要素，還能引導(dǎo)學(xué)生通過邏輯推理和模型構(gòu)建將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)問題進而求解.

（二）利用圖形表征，促進問題可視化

圖形表征是數(shù)學(xué)表征中最為直觀和形象的一種形式.通過圖形表征可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像或圖形模型，從而幫助學(xué)生更好地理解和解決問題.在問題解決過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的幾何特征和空間關(guān)系，通過繪制圖形或構(gòu)建幾何模型呈現(xiàn)問題的可視化形式.圖形表征的優(yōu)勢在于其直觀性和形象性能夠幫助學(xué)生更好地把握問題的本質(zhì)和規(guī)律.同時，通過圖形表征的訓(xùn)練學(xué)生還可以提高空間想象能力和幾何直觀能力.這些能力的培養(yǎng)不僅有助于學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題，還可以為其未來的學(xué)習(xí)和工作提供有力支持.

例2 在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i，-2+i，0.這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）.

A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i

對于這一道題，大多數(shù)學(xué)生選擇了錯誤的選項A，這背后的原因復(fù)雜多樣，但主要可以歸結(jié)為以下幾點：一是受思維定式的影響.學(xué)生可能受到以往類似題目的影響，如平行四邊形問題，其頂點大多是按順序給出的.這種思維定式導(dǎo)致學(xué)生在面對新問題時，沒有仔細(xì)分析題目中的新條件，而是直接套用舊有的解題模式.二是對題目理解的偏差：題目明確指出三個頂點“按順序”對應(yīng)給定的復(fù)數(shù)，但這里的“順序”并非指它們在正方形中的位置順序，而是指題目給出的復(fù)數(shù)序列的順序.學(xué)生若未能準(zhǔn)確理解這一點，便容易將這三個點誤認(rèn)為是正方形的連續(xù)頂點，從而得出錯誤的結(jié)論.三是受惰性思維和行為的干擾.部分學(xué)生可能出于懶惰或時間緊迫，選擇不進行圖形表征，而是直接心算或憑感覺選擇答案.這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式往往導(dǎo)致錯誤頻發(fā)，尤其是在需要精確計算和細(xì)致分析的數(shù)學(xué)問題中.

在解決這道關(guān)于復(fù)平面上正方形頂點的復(fù)數(shù)表示問題時，引導(dǎo)學(xué)生采用圖形表征的方法顯得尤為重要.教師需要先引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)平面上清晰地標(biāo)出題目給出的三個復(fù)數(shù)點，這有助于學(xué)生直觀地理解這些點在空間中的位置關(guān)系.接著，教師引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)與驗證的方法嘗試不同的組合來確定正方形的一條邊，并利用正方形的性質(zhì)——對角線互相垂直且等長——來輔助學(xué)生找到第四個頂點.在作圖過程中，學(xué)生需要計算中點、邊長和半徑等關(guān)鍵參數(shù)，這些計算不僅鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，還加深了他們對幾何圖形的理解.通過圖形表征，學(xué)生可以清晰地看到各個點之間的相對位置，從而避免了因思維定式或誤解而導(dǎo)致的錯誤.當(dāng)學(xué)生找到滿足條件的第四個頂點，并將其對應(yīng)的復(fù)數(shù)表示出來時，他們不僅解決了問題，還體驗到了圖形表征在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題中的強大作用.這個過程不僅提升了學(xué)生的解題能力，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，為他們未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ).因此，在解決此類問題時，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生積極采用圖形表征的方法，讓數(shù)學(xué)變得更加直觀和有趣.

從以上案例可以看出，圖形表征對于數(shù)學(xué)解題有著無可取代的重要作用.從引導(dǎo)學(xué)生注意題目的幾何特征及空間關(guān)系，發(fā)展其圖形表征意識及能力，重視對題目的分析理解，能幫助學(xué)生較好地運用圖形表征來解決數(shù)學(xué)問題，提高解題的正確率與效率.通過這道題目，要使學(xué)生懂得，在數(shù)學(xué)問題的求解過程中，特別是那些涉及幾何圖形與空間之間關(guān)系的題目中，圖形表征就是一個十分有效的手段，這有助于他們對問題有更深入的了解，揭示隱藏的模式和聯(lián)系，減少由于思維誤區(qū)引發(fā)的失誤，從而增強問題解決的精確度和高效性.

（三）借助符號表征，促進問題清晰化

通過符號表征可使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變成簡明的數(shù)學(xué)表達式或者方程組等形式，以達到清晰，明確地表述和解決問題.在解題過程中，教師需引導(dǎo)學(xué)生注意題目的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其內(nèi)在規(guī)律，并通過利用數(shù)學(xué)符號，公式等推導(dǎo)與計算，從而達到解題目的.符號表征具有簡潔性，抽象性等優(yōu)點，可以幫助學(xué)生更加有效地處理數(shù)學(xué)問題.與此同時，對符號表征進行訓(xùn)練能發(fā)展學(xué)生符號識別與運算能力.

在解決這個問題的過程中，學(xué)生不僅運用了符號表征的轉(zhuǎn)換技巧，還展現(xiàn)了他們靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力.他們通過化未知為已知的策略，將復(fù)雜的問題逐步簡化為已經(jīng)學(xué)過的知識范疇內(nèi)的問題.這種轉(zhuǎn)化過程不僅使問題變得清晰易懂，還為學(xué)生提供了豐富的解題策略.這道題也給大家一個啟發(fā)：發(fā)展學(xué)生表征意識與表征能力是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，表征是溝通數(shù)學(xué)概念與實際問題的一座橋梁，有助于學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)概念變成具體的，可操作的數(shù)學(xué)形式，在表征轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯過程中，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)問題的實質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系有更深刻的認(rèn)識，以建構(gòu)更完整、更系統(tǒng)的知識體系.

結(jié) 語

綜上，以數(shù)學(xué)表征為基礎(chǔ)研究高中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)策略，有著重要研究意義與實踐價值.在具體教學(xué)實踐中，教師可從文字、圖形、符號三個方面探究數(shù)學(xué)表征的合理應(yīng)用策略，以此更好地掌握學(xué)生學(xué)習(xí)過程和思維活動情況，并制訂出較為科學(xué)合理的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生在多元表征過程中提升問題解決能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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