基于BOPPPS模式的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)設(shè)計

摘 要 BOPPPS模式有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提升，目前被廣泛應(yīng)用于多種課程的教學(xué)過程 中。在新工科背景下，文章分析了BOPPPS模式的內(nèi)涵及研究現(xiàn)狀，提出了BOPPPS模式下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)設(shè)計理念，并以“微積分基本定理”為例，詳細(xì)介紹了BOPPPS模式下該知識點的教學(xué)設(shè)計思路、內(nèi)容與過程，以期推動高等教學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的提升。

關(guān)鍵詞 BOPPPS模式；微積分基本定理；教學(xué)設(shè)計；高等數(shù)學(xué)

中圖分類號：G424 " " " " " " " " " " " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " "DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.34.032

Teaching Design of Advanced Mathematics Course Based on BOPPPS Mode

——Taking \"Fundamental Theorem of Calculus\" ajs an Example

SU Lianju

（Nanning University， Nanning， Guangxi 530200）

Abstract The BOPPPS model helps to stimulate students' interest in learning and promote the improvement of their learning outcomes， and is currently widely used in the teaching process of various courses. In the context of the new engineering discipline， this article analyzes the connotation and research status of the BOPPPS model， proposes the teaching design concept of higher mathematics courses under the BOPPPS model， and takes \"Fundamental Theorem of Calculus\" as an example to introduce in detail the teaching design ideas， content， and process of this knowledge point under the BOPPPS model， in order to promote the improvement of the teaching quality of higher education courses.

Keywords BOPPPS mode; Fundamental Theorem of Calculus; instructional design; advanced mathematics

1 "BOPPPS模式的內(nèi)涵及研究現(xiàn)狀

1.1 "BOPPPPS模式的內(nèi)涵

BOPPPS模式是一種以教育目標(biāo)為導(dǎo)向、以學(xué)生為中心的新型教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程中學(xué)生的深度參與，通過多種教學(xué)策略和評估手段，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用所學(xué)知識，提高教學(xué)效果。該模式包括問題導(dǎo)入（Bridge-in）、 學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）、前測（Pre-assessment）、參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）、后測（Post-assessment）、總結(jié)（Summary）等6個教學(xué)環(huán)節(jié)[5]。

①問題導(dǎo)入（Bridge-in）：利用提問、案例教學(xué)等方式導(dǎo)入新課，啟發(fā)學(xué)生將其與現(xiàn)有知識聯(lián)系起來，引出新的教學(xué)內(nèi)容。②學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）：向?qū)W生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)重難點，讓學(xué)生帶著目標(biāo)進(jìn)行新課的學(xué)習(xí)，即以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向。③前測（Pre-assessment）：通過一些活動或問題檢測學(xué)生對已學(xué)知識的掌握程度，為將要學(xué)習(xí)的知識作有效鋪墊。④參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）：重點體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教學(xué)，以案例教學(xué)、課堂討論、角色扮演等方式讓學(xué)生深度參與課堂的學(xué)習(xí)，促使其有效理解所學(xué)新知識。⑤后測（Post-assessment）：主要通過各種方式展示學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，如分組匯報、板演、課堂練習(xí)等。⑥總結(jié)（Summary）：對本節(jié)課所學(xué)的重難點知識進(jìn)行小結(jié)，可以采取學(xué)生先分享學(xué)習(xí)收獲教師再補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)重難點方式進(jìn)行小結(jié)，體現(xiàn)學(xué)生為中心的原則。

1.2 "BOPPPS模式的研究現(xiàn)狀

BOPPPS "模式以加拿大廣泛推行的教師技能培訓(xùn)體系ISW（Instructional "Skills "Workshop）為理論基礎(chǔ)[1]。2016年，曹丹平等學(xué)者在其文章中論述了BOPPPS模式的內(nèi)涵及其對高等教育改革的啟示，對高等教育教學(xué)改革具有重要的參考價值[2]。2022年，學(xué)者燕揚(yáng)在其文章中探究了應(yīng)用型高校大學(xué)數(shù)學(xué)課程思政在BOPPPS教學(xué)模式下的實現(xiàn)[3]。2024年，學(xué)者孫俊在其文章中探究了基于BOPPPS模式的“線性代數(shù)”教學(xué)設(shè)計與實踐[4]。由此可見，高校將BOPPPS模式引入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)設(shè)計是一種趨勢。高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)理工科專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，其對數(shù)學(xué)學(xué)科競賽、學(xué)生考研及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起到不可或缺的作用，因而探究BOPPPS模式在高等數(shù)學(xué)課程中的作用顯得異常重要。

2 "BOPPPS模式下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)設(shè)計理念

高等數(shù)學(xué)課程主要用極限的思想和方法研究函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，在常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變中處于非常關(guān)鍵的地位，是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽省賽的主要考試科目，更是考研數(shù)學(xué)最重要的考試科目。因此，教師應(yīng)該以“上好一門課”為教學(xué)理念，根據(jù)人才培養(yǎng)方案認(rèn)真研究課程的特點，確定課程目標(biāo)及授課方法，在BOPPPS模式下，以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向，以學(xué)生為中心對模塊化的知識點進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，以進(jìn)行有效的課堂教學(xué)。

3 "BOPPPS模式下“微積分基本定理”的課堂教學(xué)設(shè)計

3.1 "教學(xué)設(shè)計的總體思路

“微積分基本定理”是積分學(xué)的重要理論，是不定積分與定積分的連接橋梁，其理論的證明充分體現(xiàn)了從局部到整體、從具體到一般的數(shù)學(xué)思想，對于提高學(xué)生的推理論證能力、抽象概括能力發(fā)揮著重要作用，該公式的出現(xiàn)大大降低計算定積分的難度。本知識點的課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)該在學(xué)情分析的前提下進(jìn)行。本課程的教學(xué)對象為本科軟件工程專業(yè)的學(xué)生。在知識水平上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和不定積分的相關(guān)知識，知道導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系、不定積分的基本公式及原函數(shù)的存在性定理；在能力水平上，大多數(shù)學(xué)生能夠利用不定積分求一個函數(shù)的全體原函數(shù)，會利用原函數(shù)的存在性定理求解相關(guān)極限問題；在情感基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)意識到微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是所有理工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程，在計算機(jī)技術(shù)、工程技術(shù)及物理方面有諸多應(yīng)用，因此學(xué)生害怕高數(shù)但依然渴望學(xué)習(xí)好高數(shù)。

3.2 "教學(xué)設(shè)計的內(nèi)容與過程

下面仍然以“微積分基本定理”為例進(jìn)行BOPPPS模式下的教學(xué)設(shè)計。

3.2.1 "問題導(dǎo)入（Bridge-in）

①教學(xué)內(nèi)容與過程：第一，提出積分學(xué)中要解決的兩個問題：第一個問題是原函數(shù)的求法問題，第二個問題是定積分的計算問題。第二，利用視頻+案例“汽車以每小時36km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度剎車，問：從開始剎車到停車走了多少距離？”引出新課。②教學(xué)方法與設(shè)計意圖：首先，總結(jié)積分學(xué)中要解決的兩個問題，進(jìn)而得到“如果按定積分的定義來計算定積分是十分困難的”的結(jié)論，引發(fā)學(xué)生思考“有沒有更簡單便捷的方法計算定積分”。其次，播放一個因汽車剎車不及時而發(fā)生車禍的視頻，在給學(xué)生視覺上強(qiáng)烈的沖擊感后提出問題：該汽車與前車應(yīng)該保持多長的車距及提前多久剎車才能保證行車安全？給出具體案例。最后，教師提出能不能用定積分的計算求解這個問題，進(jìn)而引出新課。

3.2.2 "學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）

針對“微積分基本定理”這一知識點，教師從知識傳授、能力培養(yǎng)和價值引領(lǐng)三方面確立三維教學(xué)目標(biāo)。①知識目標(biāo)：了解微積分基本定理的歷史背景，樹立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和刻苦的鉆研精神。②能力目標(biāo)：能利用原函數(shù)的存在性定理證明微積分基本定理即牛頓―萊布尼茨公式；會利用微積分基本定理即牛頓萊―布尼茲公式求解定積分。③素質(zhì)目標(biāo)：提高學(xué)生推理論證、抽象概括的能力，體會由從局部到整體、從具體到一般的思想。

3.2.3 "前測（Pre-assessment）

讓學(xué)生通過變上限函數(shù)求導(dǎo)的題目的思考引出變上限函數(shù)的求導(dǎo)公式，從而得到結(jié)果，檢驗學(xué)生對于知識點“原函數(shù)存在性定理”的熟悉程度，為證明微積分基本定理作鋪墊，引發(fā)學(xué)生思考，讓個別學(xué)生回答問題。

3.2.4 "參與式學(xué)習(xí)（Participatory "Learning）

①教學(xué)內(nèi)容：基本定理及公式應(yīng)用。

定理3（微積分基本定理）若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在[]上的一個原函數(shù)，則

例１ "求定積分。

例２ 計算正弦曲線在[0，]上與軸所圍成平面圖形的面積。

例３ 汽車以每小時36km的速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等加速度剎車。問：從開始剎車到停車走了多少距離？

②教學(xué)方法與設(shè)計意圖。對于基本定理：開門見山地闡述微積分基本定理，指出由于定理中的公式是牛頓和萊布尼茲分別發(fā)現(xiàn)的，因此又叫牛頓―萊布尼茲公式（板書結(jié)論）。接著，以啟發(fā)式教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生跟隨教師一步步對公式進(jìn)行證明，證明過程如下：

和都是的原函數(shù)，

和

令，并將變上限函數(shù)代入得

，

令，得，即

證畢。

在證明完之后，教師講解微積分基本公式的歷史背景即牛頓和萊布尼茲對微積分的貢獻(xiàn)，進(jìn)而講解公式的重要性及意義，引導(dǎo)學(xué)生樹立刻苦鉆研的科研精神及正確的科學(xué)觀。

對于公式的應(yīng)用：通過例1、2 "的講解說明該公式應(yīng)用的簡單有效性；采用課堂分組討論的方法引導(dǎo)學(xué)生解決例3，即課堂導(dǎo)入提出的問題，從而再一次引起學(xué)生解決問題的好奇心。當(dāng)學(xué)生通過分組討論得出并分享問題的解決方法后，教師進(jìn)行課程思政點撥：學(xué)校為什么要求教職工在校內(nèi)駕駛車速不能超過25公里/小時？呼吁大家一起創(chuàng)造文明平安校園。教師進(jìn)行拓展講解：若汽車以每小時72km速度行駛，仍然以等加速度剎車。從開始剎車到停車，要用40秒的時間，汽車駛過了480米距離。教師借此引導(dǎo)學(xué)生明白行車保持安全車距及限速的重要性。

3.2.5 "后測（Post-assessment "）

該環(huán)節(jié)的目的是檢測學(xué)生對重要公式的掌握情況。由于學(xué)生的計算能力都比較薄弱，在該環(huán)節(jié)教師可提供較基礎(chǔ)的練習(xí)題目，使大部分學(xué)生都能感受學(xué)習(xí)的成就感。具體為請兩個學(xué)生上板演，練習(xí)為設(shè)，求 ，其他學(xué)生通過學(xué)習(xí)通上傳答案，教師及時查看答題情況，并進(jìn)行辨析式講解，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對牛頓―萊布尼茨公式的掌握，同時增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。

3.2.6 "總結(jié)（Summary）

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生分享彼此的學(xué)習(xí)收獲，再圍繞本節(jié)課的實際情況加以總結(jié)，以達(dá)到啟發(fā)學(xué)生思考的目的。最后，根據(jù)學(xué)生的掌握情況，教師布置課后作業(yè)及預(yù)習(xí)任務(wù)，同時給出相關(guān)的考研題目，以供有考研需要或基礎(chǔ)較好的學(xué)生練習(xí)，這也是對課堂教學(xué)效果的課后評價方式，利于后續(xù)知識點授課進(jìn)度的安排。

4 "結(jié)語

本文針對高等數(shù)學(xué)課程，以“微積分基本定理”為例，基于BOPPPS模式，按6大教學(xué)環(huán)節(jié)探討了詳細(xì)的課堂教學(xué)設(shè)計及其設(shè)計意圖。當(dāng)然這只是BOPPPS模式的一個案例，筆者認(rèn)為在BOPPPS模式的應(yīng)用中，首先要將章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行知識點分解，以知識點為模塊進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，在參與式學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，盡可能采用案例式教學(xué)、課堂討論、問題驅(qū)動、啟發(fā)式教學(xué)等多種教學(xué)方法讓學(xué)生深度參加課堂學(xué)習(xí)。期望未來能有更多同行研究BOPPPS模式的教學(xué)設(shè)計，使其能在大學(xué)數(shù)學(xué)類課堂及其他專業(yè)課程中得到推廣使用。

基金項目：廣西區(qū)教改項目“新工科背景下高校數(shù)學(xué)類課程與創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育融合的教學(xué)模式研究與實踐”（2023JGA393）；廣西中青年項目“高維縱向計數(shù)數(shù)據(jù)的懲罰廣義估計方程的漸近性質(zhì)研究”（2022KY1777）；校級專創(chuàng)融合示范課程項目“高等數(shù)學(xué)”（2022XJYYZ02）；南寧學(xué)院首批虛擬教研室建設(shè)試點項目（2023XNJYS08）。

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