高中數(shù)學解題中構(gòu)造法的應用

摘 要：構(gòu)造法可以借助圖形簡化解題過程，用于解決函數(shù)、方程等問題.

在高中數(shù)學解題中，應當注重構(gòu)造法的應用，幫助學生快速解決數(shù)學問題，提高學生的解題能力.

文章通過舉例深入分析在高中數(shù)學解題中如何應用構(gòu)造法.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學解題；構(gòu)造法；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）36-0060-03

收稿日期：2024-09-25

作者簡介：李博宇（1983.6—），女，黑龍江省五常人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

構(gòu)造法指的是當運用常規(guī)方法難以解決一些數(shù)學問題時，可以結(jié)合題目中的已知信息，考慮結(jié)論的特征、性質(zhì)，換一個角度觀察、分析和研究數(shù)學對象，根據(jù)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，有效利用構(gòu)造法，清晰呈現(xiàn)潛在關(guān)系和性質(zhì)，順利解決數(shù)學問題.在高中數(shù)學解題教學中，當碰到一系列較為特殊的試題時，教師便可引導學生嘗試應用構(gòu)造法，綜合分析題目中的信息，構(gòu)造出新的數(shù)學關(guān)系，降低數(shù)學試題的難度，從中找到解題的突破口，進而提高他們解決數(shù)學試題的速度和準確度.

1 應用構(gòu)造方程法解決高中數(shù)學試題

針對高中數(shù)學解題教學來說，應用構(gòu)造法時，構(gòu)造方程是一種比較常用的方法.雖然學生從小學階段就開始學習方程知識，但在步入高中以后，方程內(nèi)容難度增加，并且與不等式、數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容有所關(guān)聯(lián)，題目較為復雜，對學生的解題水平要求較高，以致學生解題時遇到障礙.對此，高中數(shù)學教師應當要求學生認真閱讀題目，精準找到題目中存在的等量關(guān)系，應用構(gòu)造法構(gòu)造方程，結(jié)合方程知識輕松解答試題［1］.

例1 已知a，b，c均為實數(shù)，且a+b=6，c2=ab-9，請分別求出a，b，c的值.

分析 當碰見此類含有參數(shù)的題目時，由于題干中給出的條件不多，試題難度較大，很難快速找到解題的切入點.因此，可以結(jié)合題目信息，利用構(gòu)造法構(gòu)造一元二次方程，接著利用判別式法和韋達定理等知識，即可得出準確結(jié)果.解析 因為a，b，c均為實數(shù)，且a+b=6，c2=ab-9，通過逆向使用韋達定理能夠構(gòu)造出實根分別為a和b的一元二次方程x2-6x+c2+9=0.利用根的判別式，可以得到Δ=36-4（c2+9）=-4c2≥0，即c=0，然后得到式子ab-9=0，與a+b=6聯(lián)立，可以組成一個二元二次方程組，解之得a=3，b=3，那么a，b，c的值分別

是a=3，b=3，c=0.

2 應用構(gòu)造函數(shù)法解決高中數(shù)學試題

函數(shù)作為貫穿于整個高中數(shù)學知識體系的一個重要知識點，同不少內(nèi)容都有聯(lián)系.與函數(shù)有關(guān)的題目類型多樣，在解決數(shù)學試題時，常常用到構(gòu)造函數(shù)的方法，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象來解題.為此，在高中數(shù)學解題訓練中，教師可以引導學生仔細閱讀題目內(nèi)容，精準分析和掌握題意，基于函數(shù)視角思考，擺脫固有的思維定式，挖掘隱性條件，精準找到題目中涉及的函數(shù)關(guān)系，順利構(gòu)造函數(shù)，幫助學生高效解題.

例2 已知a，b，c，d為四個實數(shù)，而且任意一個實數(shù)x均滿足不等式acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x≤1，請問當a，b，c，d是何值時，a+b-c+d存在最大值，并求出最大值.

分析 在本題中含有a，b，c，d四個未知數(shù)，解題難度增加，很難迅速、精準地找到解題突破口.可應用構(gòu)造函數(shù)的方法，從函數(shù)角度分析題干中出現(xiàn)的式子，然后利用函數(shù)知識和性質(zhì)完成解題.

解析 根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)f（x）=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x，由于f（0）=a+b+c+d，f（π）=-a+b-c+d，f（π3）=a2-b2-c-d2，所以a+b-c+d=f（0）+23f（π）+43f（π3）≤3，當且僅當f（0）=f（π）=f（π3）=1時，a+b-c+d存在最大值，最大值為3，此時a=1，c=-1，b+d=1.令

t=cosx（-1≤t≤1），則f（x）-1=acosx+bcos2x+

ccos3x+dcos4x-1=2（t-1）（t+1）（2t-1）［2dt-（1-d）］≤0（-1≤t≤1），那么d＞0，且2d2=1-d1，求得d=12，結(jié)合b+d=1得到b=12.所以當a=1，b=12，c=-1，d=12時，a+b-c+d存在最大值，最大值為3.

3 應用構(gòu)造數(shù)列法解決高中數(shù)學試題

在高中數(shù)學教學中，數(shù)列知識以等差和等比這兩種常見數(shù)列為主，雖然學習難度不是特別大，但是在不少試題解題中被使用，要求學生能夠綜合運用數(shù)列知識，解決數(shù)學難題.作為高中數(shù)學教師，在平時的解題訓練中，應當要求學生深入分析題意，巧妙借助替換、聯(lián)想等方式，分析題目中含有的條件、關(guān)系和信息等，根據(jù)實際解題需求構(gòu)造出等差數(shù)列或者等比數(shù)列，采用數(shù)列知識解決問題［2］.

例3 已知數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，S4=4，當n≥2時，數(shù)列{an}的通項公式為an=12（Sn+Sn-1），求Sn的表達式.

分析 處理這一問題時，假如先根據(jù)S4=4求出一些條件，再集合數(shù)列的通項公式求Sn的表達式，步驟較為煩瑣.應用構(gòu)造新數(shù)列的方法能夠簡化解題流程，降低出現(xiàn)錯誤的概率，高效完成解題.

解析 結(jié)合題意可得當n≥2時，an=Sn-Sn-1，據(jù)此可以得到12（Sn+Sn-1）=（Sn）2-（Sn-1）2=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）.則Sn-Sn-1=12（n≥2）.根據(jù)S4=4可以得到S4-S3=12，解得S3=94.運用同樣的方法能夠求得S2=1，S1=14，由此確定{Sn}是一個首項和公差均是12的等差數(shù)列，從而構(gòu)造出一個新數(shù)列，則Sn=12+12×（n-1）=12n.

所以Sn的表達式為Sn=（Sn）2=n24.

例4 在數(shù)列{an}中，a1=5，a2=3，an=

2an-1+3an-2（n≥3），求該數(shù)列的通項公式.

分析 直接利用題干中給出的已知條件進行求解容易出錯，在這里可采用構(gòu)造數(shù)列的方法，通過對題目信息適當變換構(gòu)造出新數(shù)列，確定清晰、準確的解題思路.

解析 因為an=2an-1+3an-2，所以an+an-1=3（an-1+an-2）.因為a1+a2=5+2=7，所以{an+

an-1}是一個以7為首項、3為公比的等比數(shù)列.所以an+an-1=7×3n-2（n≥2）①.由于an-3an-1=-（an-1-3an-2），a2-3a1=2-3×5=2-15=-13，

所以{an-3an-1}是一個以-13為首項、-1為公比的等比數(shù)列.則an-3an-1=（-13）（-1）n-2.②

①×3+②，得4an=7×3n+13（-1）n.

所以an=

74×3n-1+134（-1）n-1（n≥2）.

4 應用構(gòu)造向量法解決高中數(shù)學試題

對于高中數(shù)學教學來說，向量作為一個特殊的知識點，與其他知識有著密切的聯(lián)系.教師在帶領(lǐng)學生學習和探討時，需要關(guān)注同其他數(shù)學內(nèi)容之間的深層次整合，尤其是函數(shù)和集合等知識.因此，在高中數(shù)學解題訓練中應用構(gòu)造法解題時，教師可以引領(lǐng)學生把題目內(nèi)容與向量知識聯(lián)系起來，根據(jù)題意和解題需求構(gòu)造出向量關(guān)系，將抽象問題以直觀化的形式呈現(xiàn)出來，優(yōu)化解題過程，進而求得準確結(jié)果.

例5 已知函數(shù)y=2x+1+4-x，求該函數(shù)的最大值.

分析 這是一道典型的函數(shù)問題，直接運用函數(shù)知識也能夠求出最大值，但是計算步驟較多，不易求得結(jié)果.應用構(gòu)造法時可基于向量視角切入，通過構(gòu)造向量的方式降低難度，最終輕松完成試題的解答.

解析 如果存在一個向量m=（2，1），向量n=（x+1，4-x），由于m·n≤|m|·|n|，將m和n的坐標值代入該式，可以得到y(tǒng)=m·n≤5，即函數(shù)y=2x+1+4-x≤5.則該函數(shù)的最大值是5.

5 應用構(gòu)造圖形法解決高中數(shù)學試題

在高中數(shù)學解題教學中，構(gòu)造法作為一種應用十分廣泛的解題方法，既能夠結(jié)合題意構(gòu)造出相應的代數(shù)關(guān)系，通過解決代數(shù)式完成解題，還可以根據(jù)題目內(nèi)容構(gòu)造出幾何關(guān)系，即構(gòu)造出一些常見的幾何圖形，結(jié)合圖形的性質(zhì)解題，從本質(zhì)來說是對數(shù)形結(jié)合思想的巧妙運用.所以，高中數(shù)學教師可指導學生按照題干內(nèi)容，構(gòu)造出恰當?shù)膸缀螆D形，實現(xiàn)抽象向直觀的轉(zhuǎn)變，形象化展示題目信息，幫助他們迅速地解決試題［3］.

例6 已知α，β，γ均是銳角，其中cos2α+cos2β+

cos2φ=1，求tanα×tanβ×tanφ的最小值.分析 這是一道關(guān)于銳角三角函數(shù)的典型試題，如果純粹利用題目中給出的已知條件很難快速、直接地求出結(jié)果.不過可使用構(gòu)造法，對式子cos2α+cos2β+cos2φ=1進行分析，根據(jù)其幾何意義構(gòu)造出一個長方體圖形，基于幾何視角完成求解.解析 根據(jù)式子cos2α+cos2β+cos2φ=1可構(gòu)造出一個長方體ABCD-A1B1C1D1，如圖1所示.連接對角線BD1，在該長方體中，可以將∠α，∠β，∠γ視為長方體對角線BD1和三條側(cè)棱之間所形成的夾角，設(shè)過頂點B的三條側(cè)棱長分別為AB=a，

BC=b，BB1=c，則tanα×tanβ×tanφ=b2+c2a×a2+c2b×a2+b2c≥bca×acb×abc≥22，當且僅當a=b=c時等號成立.

所以tanα×tanβ×tanφ的最小值是22.

6 結(jié)束語

在高中數(shù)學解題訓練中，教師應深刻意識到構(gòu)造法的特殊作用和價值.做好理論知識的講授，幫助學生夯實基礎(chǔ)知識；圍繞構(gòu)造法的應用開展專題訓練，引導學生根據(jù)具體題目靈活應用構(gòu)造法；通過構(gòu)造方程、函數(shù)、數(shù)列、向量與幾何圖形等方式，確定解題思路與方案，找到簡便的解題方法，不斷提高學生的解題水平.

參考文獻：

［1］

代建廣.構(gòu)造法在高中數(shù)學解題訓練中的應用技巧［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（15）：43-44.

［2］呂成杰.基于構(gòu)造法的高中數(shù)學解題思路探索探述［J］.數(shù)理化解題研究，2023（03）：26-28.

［3］劉海杰.構(gòu)造法在高中數(shù)學解題中的運用措施分析［J］.數(shù)理化解題研究，2022（12）：14-16.

［責任編輯：李 璟］