關(guān)于線段最值模型的分類解讀與示例探究

[摘 要] 線段最值模型問(wèn)題的類型眾多，探究解析需要重點(diǎn)解讀模型，根據(jù)類型來(lái)確定思路構(gòu)建方法、破解最值原理. 研究者通過(guò)開展問(wèn)題綜述，確定探究環(huán)節(jié)，再對(duì)三大模型進(jìn)行分類探究.

[關(guān)鍵詞] 將軍飲馬;模型;對(duì)稱轉(zhuǎn)化

探究綜述

將軍飲馬模型是初中幾何的重點(diǎn)模型，該模型由軸對(duì)稱性質(zhì)衍生，結(jié)合最值原理來(lái)構(gòu)建，以其為背景構(gòu)建的最值問(wèn)題在中考或?？贾惺殖Ｒ? 具體考查時(shí)涉及眾多類型，教學(xué)探究關(guān)注解讀模型，總結(jié)類型，歸納策略. 探究時(shí)可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一，模型解讀，解讀模型特征，可結(jié)合直觀的圖象進(jìn)行;環(huán)節(jié)二，探索最值原理，確定破題策略;環(huán)節(jié)三，實(shí)例探究應(yīng)用，總結(jié)歸納解法.

教學(xué)探究中要注意模型細(xì)節(jié)，深度挖掘特征;示例探究時(shí)要注意思路引導(dǎo)，分析問(wèn)題，構(gòu)建過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考評(píng)析.

模型探究一

兩條線段和最值是將軍飲馬的基礎(chǔ)模型，該模型涉及兩點(diǎn)、一線，是關(guān)于兩線段之和的最值問(wèn)題. 教學(xué)探究中，可繪制圖象，結(jié)合圖象探究分析.

1. 模型解讀

點(diǎn)A和B是兩個(gè)定點(diǎn)，求解在一條直線m上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小. 有兩種情形：情形一，點(diǎn)A和B在直線m的兩側(cè)，如圖1-（a）;情形二，點(diǎn)A和B在直線m的同側(cè)，如圖2-（a）.

上述為兩條線段和最值的兩種情形，其構(gòu)建思路存在差異. 對(duì)于情形1，可利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”的最值原理，直接連接點(diǎn)A和B，線段AB與直線m的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖1-（b）. 而對(duì)于情形2，由于兩點(diǎn)位于直線的兩側(cè)，需要采用“對(duì)稱轉(zhuǎn)化+共線定理”的策略，即任意選定一點(diǎn)，作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)，再連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)，圖2-（b）選定的點(diǎn)為A.

2. 示例探究

例1 如圖3-（a）所示，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN=30°. 點(diǎn)P為直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)連接AP和BP，則當(dāng)AP+BP取得最小值時(shí)，∠CBP的度數(shù)為______.

思路分析：本題目屬于兩線段和的最值問(wèn)題，點(diǎn)A和B均位于直線MN的同側(cè)，屬于上述的情形2，可采用“對(duì)稱轉(zhuǎn)化+共線定理”的策略，確定點(diǎn)P的位置以及具體的模型，再利用幾何特性進(jìn)行角度分析.

過(guò)程詳解：如圖3-（b）所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)D，再連接AD，其與MN的交點(diǎn)即為線段和取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，連接BP和CD.

由于點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線MN對(duì)稱，且∠BCN=30°，由對(duì)稱特性可推知BC=CD，∠BCD=60°，所以△BCD為等邊三角形. 又知∠ACB=90°，AC=BC，所以AC=CD，∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°，從而可得∠CDP=15°. 由等腰三角形的軸對(duì)稱特性可知∠CBP=∠CDP=15°，即∠CBP的度數(shù)為15°.

策略總結(jié)：對(duì)于兩線段和最值問(wèn)題，探究突破的基本原理為“兩點(diǎn)之間，線段最短”，問(wèn)題突破時(shí)可分三步進(jìn)行：

第一步，確定問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)和關(guān)聯(lián)直線，從而確定最值情形;

第二步，根據(jù)問(wèn)題情形來(lái)確定解題策略，若兩定點(diǎn)在關(guān)聯(lián)直線的異側(cè)，則直接連線確定動(dòng)點(diǎn)位置;若兩定點(diǎn)在關(guān)聯(lián)直線的同側(cè)，則采用“對(duì)稱轉(zhuǎn)化+共線定理”的策略;

第三步，確定動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及具體模型后，再結(jié)合對(duì)稱特性、幾何特性、問(wèn)題條件進(jìn)行線段或角度的解析.

模型探究二

兩條線段差的最值在初中數(shù)學(xué)幾何中也較為常見，該類問(wèn)題模型同樣涉及了兩定點(diǎn)、P5xQ/eT+Yrqu7v3dXMxvO3LOazQI9BJlGupz2W4Dnv4=一動(dòng)點(diǎn)和一條固定直線. 難點(diǎn)是處理其中的線段差關(guān)系，解析探究可采用數(shù)形結(jié)合的方法策略，構(gòu)建具體模型，利用線段之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行差減.

1. 模型解讀

兩線段差的最值問(wèn)題，即在一條直線m上存在動(dòng)點(diǎn)P，常見求解PA與PB差的最大值. 同樣存在兩種情形：情形一，點(diǎn)A和B在直線m的同側(cè)，如圖4-（a）;情形二，點(diǎn)A和B在直線m的兩側(cè)，如圖5-（a）.

圖4為定點(diǎn)A和B位于直線m同一側(cè)的情形，求解PA-PB的最大值，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解析. 具體過(guò)程：延長(zhǎng)AB，與直線m交于點(diǎn)P，如圖4-（b）所示，因?yàn)椤叭切蝺蛇呏钚∮诘谌叀?，即P′A-P′B<AB，所以此時(shí)PA-PB=AB取得最大值，此時(shí)的點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

圖5則為定點(diǎn)A和B位于直線m異側(cè)的情形，該情形求解線段差最大值時(shí)同樣用的是三角形的三邊關(guān)系，不同的是需要借助對(duì)稱轉(zhuǎn)化. 具體過(guò)程：過(guò)點(diǎn)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B′，再連接AB′，其與直線m交于點(diǎn)P，此時(shí)PB=PB′，PA-PB取得最大值，且最大值為AB′.

2. 示例探究

例2 如圖6-（a）所示，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB=12 cm，△BMC的周長(zhǎng)是20 cm，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA-PB的最大值為______.

思路分析：本題目核心條件是三角形的周長(zhǎng)，問(wèn)題求解需要構(gòu)建周長(zhǎng)模型，將其轉(zhuǎn)化為線段和條件，后續(xù)求解最值時(shí)利用共線定理，結(jié)合三角形三邊關(guān)系來(lái)求解.

過(guò)程詳解：由于MN垂直平分AC，則MA=MC. 構(gòu)建△BMC的周長(zhǎng)模型，即C=BM+MC+BC=20 cm，則BM+MA+BC=20 cm，從而可得BM+MA=AB=12 cm，BC=8 cm. 如圖6-（b），在MN上取一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，則PA-PB=PC-PB. 在△PBC中，PC-PB<BC，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P′位置時(shí)，即P，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，PC-PB有最大值，此時(shí)PC-PB=BC=8 cm，即PA-PB的最大值是8 cm.

策略總結(jié)：對(duì)于線段差最值問(wèn)題，探究突破的核心原理有兩個(gè)，一是三角形三邊關(guān)系;二是共線定理. 問(wèn)題突破可分三步進(jìn)行：

第一步，解析問(wèn)題條件，確定問(wèn)題類型;

第二步，作圖構(gòu)建三角形，利用三角形的三邊關(guān)系來(lái)構(gòu)建模型;

第三步，分析三點(diǎn)共線，確定最值情形，結(jié)合條件求解最值.

“三角形三邊關(guān)系+共線定理”是破解線段差最值的常用策略，而該類問(wèn)題的類型較為多樣，常涉及三角形周長(zhǎng)、翻折對(duì)稱、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)等，問(wèn)題求解時(shí)需要結(jié)合條件靈活構(gòu)建思路. 兩大定理使用時(shí)可綜合運(yùn)用，構(gòu)建三角形，分析三邊差值關(guān)系，再進(jìn)行三點(diǎn)共線分析.

模型探究三

三線段最值問(wèn)題是幾何中較為特殊的問(wèn)題類型，涉及了三條線段，有雙動(dòng)點(diǎn). 問(wèn)題類型有三種，探究解析同樣需要先確定三線段最值問(wèn)題的類型，再構(gòu)建思路破解.

1. 模型解讀

三線段的最值，即點(diǎn)P和Q分別在直線m和n上，使得PA+PQ+QB取得最小值，分析的關(guān)鍵是確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置. 該問(wèn)題有三種情形：一是兩定點(diǎn)均在直線的外側(cè)，如圖7-（a）;二是一個(gè)定點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，另一個(gè)定點(diǎn)在外側(cè)，如圖7-（c）;三是兩個(gè)定點(diǎn)均在內(nèi)側(cè)，如圖8-（a）.

對(duì)于上述三種三線段最值情形，可將其歸為雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，破解的核心策略為“對(duì)稱轉(zhuǎn)化+共線定理”，即求解時(shí)將位于同側(cè)的定點(diǎn)異側(cè)化，再進(jìn)行共線定動(dòng)點(diǎn). 對(duì)于情形一，兩定點(diǎn)均在直線外側(cè)，則可以直接連接兩點(diǎn)，該線段與兩直線的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)的位置;對(duì)于情形二，其中一個(gè)定點(diǎn)在直線的內(nèi)側(cè)，則需要進(jìn)行一次對(duì)稱轉(zhuǎn)化，再共線分析;對(duì)于情形三，兩個(gè)定點(diǎn)均在兩直線的內(nèi)側(cè)，此時(shí)則需要進(jìn)行兩次對(duì)稱轉(zhuǎn)化.

例3 如圖9-（a），點(diǎn)A在y軸上，G，B兩點(diǎn)在x軸上，且G（-3，0），B（-2，0），HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱，∠GAH=60°，P，Q分別是AG，AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP+PQ+CQ的最小值是______.

思路分析：?jiǎn)栴}中的點(diǎn)B和C均位于三角形的內(nèi)部，于是需要進(jìn)行兩次對(duì)稱轉(zhuǎn)化，后續(xù)再利用共線定理來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)位置.

過(guò)程詳解：分別作點(diǎn)B和C關(guān)于AG和AH的對(duì)稱點(diǎn)B′和C′，連接BP，CQ，B′P，C′Q，PQ，如圖9-（b）所示.

由于HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱，可得GO=HO，BO=CO. 又知x軸⊥y軸，則AG=AH，B′、C′關(guān)于y軸對(duì)稱，所以當(dāng)B′，C′，P，Q在同一條直線上時(shí)，BP+PQ+CQ=B′P+PQ+C′Q=B′C′最小，此時(shí)B′C′∥x軸.

因?yàn)椤螱AH=60°，則△AGH為等邊三角形，∠AGO=60°. 因?yàn)锽′C′∥x軸，B，B′關(guān)于AG對(duì)稱，所以∠BPG=∠B′PG=∠PGB=60°，B′P=BP. 所以△BPG為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥GO交x軸于M.

因?yàn)镚（-3，0），B（-2，0），所以BG=1，BO=2，從而可推得PB′=PB=BG=1，BM=BG=，則B′P+PN=BP+MB+BO=1++2=，同理可得C′Q+QN=，即B′C′=7，則BP+PQ+CQ的最小值是7.

策略總結(jié)：對(duì)于涉及三線段和的最值問(wèn)題，解析突破的關(guān)鍵是構(gòu)建兩點(diǎn)共線的條件，即對(duì)稱轉(zhuǎn)化. 思路構(gòu)建同樣可分為三步：

第一步，分析問(wèn)題條件，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)的位置來(lái)確定問(wèn)題情形;

第二步，進(jìn)行對(duì)稱轉(zhuǎn)化，將定點(diǎn)轉(zhuǎn)化到兩直線的外側(cè)，利用共線定理確定動(dòng)點(diǎn)位置、最值情形;

第三步，結(jié)合問(wèn)題條件求解線段長(zhǎng)，求得線段和的最值.

三線段和的最值問(wèn)題又稱為雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，該類問(wèn)題的核心策略為“對(duì)稱轉(zhuǎn)化，共線定理確定最值情形”. 實(shí)際考查時(shí)有多種方式，也可作為壓軸題出現(xiàn)，常見于以拋物線為背景探究其中的三線段和的最值. 探究解析時(shí)可利用數(shù)形結(jié)合的方法，充分結(jié)合拋物線的性質(zhì)，分析其中的直線與曲線的位置關(guān)系，聯(lián)系解析式來(lái)求解點(diǎn)坐標(biāo).

結(jié)束語(yǔ)

上述對(duì)幾何中的最值模型進(jìn)行了分類解讀，探究教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生解讀模型，關(guān)注問(wèn)題類型，總結(jié)破題的方法策略. 同時(shí)注意解題引導(dǎo)，讓學(xué)生關(guān)注解析思路、構(gòu)建過(guò)程，并適度拓展，開闊學(xué)生的解題視野. 線段最值模型的探究過(guò)程中要注意思想方法的滲透，提升學(xué)生的綜合能力.