基于“三教”理念用向量法解決三角形重心問題

摘 要：在中學數學中，向量與三角形的重心、外心、內心、垂心、旁心的性質緊密相關.將它們有機融合，不僅能夠揭示知識間的內在聯系，還能促進學生發散性思維的發展，提升學生數學抽象和邏輯推理等數學核心素養.

關鍵詞：向量；三角形重心；數學核心素養

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0065-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：安中順（1984.9—），男，貴州省德江人，本科，一級教師，從事高中數學教學研究；袁曉亮（1980.10—），女，貴州省獨山人，本科，高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：貴州省民族專項課題“三教理念下培養高中生數學核心素養案例研究”（MJ23040）.

“三教”理念，即教思考、教體驗、教表達，它基于創新型人才培養，教會學生積極思考、自主體驗和善于表達，從而增進學生的知識深度和思維廣度.近些年，三角形“五心”在自主招生、強基計劃、高考中頻繁出現，成為中學教學的熱點.但直接解答難度較大，所以要學會思考，尋找方法.將向量與三角形的“五心”有機融合，不僅可以掌握“五心”本身具有的重要性質，還可以通過類比推廣，得到“五心”之間的內在聯系，探究出更多性質和結論.

1 重心性質探究

設△ABC的角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，三條中線的交點G是△ABC的重心．

性質1 若點D是BC的中點，則AG=2GD，G（xA+xB+xC3，yA+yB+yC3）．

性質2 GA+GB+GC=0點G是△ABC的重心.

性質3 PG=13（PA+PB+PC）點G是ΔABC的重心.

性質4 點G是△ABC的重心，則S△BGC=S△AGC=

S△AGB=13S△ABC.

性質5 當AG=λ（AB+AC）時，點G在中線上；

AG=

13（AB+AC）時，點G為重心.

性質6 點G是△ABC的重心GA2+GB2+GC2取得最小值.

性質7 三邊中點組成的三角形的重心也是點G.

性質8 △ABC的三條中線長組成的三角形面積為S中線，則S△ABC=43S中線.

性質9 在△ABC中，過重心G的直線交AB，AC所在直線分別于點P，Q，則ABAP+ACAQ=3.

例1 如圖1所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA1=2，D，E分別是CC1和A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G.求A1B與平面ABD所成角大小（結果用反三角函數值表示）.

解析 易知AC，BC，C1C互相垂直，故以C為坐標原點建立如圖2所示的空間直角坐標系.設|AC|=|BC|=agt;0，則A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，1），G（a3，a3，13），A1（a，0，2），E（a2，a2，1），

所以EG=（-a6，-a6，-23），AD=（-a，0，1）.

因為EG⊥平面ABD，所以EG⊥AD.

所以EG·AD=a26-23=0，解得a=2.

因為EB在平面ABD上的射影為BG，

所以A1B與平面ABD所成角為∠A1BG.

因為BA1=（2，-2，2），BG=（23，-43，13），

所以cos∠A1BG=|BA1·BG||BA1|·|BG|=73.

所以A1B與平面ABD所成角大小為arccos73.

例2 在△ABC所在平面求一點G，當GA2+GB2+

GC2取最小值時，此時點G與△ABC有何關系.

證明 設A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），G（x，y），則T=GA2+GB2+GC2=3x2-2（a1+a2+a3）x+

3y2-2（b1+b2+b3）y+m（m為常數）.

因為x，y相互獨立，由二次函數對稱軸性質可知x=（a1+a2+a3）3，y=（b1+b2+b3）3時，T取得最小值，此時G（a1+a2+a33，b1+b2+b33）.

故G為△ABC的重心.

2 重心性質推廣

推廣1 △ABC重心G、垂心H、外心O、內心I的相關聯系：（1）OA+OB+OC=OH；

（2）2OG=GH.

推廣2 重心G是三角形內到三邊距離之積最大的點.

推廣3 設P為其內部任一點，則AP2+BP2+CP2-13（AB2+BC2+CA2）=3PG2.

推廣4 設P為平面上任一點，則點G，P與△ABC三個頂點之間的距離平方關系為AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2.

推廣5 從△ABC的三個頂點分別向以它們的對邊為直徑的圓作切線，所得到的6個切點為Pi，則Pi（i=1，2…，6）均在以重心G為圓心，r=

118（AB2+BC2+CA2）為半徑的圓周上.

例3 已知△ABC滿足CA·CB=0，|CA|=3，|CB|=4，點P為△ABC內任一點，求點P到△ABC三邊距離之積的最大值，此時點P與△ABC有何關系.

解析 由勾股定理可得|AB|=5.設點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為d1，d2，d3，由等面積有S△ABC=12×3×4=12d1×5+12d2×3+

12d3×4，得12=5d1+3d2+4d3.

即12=5d1+3d2+4d3≥3360d1d2d3.即d1d2d3≤1615，當且僅當5d1=3d2=4d3時，點P到△ABC三邊距離之積取得最大值，此時S△PAB=S△PAC=S△PBC.

所以點P為△ABC的重心.

推廣6 （奔馳定理）已知點P是△ABC所在平面上一點，且有xPA+yPB+zPC=0（其中SA=S△PBC，SB=S△PAC，SC=S△PAB），則

（1）SAS△ABC=|x||x+y+z|;

SBS△ABC=|y||x+y+z|;SCSΔABC=|z||x+y+z|，

即SA∶SB∶SC=|x|∶|y|∶|z|.

（2）若P是△ABC內一點，則SAPA+SBPB+SCPC=0.

注：P是△ABC內一點，則xgt;0，ygt;0，zgt;0；P是△ABC外一點，則x，y，z中有1負或2負；

P是△ABC某邊所在直線上一點，則x，y，z中有1個為0.

例4 設M為△ABC內一點，且AM=14AB+

15AC，求△ABM與△ABC的面積之比.

解析 由AM=14AB+15AC，得AM=14（AM+MB）+15（AM+MC）.轉化為以M為起點的向量和，即1120MA+14MB+15MC=

0，由奔馳定理知△ABM與△ABC的面積之比1∶5.

3 圓錐曲線內接三角形重心性質

性質1 設點G為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦點△PF1F2的重心，則點G的軌跡方程為

x2（a/3）2+y2（b/3）2=1（y≠0）.

性質2 設點G為雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的焦點△PF1F2的重心，則點G的軌跡方程為

x2（a/3）2-y2（b/3）2=1（y≠0）.

性質3 設A，B，C為拋物線y2=2px（pgt;0）上的三個不同點，△ABC的三邊AB，BC，AC所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，點G（m，n）為△ABC的重心.則有

（1）1k1+1k2+1k3=3np；

（2）1k21+1k22+1k23=9n2+6pm4p2[1].

例5 已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3）為C上的三個動點（x1lt;x2lt;x3且y2lt;0），若F為△PQM的重心，記△PQM三邊PQ，PM，QM的中點到C的準線的距離分別為d1，d2，d3，且滿足d1+d3=2d2，求直線PM的斜率.

解析 由題意知d1=x1+x22+2；d2=x1+x32+2；d3=x2+x32+2.代入d1+d3=2d2中，得x1+x3=2x2.由F（2，0）為△PQM的重心，得x1+x2+x33=2；

y1+y2+y33=0，得x2=2，y2=-4，則y1+y3=4.即PM的中點坐標為（2，2）.故kPM=y1-y3x1-x3=8y1+y3=2.

4 結束語

“重心”的題目解題思路不唯一，有的傳統方法復雜且計算量較大，我們不畏懼運算，但不能死算.所以，教師要教會學生思考，在解決三角形“重心”的問題時，要善于分析“重心”的性質特征，利用向量工具以及其他數學、物理知識和數形結合的思想，尋找解決問題的途徑.教師還要教會學生體驗、感悟數學知識之間的聯系，加強對數學整體性的認識.同時也要教會學生表達，正確使用向量符號及運算符號等，這樣的課堂更加生動豐富.通過向量在重心中的應用，學生能夠學會舉一反三，將三角形“五心”與向量完美結合，探究出向量與三角形“五心”更多相關的性質，達到事半功倍的效果.

參考文獻：

［1］ 白鷹.拋物線的外切三角形和內接三角形的有趣性質[J].數學通訊，2017（18）：41-42.

［責任編輯：李 璟］