指向數學本質的中學數學概念教學模式建構

［摘 要］新課標強調概念教學應啟發學生思考，引導學生把握內容本質。秉承“揭示數學本質，追溯教學本源”的理念，構建以“感知—想象—概括—固化—應用—結構”為認知過程的中學數學概念教學模式，并以“方差、標準差”數學概念為例，剖析依照該教學模式的設計思想，幫助學生更加深入地理解數學概念的本質屬性和邏輯聯系。

［關鍵詞］中學數學概念；認知過程；教學模式；數學本質

［中圖分類號］G633.6 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1005-4634（2024）06-0067-10

《普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂版）》指出：“聚焦數學的核心概念和通性通法，聚焦它們所承載的數學學科核心素養。”^［1］數學概念作為反映數學研究對象的本質屬性和特征的思維形式，有助于提高學生的數學抽象核心素養，在中學教學中始終處于十分重要的地位。

發展核心素養具有時代性，隨著信息技術的快速發展，以計算機科學和互聯網為核心的現代教育技術受到教育界的普遍關注。技術的進步促使針對數學概念的教學逐漸由單一的教師講授轉變為多元化的學習模式，但目前針對信息技術與數學概念教學的融合仍浮于表面，缺乏深度融合，也缺乏讓學生自主建構的過程。數字化轉型時代背景下，什么樣的教學模式能夠提高數學概念教學的效果并有助于概念本質？一種在信息技術支持下的關注人的認知過程的教學模式應運而生。

1 現有數學概念教學的誤區

李邦河院士指出：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”^［2］以數學概念為核心、以過程為導向的數學教學，要求教師在教學中詳盡地闡述概念的來龍去脈，發展學生的認識，幫助學生達到對數學概念的透徹理解。邵光華和章建躍指出：“存在忽視數學概念的抽象邏輯建構特征，過于強調情景化、生活化、活動化的傾向。”^［3］章建躍、陶維林也指出：“概念教學走過場，以解題教學代替概念教學的現象比較普遍。”^［4］可以發現，當前概念教學忽視學生的認知發展過程，忽視學生學習概念、理解概念需要時間的問題，沒有給予學生充分概括概念本質特征的機會，造成學生對概念理解不透、理不清解題思路，進而影響教學成效。

1.1 學生已有認知的忽視

史寧中教授指出，人具有兩個先天本能：對數量多少的感知和對距離遠近的感知，這促使學生對數學存在一定的已有認知^［5］。學生不是空著腦袋走進教室的，在進入數學課堂前已在頭腦中形成了“數學概念”，對數學問題存有自己的看法。但由于形成的“數學概念”并非完善準確，存在模糊性、多含義性，容易導致學生對所學數學概念的錯誤理解。對于數學概念的處理，傳統教學往往會忽視學生的已有認知，認為學生只要學了新知識就會替代原先的舊知識，這違背了學生的認知發展規律。

例如，在學習《直線、射線、線段》之前，學生在日常生活中已對“線”存有淺顯的概念，往往將直線錯以為是“一根拉直的直線”。直線應當是能夠向兩端無限延伸的線，一根拉直的線存在兩個端點，應歸屬于線段。教師如果不及時糾正學生存在的已有認知，則會影響后續的學習中對線段和直線概念的辨析。

1.2 數學概念本質的誤解

數學概念的本質屬性是指一個特定數學對象在一定的范圍內保持不變的性質， 而可變的性質則稱為“非本質屬性”^［6］。現代心理學研究表明：數學概念的心理表征在大多數情況下并非由相應的形式定義，而是一種由多種成分組成的復合物——概念意象（Concept Image）來定義^［7］20。數學概念的意象并非等同于數學概念的定義，相較于數學概念的定義的準確性、科學性，概念意象存在變化性、主觀性，因此學生如果無法對概念意象產生準確清晰的認識，不能透過概念意象深入了解概念定義的本質，而將概念意象作為概念定義，就會為概念添加一些并非概念本質的含義：（1）用個別特征代替整個概念；（2）進行簡單的機械記憶，并不理解表達的含義；（3）混淆概念。

1.3 感性上升理性抽象層面的忽視

數學概念的學習是典型的數學抽象過程，對學生來說，數學抽象素養的達成不是一蹴而就的，是在學習活動中逐步發展的。張宗余和馮斌指出：落實數學抽象素養需經歷從具體到抽象、從抽象到概括化、從量表到質變的過程，即在教學過程中需要引導學生從直觀感知出發，經歷感性經驗上升到理性抽象的過程^［8］。目前，概念教學中依然存在注重進度和“應試”需要的以告知為主的模式，在學生并未理解概念的情況下，進行解題訓練，忽略學生的直觀感知、忽略概念的建立過程。

2 指向數學本質的概念教學模式建構

2.1 核心概念界定

2.1.1 數學概念

數學概念是人們從過去的經驗或認識中抽象出能反映現實世界空間形式與數量關系本質屬性的思維形式。

學者們對數學概念有著不同的看法。章建躍認為，概念是心理學、哲學、邏輯學等許多學科的研究對象，數學概念是對現實世界蘊含的關系的簡明概括，是具體性與抽象性的辯證統一，具有強大的系統性^［9］。羅新兵和羅增儒提出，數學概念應當是反映事物本質屬性、關系、特征的思維形式，其內涵反映了數學對象的本質，其外延則是數學概念對象的總和^［10］。徐文彬認為數學概念具有內涵和外延，可以從邏輯、數學史、教育心理學、數學心理學等幾個層面出發思考數學概念教學的作用^［11］。本研究認為，數學概念是從中學數學教學內容出發，基于過去的經驗和認識，通過類比、歸納總結形成的知識，是對現實世界的高度抽象，是現實世界蘊含的數學關系的本質反映。

2.1.2 教學模式

教學模式是在一種思想或理論基礎上建立起來的較為穩定的教學活動框架或程序，最早由美國學者喬伊斯和韋爾提出。他們認為：教學模式是構成課程和作業、選擇教材、提示教師活動的一種范例或計劃。

曹一鳴認為教學模式是對教學經驗的概括和系統整理、是教學方法的升華、是理論與實踐的中介^［12］。李佩武和李子鶴提出，模式是事物或行為活動的范本，教學模式則是基于教學活動，在思想和理論的指導下，圍繞教學目標形成的一種相對穩定的范式^［13］。張銳強調，教學模式屬于方法和策略的范疇，但不與其相等，是指向教學結構的，可以對時間起直接的指導作用，又可以豐富理論的發展^［14］。隨著科學技術的發展和人類認知水平的提高，教學模式更新迭代，誕生了如翻轉課堂、“互聯網+教育”“線上線下”混合式等順應時代發展的模式。本研究中的教學模式主要是指在數學教育理論指引下，結合當下需求，為改進數學課堂教學而提出的適用于概念課教學的模式。

2.1.3 數學本質

數學本質是數學邏輯性、創造性、思想性的體現。張奠宙曾多次反對“去數學化”，強調“數學本質”，指出數學本質要注重知識的內在聯系、規律的形成過程、思想方法的提煉、理性精神的體驗等諸多方面^［15］。程明喜等人對數學本質展開研究，指出數學本質需強調對教材內容的定位與挖掘、單元數學知識的結構與關系、核心素養培養的通融與側重、教學活動的問題與探究、聚焦數學知識的理解與遷移^［16］。本研究中的數學本質著重強調數學知識中的經驗性元素，力求從實際生活中提煉和抽象出數學概念和原理，結合信息技術軟件，深入把握所蘊含的特征和性質，探尋知識內在的聯系。

2.2 模式構建的依據

為幫助學生更好地理解數學概念，本研究遵循人的認知過程，在信息技術的支撐下提出并建構了適合學生發展的數學概念教學模式，主要圍繞以下問題展開：（1）學生的認知過程會經歷哪些階段？（2）如何使學生的已有認知外顯？（3）如何幫助學生把感性經驗抽象為理性思維，發展抽象素養？（4）如何幫助學生深入認識數學概念的本質？（5）如何幫助學生將新概念納入已有認知結構？

針對上述問題，構建了圖1所示的數學概念教學模式，該模式包括“感知—想象—概括—固化—應用—結構”6個環節，特別關注教師、學生雙主體行為，充分落實了“揭示數學本質，追溯教學本源”的教育理念。

2.3 概念教學模式

2.3.1 感知環節

數學的學習需使學生經歷數學化的過程^［17］，如圖2所示，感知活動以情境的方式引導學生站在數學的角度看世界。教師可以將數學家們在理解數學對象演變時所遇的障礙與學生熟悉的日常生活相結合，在新舊知識連接點、交錯點處設置認知沖突或再現概念背景。教師需要為學生提供恰當的問題情境，引導學生經歷感性認識，積累足夠量的感性經驗，為學生提供直觀體驗的思考和環境，在背景與定義之間架起橋梁。為豐富學生的觀察方式，也可以考慮通過利用PPT、Geogebra制作相應的視頻或動畫，展現情境變化。如在函數單調性教學中，可通過視頻或動畫等方式展示氣溫的上升與下降，使學生通過氣溫的變化，感受到函數的遞增和遞減。

2.3.2 想象環節

數學知識發生和發展實際上是數學家或數學教育家的思維成果^［18］，教師需要將學生思維與教師思維、數學家思維進行相互碰撞。如圖3所示，教師需要引導學生從數學的角度出發，明確問題所在、矛盾所在、共性所在，得到感性經驗中蘊含的規律或知識之間的聯系，合情合理地發現一個新概念。如在數列的教學中，在通過列舉不同的實例幫助學生積累了感性經驗后，使他們進一步發現實例的共同特征：它們都是按照確定的順序排列的。

信息技術的融入有利于直觀展現抽象思維的發展，凸顯抽象的價值。想象是在感知的基礎上邁向抽象的第一步^［19］，可以通過借助信息技術，以動態表現形式，展現感性知識的相互關聯性，展現生動的歸納過程，幫助學生擁有更多觀察和歸納的機會，形成猜想。仍以數列的教學為例，可用動畫將每一列數的變化過程演繹出來，如某位學生身高這一列數隨著年齡發生的變化，不僅體現了這列數的出現是有先后順序的，也反映了數列中的每一項與它的序號之間的對應關系。

2.3.3 概括環節

如圖4所示，教師需根據學生的探索反饋，進行必要的去蕪存菁，將學生經歷的感性認識上升到抽象概括階段，歸納出概念的本質特征，形成最終要學習的新概念。

概括活動往往是學生從感性上升到理性、從低層次思維上升到高層次思維的關鍵環節。教師可以根據概念的特點，借助信息技術將課本上枯燥的畫面變為栩栩如生的動畫，將概念用形象的圖式展現出來，使學生加深對概念本質的理解。如針對函數單調性的學習，將繁雜的文字語言轉變成圖像與符號語言這樣的過程是數學簡潔性的體現，也是其符號化的展現，更是單調性本質的再現。

2.3.4 固化環節

學生學習新的概念后，需要真正理解而不是單純地、機械地記憶概念的形式和定義。如圖5所示，在固化環節教師需要進行暫時的“停留”，帶領學生對概念進行正反剖析，思考概念為何如此定義、概念的語句有什么特點和含義、概念定義的范圍或條件等，通過對概念進行不同角度的審視，揭示概念的內涵和外延，以感受概念的豐富性。如函數可以通過圖象、表格、解析式等方式表達，數列的概念可以從辨析入手，思考呈現的例子符不符合數列的要求，以加深學生對概念的本質的認識。

2.3.5 應用環節

傳統數學問題的條件與結論基本上是封閉的，但是許多現實問題卻常是多元的，即前提或終端往往是開放的^［20］。如圖6所示，在應用環節中，教師可以為學生提供題目，并進行適當的變式，鼓勵學生運用概念解決具體的問題，促使概念內化為解決問題的工具，幫助學生積累經驗，通過“應用”深化對概念的認識是必要且有效的教學手段。

2.3.6 結構環節

對學習和理解信息來說，結構是關鍵^［7］21，結構是個人在頭腦中形成的認知框架，是需要在長期的學習中不斷豐富和完善的，結構有助于學生清晰地了解習得的知識的脈絡，形成多維、立體、相互關聯的知識體系。

如圖7，教師可以用類似構建框圖的形式，以“遇到什么問題？”“如何解決？運用到什么知識？”“得到什么結論？”“體現什么思想？”層層遞進，幫助學生了解概念的位置，理解概念的地位，熟悉概念的發生發展，靈活建立起與相關問題、概念、公式定理的聯系，并在日后不斷豐富框圖脈絡，逐步形成完整的認知結構，以作為生活與后續學習的感知經驗基礎。

3 指向數學本質的概念教學模式的應用

以北師大版數學必修第一冊“統計”一章中的“方差、標準差”為例，展示上述教學模式的應用。相比于初中的教學，高中階段的教學主要是為了讓學生能進一步學習數據收集和整理的方法，能夠選擇恰當的統計量對數據進行描述。本研究依據上述教學模式，幫助學生解決以下問題：（1）為什么要使用方差和標準差？（2）方差和標準差的本質是什么？（3）運用方差和標準差可以解決什么問題？

3.1 教學目標及重難點

3.1.1 教學目標

（1）通過經歷解決生活情境問題的過程積累感知經驗，發現先前所學的知識無法解決當前問題，以認知沖突激發學習新知識的興趣，培養用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界的能力，提升數學抽象素養。

（2）利用信息技術，經歷從“偏差”到抵消正負影響，再到考慮容量差異的過程，直觀再現方差概念的生成過程，體會知識之間的層層遞進，感受并概括出用樣本的數據特征估計總體離散程度的方法。

（3）從思維辨析和變式訓練出發，理解方差、標準差概念的本質（刻畫數據的離散程度），理解其應用范圍及意義，培養邏輯推理能力及創新思維能力，拓展解決問題的能力。

3.1.2 重難點

教學重點為方差、標準差概念的本質及應用范圍，運用方差解決問題；教學難點為方差與平均差之間的區別及方差的簡便計算。

3.2 教學流程

整體教學流程如圖8所示。

3.2.1 “感知”環節——情境導入，引發沖突

甲、乙兩名射擊選手六次的測試成績統計如表1所示。

問題：如何通過以前所學的統計量分析這兩名選手的成績？

從平均數、眾數、中位數角度展開分析，本研究發現甲、乙兩人的這三個統計量上的數值相同，水平相當。借助信息技術繪制圖像（圖9）可以發現，甲選手的成績比較穩定，乙選手的成績波動幅度較大，可見他們的成績是存在差異的，那么應當如何度量這種差異呢？

【設計意圖】初中階段，學生學過描述數據特征的量，如平均數、中位數、眾數。回顧先前所學的知識，從學生熟悉的情境入手，分析選手射擊的穩定性，既復習鞏固前面所學知識，又為后續教學作鋪墊。在感知環節，僅通過情境問題，產生認知沖突，引導學生發現這幾種數，沒辦法幫助學生探究出甲、乙之間的差別，因此，對于數據差異的考察需要選取更為合適的統計量。

3.2.2 “想象”環節——層層遞進，解決沖突

一種簡單的度量數據離散程度的方法就是考慮極差，此時教師可以引導學生從極差的角度展開討論，但是發現甲、乙的極差仍然相等。當已知的統計量無法幫助學生判斷選手成績的時候，就需要考慮用新的統計量來幫助解決問題。

為幫助學生更直觀地進行討論，本研究利用信息技術將題目數據繪制為折線圖（圖10），幫助學生直觀對比甲乙兩者的情況，發現差異點，層層深入展開探究；適當地提醒學生從“成績波動”的角度出發，考慮以平均數作為參照展開研究，考慮環數與平均數之間的差距，聯想偏差，解決問題。

偏差有正有負，會對離散程度產生一定影響。通過計算發現二者的偏差之和為0，信息技術展示兩組數據的偏差相互抵消的過程（圖11），直觀感受正負差異帶來的影響，進一步聯系消除正負抵消影響的方法：（1）平方消除影響；（2）添加絕對值消除影響。

通過消除正負抵消影響后計算得到甲的偏差平方和為26（偏差絕對值和為8），乙的偏差平方和為30（偏差絕對值和為10），初步認識到通過計算偏差平方和或偏差絕對值之和可以判斷選手成績的穩定性。

【設計意圖】數學研究從本質上講是要考慮如何從數量和數量關系定量刻畫現實世界中的問題^［21］。通過實踐，認識到極差只能反映一組數據中兩個極端值之間的大小情況，無法反映一組數據整體的離散程度。因此，有必要探尋對整組數據波動情況更敏感的指標。利用信息技術在想象環節幫助學生直觀感受，激發猜想，大膽聯系“環數與平均數之間的差距”，步步深入到抵消“正負”問題，得到“偏差絕對值和”和“偏差平方和”。通過環環相扣的問題設計，不斷引導學生生疑、解疑，提升直觀想象等數學核心素養，提高思維能力。

3.2.3 “概括”環節——變式生疑，概念確認

學生已經考慮到可以利用偏差解決問題，但所得到的結論并不完善，通過對題目進行變式，進一步探討，甲、乙成績如表2所示。

問題：此時還可以用偏差的平方值和刻畫數據的離散程度嗎？

問題：有沒有辦法進行改進，使結果更加科學合理呢？

通過甲選手射擊次數的增加，可以發現此時甲的偏差平方和為32（偏差絕對值和為12），已經大于乙的偏差平方之和。很明顯由于甲、乙兩者的樣本容量不同，直接根據偏差平方和判斷甲、乙選手誰的成績更穩定是不合理的，因此需要消除樣本容量的影響。方差的概念：衡量隨機變量或一組數據時離散程度的度量。公式：

1n［（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²］（1）

通過方差計算，會發現得到的單位存在平方，這時的單位應當如何解釋呢？教師需要激起學生在計算過程中“保持原始單位”的想法，聯想到得到方差公式是通過計算偏差的平方和，要恢復到原始單位則需要對平方進行開方，得到標準差公式：

1n［（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²］（2）

由于上述過程在消除偏差正負影響時，考慮到了絕對值消除影響的方法，也要將其作為教學的一個補充內容，即平均差公式：

1n（|x₁-|+|x₂-|+…+|x_n-|）（3）

【設計意圖】教師根據學生的探索反饋，進行必要的取其精華、去其糟粕，將學生低層次的猜想上升至高層次的抽象概括。學生的學習需在現有知識中發現疑惑并進一步解決疑惑，得到本質，體會概念的發生發展過程。此處通過巧妙的變式，讓學生再度進行思考，探索如何表示一組數據的離散程度、離散程度的影響因素有哪些，以幫助學生自主形成概念，體會符號化表達。這不僅培養學生的質疑習慣和探索精神，還促使學生體會已有認知與新認知的差距，同時考慮了數學的嚴謹性，從單位入手，從方差得到標準差。

3.2.4 “固化”環節——思維拓展，深入辨析

“方差”和“平均差”都是用來衡量數據的離散程度的統計量，但它們的計算方法和解釋略有不同。“平均差”法在處理具體數據時較為方便，但若遇到用字母表示數的情況時，絕對值的運算就不如平方運算簡便。用“方差”刻畫數據的離散程度是將細微的偏差放大，比“平均差”法更為精準，并且“方差”的學習也為后續學習復雜的統計內容打下基礎。

方差和平均差都有助于學生判斷兩組數據的穩定性以及二者之間存在的差異。教師在教授“方差、標準差”概念時，需要進一步分析二者的區別，幫助學生反思和辨析，體會新認知與原有認知之間的差別。

【設計意圖】當學生學習了新的數學概念后，就需要幫助學生達到對數學概念的真正理解和掌握，而不是單純地知道概念是什么、公式怎么書寫運用。由于在上述環節中發現考慮數據離散程度有兩種表達形式，教師便可以對其進行辨析，使學生認識到“什么時候使用方差”“方差的便利之處在哪里”，促進學生對概念的把握，體會到方差、標準差概念形成的必要性。

3.2.5 “應用”環節——類比探究，尋求一般

練習：農場種植的甲、乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續6年的產量見表3。

（1）哪種水稻的產量比較穩定？

（2）如果把各組數據減去910，再計算兩組新數據的方差會有什么結果？

通過對本節課所學知識的簡單應用，讓學生更加深刻地體會到方差運用在生活中可以判斷數據離散程度、判斷數據穩定性。實際上，可以發現方差的計算式是以樣本為依據的，選取的樣本不同，得到的結果就不同。因此，對于樣本的選取要具有合理性。教師對題目進行講解時，需要加強學生對于樣本選取的認知，讓其思考在日常生活中數據應當如何選取、影響結果的因素有什么。

問題（2）是在原有問題上進行的變式，讓學生發現結果與原來結果相同，進而可以引導學生類比方差的計算，考慮一般情況，得到方差的簡便形式。

【設計意圖】通過問題（1）對知識的應用，鞏固本節課所學內容。“方差”公式的計算相對于其他公式來說會比較復雜。尤其是在樣本數據比較大的情況下，借助問題（2），引導學生從特殊到一般，考慮“將每個數據減去一個與它們平均數接近的常數”，再計算方差，得到方差的另一種計算方法，使學生經歷形式化推理的訓練，提升學生數學運算的核心素養。

3.2.6 “結構”環節——課堂小結，結構確認

在“結構”環節，教師需要將學生的新認知納入到學生的原有認知結構中，體會知識與知識之間的聯系，并鞏固本節課所學的內容。可以采用思維導圖（圖12），帶領學生一起回顧，展開對本節課的復習及知識與知識間的串聯。

【設計意圖】課堂小結以課堂流程圖的形式展開，幫助學生回憶本節課所學知識，展現具體的研究思路及體現的數學思想。

4 啟示

4.1 運用信息技術，啟發學生提升抽象思維

英國數學教育家David Tall在認知主義、建構主義的基礎上，融合認知科學、新皮亞杰主義等相關研究，于2004年提出了數學三個世界理論：“概念—具體化世界”“過程—符號化世界”“公理—形式化世界”^［22］。學生的數學認知發展建立在感知、操作和反思等基石之上，歷經具象化、符號化及形式化的演變過程，隨著年齡遞增，涉及的數學概念日趨抽象。由于學生心智尚未成熟、水平有限，因此引發學習上的挑戰。技術與人類相伴而生，信息技術成為當下推動教育發展的有力工具。概念往往蘊含著圖形的變化、性質等眾多知識，信息技術則可以更有效地輔助教師，幫助學生直觀地感知概念的變化和其性質特點，實現感性思維向理性思維的過渡。例如：對于斜二測畫法，單純從定義的角度出發，有的學生可能會產生誤解，沒有認識到“平行于y軸的線段長度變為原來的一半”是y軸傾斜了45°后再進行變化，基于此，教師可以使用信息技術軟件，以動畫的形式讓學生直觀感知到坐標軸的變化過程。

4.2 設置認知沖突，激發學生認知需求

認知沖突（Cognitive Conflict）是學習者已建立的認知結構與當前面臨的情境之間暫時的矛盾與沖突，是已有的知識和經驗與新知識之間存在某種差距而導致心理失衡的一種認知狀態^［23］。格勞斯認為，克服錯誤概念對新概念學習的排斥的唯一可能的解決方法是迫使學生明確地面對他們的錯誤與所學的科學原理之間的矛盾^［24］。基于此，教師在教學過程中，需要幫助學生認識到先前認知似乎沒辦法解決當前問題，使其能夠在不同的觀念碰撞中激發起求知欲和探索欲。例如：在導數的應用（在曲線上某一點的切線方程問題）中，一個突出的問題在于切線概念的拓展，原有學生對于切線的想法是與曲線只有一個公共點，但實際上像三次函數等曲線的切線是與曲線存在多個交點的。通過圖像展示，教師誘發學生對切線的思考，隨后深入剖析切線概念，形成認知沖突，轉變學生的原有認知。

5 結語

“學非探其花，要自拔其根。”學習不能像看花一般，流于表面，而是要尋根究底，深刻領會本質內涵。本教學模式（見圖13）的關鍵在于遵循人的認知過程，并充分考慮信息技術與課堂教學的融合，以直觀的形式豐富學生的感知，以問題的動態表現和有聲有色的畫面擴展學生的想象空間，為學生提供“數學化”的活動機會，經歷對所學內容的“再創造”過程。

數學中的許多概念，從它最初的狀態，在種種原因的推動下，一次次擴張、推廣，成為像今天這樣廣泛而精確的概念^［25］。概念教學根據人的認知發展過程展開，不僅僅是數學背景的再現，更是讓學生在學習概念的過程中，經歷概念的發生發展過程，體會其背后蘊含的本質。

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Constructing a conceptual teaching model for secondary mathematics that points to the nature of mathematics

ZHANG Xu-hui，YI Gui-sheng，ZHANG Dong-mei

（School of Mathematics and Statistics，Jiangxi Normal University，Nanchang，Jiangxi330022，China）

Abstract The new curriculum emphasises that conceptual teaching should inspire students to think and guide them to grasp the essence of the content. Adhering to the concept of “revealing the essence of mathematics and tracing the origin of teaching”， we construct the conceptual teaching model of “perception-imagination-generalisation-solidification-application-structure” as the cognitive process. The conceptual teaching model of secondary school mathematics with the cognitive process of “perception-imagination-generalisation-solidification-application-structure” is constructed to take “perception-imagination-generalisation-solidification-application-structure” as the cognitive process， and take the mathematical concepts of “variance and standard deviation” as an example， to analyse the design ideas according to the teaching model， and to help the students to understand more deeply the essence of the mathematical concepts and their logical connections.

Keywords secondary school mathematics concepts;cognitive process;teaching mode;mathematical nature

［責任編輯 馬曉寧］