由一道質(zhì)檢題引發(fā)的思考

【摘要】通過證明菱形內(nèi)接正方形的存在性與唯一性，一道有關(guān)菱形內(nèi)接正方形問題的存疑進行了澄清，并在此基礎(chǔ)上研究了一般平行四邊形內(nèi)接正方形的唯一性與存在性問題，給出尺規(guī)作圖方法并作一些教學(xué)思考.

【關(guān)鍵詞】內(nèi)接正方形；對稱中心；存在性與唯一性；空間觀念

1研究背景

本校在初三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題中出現(xiàn)一道題，該題看似比較溫和，容易得分，但想要思維邏輯縝密，推理有理有據(jù)，實則具有不小難度.在試題的求解過程中，解題者極易會無意識地添加一個條件.以至于考試過后一段時間仍有教師在研究本題的求解方法，想弄清本題是否缺少條件，添加條件是否多余.為了厘清本題解題思路，保證試題推理有據(jù)可依，本文將致力于解決這一問題，并作一般性的探究.為研究的方便，現(xiàn)把原檢測試題摘抄如下.

試題呈現(xiàn) 如圖1，在菱形ABCD中，∠A=60°，正方形EFGH的四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上，若正方形EFGH的周長為43，則菱形ABCD的周長為_______.

試題答案本試題的正確答案為43+4.考后了解到，能順利得出正確答案的同學(xué)都想當(dāng)然地添加了EF∥BD這一條件.然而大部分數(shù)學(xué)優(yōu)等生沒能成功求解，反而一些數(shù)學(xué)中游水平的同學(xué)能夠正確解決這一問題.如果連接BD，本試題題目是否必須給出條件EF∥BD，EF與BD不平行可以嗎？下面來回答這個問題.

2研究方法

2.1定義

已知四邊形ABCD與四邊形EFGH均為平行四邊形，且滿足平行四邊形EFGH的四個頂點分別在平行四邊形ABCD的四條邊上，點E不與AD端點重合，如圖2所示，則稱平行四邊形EFGH為平行四邊形ABCD的內(nèi)接平行四邊形.

2.2引理

2.3菱形內(nèi)接正方形的存在性

2.4菱形內(nèi)接正方形的唯一性

2.5試題解析

3一個一般性的問題

由上面的討論可知，菱形的內(nèi)接正方形具有存在唯一性，且其內(nèi)接正方形的邊分別平行于該菱形的兩條對角線.那么平行四邊形是否存在內(nèi)接正方形，如果存在是否唯一，如何作出平行四邊形的內(nèi)接正方形呢？下面來解決這幾個問題.

3.1唯一性

如果一個平行四邊形存在內(nèi)接正方形，由引理可知該平行四邊形與其內(nèi)接正方形具有同一對稱中心.類比菱形的內(nèi)接正方形唯一性的證明可知，如果平行四邊形存在內(nèi)接正方形，那么其內(nèi)接正方形唯一.

3.2存在性

4幾個例子

5教學(xué)反思

“任意一個菱形都存在唯一一個內(nèi)接正方形”這一事實并不基本，超越了教科書的范疇.學(xué)生能夠正確求解本題，是基于其良好的空間觀念、空間想象能力，憑借直覺添加了平行條件.若要說明添加的平行條件與題目條件不矛盾，具有相容性并不容易，需要依靠直覺確定菱形與其內(nèi)接正方形具有同一對稱中心.基于菱形與正方形性質(zhì)的深刻理解，通過構(gòu)造內(nèi)接正方形并證明存在性、唯一性等問題，無不需要學(xué)生具有良好的空間觀念與空間想象能力.針對一般平行四邊形內(nèi)接正方形的存在性與唯一性問題，依賴直覺經(jīng)驗，通過實驗猜想得到判定一般平行四邊形內(nèi)接正方形存在性的充要條件，再加以證明，尤其需要學(xué)生具備良好的空間觀念、空間想象能力、邏輯推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的支撐.

事實上，空間觀念是創(chuàng)新精神必備的基本條件，任何發(fā)明創(chuàng)造都離不開人的創(chuàng)造性思維.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》針對“空間觀念”作出內(nèi)涵界定為：空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認識……感知并描述圖形的運動和變化規(guī)律.空間觀念有助于理解現(xiàn)實生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗基礎(chǔ)［1］.作為中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，擔(dān)負著發(fā)展學(xué)生空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生良好空間想象能力等核心素養(yǎng)的使命.因而教學(xué)中應(yīng)做到以下幾點：

5.1培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確深刻的直覺思維

實踐是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，產(chǎn)生直覺思維的基礎(chǔ)，通過實踐活動，學(xué)生可以更好地理解與應(yīng)用所學(xué)知識.日常教學(xué)過程中，應(yīng)鼓勵學(xué)生針對困難問題進行大膽地猜想與聯(lián)想.通過鼓勵學(xué)生進行猜想，形成朦朧的直覺，重視基本圖形與模式的教學(xué)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，促使直覺思維與邏輯思維相互轉(zhuǎn)換，加強對知識的深入理解.聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的重要條件，教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生面對問題時展開豐富的聯(lián)想，拓展學(xué)生的聯(lián)想空間，培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力.

5.2培養(yǎng)學(xué)生刨根問底的研究精神

教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)寬松自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵學(xué)生面對困難敢于追問，培養(yǎng)學(xué)生勇于挑戰(zhàn)未知問題的勇氣.創(chuàng)設(shè)寬松自由的學(xué)習(xí)環(huán)境是培養(yǎng)學(xué)生探索精神的關(guān)鍵，這種學(xué)習(xí)環(huán)境可以給學(xué)生更大的自由去探索嘗試.學(xué)生在解決問題過程中抒發(fā)自己的見解與觀點.教師應(yīng)鼓勵學(xué)生針對所學(xué)知識進行深入的思考和質(zhì)疑，并勇于提出問題，這既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力.教師應(yīng)鼓勵學(xué)生勇于挑戰(zhàn)自己，嘗試新的方法和解決問題的途徑，逐步培養(yǎng)學(xué)生刨根問底的研究精神.

5.3培養(yǎng)學(xué)生不言放棄的治學(xué)態(tài)度

教學(xué)中，教師要學(xué)會使用激勵的語言，借助鼓勵的話語，幫助學(xué)生認識到付出努力的重要性，并養(yǎng)成做事有始有終的習(xí)慣.幫助學(xué)生確立一個明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，在目標(biāo)的指引下將行動轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)動力，從而讓學(xué)習(xí)成為自己人生的一部分.幫助學(xué)生制定合理的學(xué)習(xí)計劃，將大的學(xué)習(xí)目標(biāo)分解為小目標(biāo)逐步完成，這不僅在學(xué)習(xí)中受益，在生活中更是受益無窮.學(xué)生在面對學(xué)習(xí)或生活中的困難時，能夠更加有恒心、有動力地去克服挑戰(zhàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生不言放棄的治學(xué)態(tài)度.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.4.

作者簡介趙廣國（1980—），男，山東鄒城人，中小學(xué)一級教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育與教學(xué)研究工作.