例談高中數學之美及其教育價值

摘 要：本文聚焦高中數學，深入剖析并闡述了在數學教學中滲透數學之美的教育價值，進而展現了數學之美所散發出的獨特魅力和深遠影響.通過高中數學的學習，學生不僅能夠提升對數學的興趣，更能深刻認識到數學的科學價值、應用價值、文化價值及審美價值，進一步促進他們全面發展.

關鍵詞：高中數學；數學之美；教育價值

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）36-0030-03

收稿日期：2024-09-25

作者簡介：胡麗平（1989.2—），女，貴州省凱里人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究;

賈士偉（1985.7—），男，貴州省凱里人，中學高級教師，從事高中數學教學研究.基金項目：貴州省凱里市2023年教育科研立項課題“數學文化融入高中數學教學的實踐研究”（項目編號：202302）.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：通過高中課程的學習，提高學生學習數學的興趣，讓學生認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值［1］.數學之美是高中數學文化的重要構成部分，本文將以高中數學為例，闡述高中數學滲透數學之美的教育價值，展現數學之美的獨特魅力.

1 高中數學滲透數學之美的教育價值

高中數學滲透數學之美的教育價值是多方面的，它不僅僅局限于數學學科本身，更涉及學生的全面發展.

培養學生審美情趣.數學之美是客觀存在的，它體現在數學的概念、公式、定理、圖形等各個方面.通過引導學生欣賞數學的美，可以培養學生的審美情趣，學會從數學的角度去發現美、感受美、創造美.這種審美情趣的培養不僅有助于提高學生的數學學習興趣，還能夠讓他們在其他學科和生活中發現美的存在，從而更加熱愛生活.

激發學生創新思維.數學之美往往與數學的創造性緊密相連.在探索數學之美的過程中，學生需要不斷地觀察、思考、嘗試，這有助于激發他們的創新思維.通過解決數學問題，學生可以鍛煉自己的邏輯思維能力和空間想象能力，培養創新精神和創新能力.

提高學生數學素養.數學之美是數學素養的重要組成部分.通過滲透數學之美的教育，學生可以更加深入地理解數學的本質和內涵，提高數學素養.這種數學素養不僅包括數學知識、技能和方法，還包括數學思想、數學方法和數學文化等方面的素養.

促進學生全面發展.數學之美不僅局限于數學學科本身，還與其他學科和領域密切相關.教師通過滲透數學之美的教育，學生能夠更加廣泛地了解數學在現實生活中的應用，促進他們的全面發展.這種全面發展不僅包括學科知識的積累，還包括思維能力、情感態度和價值觀等方面的培養.通過數學之美的教育，學生能夠更加全面地認識自己和世界，從而更好地適應未來的社會.

2 高中“數學之美”——美在哪里

2.1 結構之美

數學領域中的定理、公式和證明，均源于深邃的邏輯推演和精確的演繹.這些推導過程就如同出自建筑大師之手的杰作，憑借它們嚴謹的結構和精妙的設計，充分展現了數學的嚴謹性和優雅性.每一個定理、公式和證明都是數學世界的精美構造，彰顯著數學獨特的魅力和美感.

例如，正弦和余弦函數的和角公式、差角公式以及倍角公式等，都體現了數學公式的對稱性和簡潔性.這些公式不僅揭示了三角函數之間的內在聯系，也展示了數學公式的和諧統一.再如，圓、橢圓、雙曲線和拋物線等二次曲線都具有優美的圖形和對稱的性質.這些圖形的方程和性質不僅揭示了它們之間的內在聯系和變化規律，也展示了數學公式的和諧統一和簡潔性.

2.2 簡潔之美

數學崇尚以最簡潔、最精煉的方式表達深邃的真理.一個簡短的公式或定理，常常能夠揭示出紛繁復雜的規律和現象，其背后的邏輯和內涵令人嘆為觀止.這種簡潔性不僅彰顯了數學的獨特魅力，更讓人深刻體驗到數學的強大力量和美妙之處.在數學的世界里，簡潔不僅是形式上的追求，更是對真理深刻理解和把握的體現.

2.3 解法之美

數學中的解法美猶如一位技藝高超的藝術家，以獨特的視角和精湛的畫功，在數學的畫布上勾勒出令人嘆為觀止的解題佳作.解法之美不僅僅體現在數學問題的解決步驟中，更在于它所蘊含的邏輯思維之嚴密、創造力的無限迸發以及獨特的美學價值.18世紀法國哲學家狄德羅曾說，數學的簡潔美，并不是指數學內容本身簡單，而是指數學的表達形式、數學的證明方法和數學的理論體系的結構簡潔.18世紀德國數學家高斯也曾提到，去尋求一種最美和最簡潔的證明，是吸引我去研究數學的主要動力.

例1 已知函數f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若x∈R，均有f（x）=f（2-x），則f（x）的最小值為________.

常規思路（多想少算）：利用f（x）=f（2-x）純代數計算，對比系數求出a，b；求導研究f（x）的單調性（涉及三次方程的解法—試根法），最后求出f（x）的最小值.

妙解（整體思想、多想少算）：由對稱性及部分零點得出f（x）的所有零點（特殊化思想），進而利用根與系數的關系求出a，b；左右平移不改變函數最值，于是g（x）=f（x-1）=（x2-1）（x2-4）≥-94.

例2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1，F2，P，Q（P在第一象限）是雙曲線的一條漸近線與圓x2+y2=a2的兩個交點，點M滿足OM·F1P=0，5MP=F1P，其中O是坐標原點，則雙曲線的離心率e=________.

常規思路（少想多算）：

由x2+y2=a2，y=bax，得P（a2c，abc）.

則F1P=（a2c+c，abc），F1O=（c，0）.

所以OM·F1P=（56F1P-F1O）·F1P=

56［（a2c+c）2+（abc）2］-c·（a2c+c）=0.

所以5·（a2+c2）2+（ab）2c2=6（a2+c2）.

所以5a2b2=（a2+c2）［6c2-5（a2+c2）］.

化簡得c2=9a2.

妙解（多想少算）：注意F1Q⊥OQ，所以△PMO∽△PQF1.所以PMPO=PQPF1.

設PM=t，則ta=2a6t.①

又PQ2+QF21=PF21，即（2a）2+b2=（6t）2.②

①②聯立得b2=8a2.

2.4 數字之美

數學中的數字之美猶如一幅幅精心繪制的畫卷，在其實用價值之外，更蘊含著無盡的美學意蘊.這些數字，如同宇宙的密碼，以其獨特的形態和規律，展現了數學世界的奇妙與和諧.從斐波那契數列的和諧有序，到黃金分割的優雅比例，這些數字序列和比值不僅在數學領域占據重要位置，更在自然界和藝術創作中找到了廣泛的應用和體現.它們揭示了數字之間深層的聯系和規律，展示了數學世界中的和諧與統一.而圓周率π，這個無理數的代表，更是數學中的瑰寶，其無限不循環的性質，如同宇宙的無盡奧秘，令人著迷.π的存在不僅為數學和物理學提供了重要的理論基礎，更以其獨特的魅力成為人類文化和藝術中的一部分.

2.5 對稱之美

對稱性在數學領域中占據著舉足輕重的地位，它不僅在幾何學中展現出獨特的魅力，在代數、數論等領域也同樣可見其身影.對稱性賦予了數學一種和諧、平衡的美感，讓人們能夠深切感受到數學的精致與美妙.無論是具有對稱性的圖形，還是對稱的函數表達式，都充分展現了數學對稱之美的獨特魅力，讓人為之傾倒，這種美感源于數學的嚴謹和邏輯，讓人在探索數學奧秘的同時，也感受到美的熏陶.

2.6 公式之美

數學中的公式美猶如璀璨星辰編織而成的宇宙圖譜，以其簡潔的線條、精確的刻畫和深邃的內涵，展現著令人嘆為觀止的藝術魅力.這些公式不僅是數學領域的瑰寶，更是人類智慧與創造力的結晶，它們以獨特的方式揭示了數學世界的奧秘與和諧.例如：

案例 最美公式—歐拉公式.

在2004年，英國權威科學期刊《物理世界》舉辦了一場別開生面的投票活動，旨在讓讀者們評選出科學史上最偉大的公式.在這場激烈的角逐中，被譽為“最美公式”的歐拉公式脫穎而出，毫無爭議地摘得桂冠.這個公式由偉大的數學家歐拉在1748年發表，不僅在數學領域具有舉足輕重的地位，更因其獨特的魅力和深遠的意義而被廣泛傳頌.

歐拉公式巧妙地連接了三角函數與復指數函數，這種深刻而優雅的關聯讓無數數學家為之傾倒，它因此被尊稱為“上帝公式”“宇宙第一公式”等，足見其在數學界的崇高地位.數學王子高斯曾這樣評價：“如果一個人初次邂逅歐拉公式而不為其魅力所動，那他恐怕難以真正領悟數學的精髓.”而物理學家理查德·費曼更是將其譽為“我們的珍寶”和“數學中最非凡的公式”.

特別是當θ=π，歐拉公式可以簡化成一個簡潔至極的恒等式eiπ+1=0.這個恒等式將數學中最重要的五個基本常數-1，0，π，e和i，巧妙地統一在一個公式之中，它就像一首絕美的詩篇，用簡短的文字抒發了數學之美與自然之美的和諧統一，令人嘆為觀止，拍案叫絕！

2.7 圖形之美

數學中的圖形美恰似大自然雕琢出的杰作，以其千變萬化的形態、完美的對稱與和諧的韻律，淋漓盡致地展現了數學世界的瑰麗與深邃.圖形不僅是數學研究的核心對象，更是詮釋數學之美的絕妙舞臺.這些圖形，或如曼妙的曲線，流淌出優雅與流暢；或如精致的幾何體，展現出結構與秩序的完美統一，它們以簡潔的線條和精確的度量，勾勒出數學世界的奇妙圖景，令人嘆為觀止.圖形的對稱之美，更是數學美感的獨特體現.從簡單的軸對稱到復雜的旋轉對稱，圖形中的對稱元素不僅帶來了視覺上的平衡與和諧，更揭示了數學規律與宇宙秩序之間的緊密聯系.此外，圖形的和諧之美也令人陶醉.無論是黃金分割中的優雅比例，還是三角函數波形中的周期性重復，圖形中的元素相互呼應、相互補充，共同構成了一個和諧統一的整體.這種和諧不僅體現在圖形內部，更貫穿于數學世界的每一個角落.

3 結束語

高中數學中滲透數學之美的教育價值深遠而廣泛，它能夠激發學生的審美情趣，讓他們領略到數學獨特的魅力，進而培養他們對美的感悟與追求；還能夠激發學生的創新思維，促使他們在解決數學問題的過程中，運用獨特的視角和方法，開拓新的思路.教師通過引導學生發現數學的美、感受數學的美、創造數學的美，讓他們在學習數學的過程中享受美的熏陶和啟迪，從而更加熱愛數學、熱愛學習，為他們的未來發展奠定堅實的基礎.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［責任編輯：李 璟］