借助一題多解 發展數學思維

[摘 要] 數學思維作為數學教育的培養目標愈發受到關注.通過對一道中考平面幾何題進行解法的探究與思考，引導學生明晰圖形結構，發現問題的本質，尋找不同的解答思路.結合一題多解滲透數學思維發展路徑，指引學生用數學的思維思考現實世界，進一步提升其數學思維的速度、深度和寬度.

[關鍵詞] 一題多解;數學思維;數學核心素養;中考題

數學教育一直以來承擔著促進學生思維發展的重任. 正如奧加涅相所言：“區別于傳統教學，現代教學的特點在于力求控制教學過程以促進學生思維發展，而基本的思維方式則成為學生掌握的專門內容.”[1]《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）中也將“會用數學的思維思考現實世界”[2]作為數學核心素養. 由此可見，數學思維作為數學教育的培養目標愈發受到關注和重視.

一題多解是指從不同角度出發對同一個問題使用兩種或兩種以上的方法進行求解. 其題目設計往往綜合度高，邏輯性強，解題思路多樣，要求學生具備一定的數學思維[3]. 下面以一道初中平面幾何題為例，挖掘一題多解的價值，以期助力學生數學思維的發展.

試題呈現

題目選自2021年貴州省畢節市中考數學卷第26題（有改編）.

例 如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為△ABC內一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接CE，BD的延長線與CE交于點F，與AC交于點G，連接AF，CD.

（1）求證：BD=CE，BD⊥CE;

（2）已知∠BDC=135°，判斷AF與CD的位置關系，并說明理由.

1. 試題分析

本題是一道經典的平面幾何題，以等腰直角三角形為基礎圖形，利用線段的旋轉進行試題延伸，主要考查圖形的旋轉、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點. 題目構思緊扣《課程標準》的評價建議，關注學生對數學概念、性質、規律的理解和應用，注重思維過程，考查邏輯推理、空間觀念等核心素養.

根據題意，不難得到△ABD≌△ACE，因此有BD=CE，∠ABD=∠ACE. 又因為∠AGB=∠FGC，依據三角形內角和為180°，有∠GAB=∠GFC=90°，從而BD⊥CE，第一小題得證. 本題主要的關注點在第二小題，要判斷AF與CD的位置關系，根據圖形可以將解題視角放在證明兩直線平行上. 已知∠BDC=135°，故∠CDF=45°. 結合∠CFD=90°，故∠DCF=45°，可知△CFD為等腰直角三角形. 要使AF∥CD，則只需證∠AFC=135°或∠AFB=45°或∠AFE=45°即可.

2. 解法展示

視角1：尋找相似三角形. 一組相似三角形中包含相等的角和對應成比例的邊，故可以從相似三角形的視角進行角的轉化. 常見的相似三角形模型有：“A字型”“8字型”“K字型”、旋轉型等.

思路1：根據第一題的求解過程，容易發現△ABG∽△FCG，屬于左右方向“8字型”相似，可以聯想到上下方向的三角形也呈“8字型”相似，即△AGF∽△BGC.

解法1：由∠ABG=∠FCG，∠AGB=∠FGC可以得到△ABG∽△FCG，從而有=;交換比例中項，得到=;又因為∠AGF=∠BGC，故有△AFG∽△BCG，從而∠AFB=∠BCG=45°，題目得證.

思路2：由已知條件容易發現，△ABC與△FDC均為等腰直角三角形，且有公共頂點C，可以將△FDC視作由△ABC繞點C經過旋轉和位似得到的相似三角形，屬于常見的“手拉手”模型. 此類圖形變換必然存在“伴隨相似（或全等）”，理清“伴隨相似（或全等）”是解題的關鍵. 在本題中，△BCD與△ACF便屬于“伴隨相似”，也可視作“旋轉型”相似.

解法2：因為∠ACB=∠FCD=45°，所以∠BCD=∠ACF. 又因為==，故有△BCD∽△ACF，所以∠AFC=∠BDC=135°，題目得證.

視角2：構造等腰直角三角形. 已知等腰直角三角形的底角為45°，要證明∠AFB=45°或∠AFE=45°，則只需證這兩個角為等腰直角三角形的底角即可.

思路3：通過觀察，不難發現點A同時是等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的頂點. 要使∠AFB=45°，則AF必然為腰，容易聯想到以A為頂點構造等腰直角三角形.

解法3：如圖2，在線段BD上取一點M，使BM=CF. 因為AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，所以△ABM≌△ACF，由全等得到AM=AF，∠BAM=∠CAF. 又因為∠BAC=∠BAM+∠MAG=90°，所以∠MAF=∠MAG+∠CAF=90°. 綜上，△AMF為等腰直角三角形，故∠AFB=45°，得證.

思路4：在思路3的基礎上可以繼續以點A為頂點構造等腰直角三角形，嘗試∠AFE為等腰直角三角形的底角.

解法4：如圖3，在射線FE上取一點N，使NE=DF. 因為∠ADB=∠AEC，所以有∠ADF=∠AEN. 又因為AD=AE，DF=NE，所以△ADF≌△AEN，由全等得到AF=AN，∠DAF=∠EAN. 因為∠DAE=∠DAF+∠FAE=90°，所以∠FAN=∠FAE+∠EAN=90°. 綜上，△ANF為等腰直角三角形，故∠AFN=45°，得證.

視角3：利用角平分線性質的逆定理.

思路5：已知∠BFE=90°，如果能夠證明AF為∠BFE的角平分線，也可證明∠AFB=45°或∠AFE=45°. 故聯想到角平分線性質的逆定理，過點A向BF，CE作垂線.

解法5：如圖4，過點A分別向BF，CE作垂線，垂足分別為P、Q，得到Rt△ABP和Rt△ACQ，有∠APB=∠AQC=90°. 又因為∠ABP=∠ACQ，AB=AC，所以△ABP≌△ACQ，故垂線段AP=AQ，則AF為∠BFE的角平分線，即∠AFB=45°，得證.

視角4：構造輔助圓. “四點共圓”是初中平面幾何常見的基本圖形，通常教師會直接給出證明“四點共圓”的結論：定弦對定角或四邊形對角互補. 在圓內，同弧所對的圓周角相等，因此通過“四點共圓”可轉化角的求解.

思路6：∠ACB與∠AFB共同對應邊AB，且∠ACB=45°，若能判斷A、B、C、F四點共圓，則可證明∠AFB=45°.

解法6：如圖5，過A、B、C、F四點畫圓，圓心為O. 由于所對的圓周角∠BAC=∠BFC=90°，所以☉O成立，且BC為該圓的直徑. 由于所對的圓周角為∠AFB和∠ACB，所以∠AFB=∠ACB=45°，得證.

視角5：根據視角2和視角4，可以先嘗試證明已有的等腰直角三角形，從而生成45°角，再構造輔助圓進行角的轉化.

思路7：由于AE由AD繞點A旋轉90°得到，容易聯想到△ADE也為等腰直角三角形. 而∠DFA與∠DEA共同對應邊AD，若能夠證明A，D，F，E四點共圓，則可證明∠AED=45°.

解法7：如圖6，連接DE，過A，D，F，E四點畫圓，圓心為O. 因為∠DAE=∠DFE=90°，所以有∠DAE+∠DFE=180°，故四邊形ADFE對角互補，☉O成立，且DE為該圓直徑. 由旋轉可知，△ADE為等腰直角三角形且∠AED=45°，所以∠AFD=∠AED=45°，得證.

思路8：在理解思路7的基礎上，可以嘗試將AG繞點A逆時針旋轉90°得到AH，從而構造等腰直接三角形生成45°角，再構造輔助圓進行角的轉化.

解法8：如圖7，在射線FE上取一點H，使得EH=DG，連接AH，CH，過A、G、F、H四點作圓，圓心為O. 因為AD=AE，∠ADG=∠AEH（等角的外角相等），DG=EH，故△ADG≌AEH，易證∠HAG=90°，所以△AGH為等腰直角三角形. 又因為∠GFH=90°，所以∠HAG+∠GFH=180°，因此☉O成立. 由同弧所對的圓周角相等，得到∠AFB=∠AHG=45°，得證.

教學導向

1. 關注數學直覺，提升思維速度

思維速度指思維的敏捷性，具備一定思維速度能縮減運算環節和推理過程，以“直接”得出結論，因此思維速度和數學直覺有較強關聯. 《課程標準》所提倡的數感、量感、幾何直觀、空間觀念等核心素養依托于數學直覺，實質上是在強調思維速度的發展. 徐利治教授曾說：“數學直覺是可以后天培養的. ”直覺的誕生具有偶然性，但這種偶然性并非無源之水. 就本題而言，數學直覺建立在長期對幾何圖形觀察和思考的基礎之上，如識別題設“8字型”相似、旋轉型相似的敏感性. 因此，要想提升思維速度就必須關注數學直覺，這一直覺來源于對圖形的全面觀察，既要重視點、線和簡單幾何圖形等元素之間的整體性、系統性關聯，又要積累豐富的讀圖經驗和完善的圖形認知結構[4].

2. 重視邏輯推理，強化思維深度

思維深度指思維的深刻性，要求對數學對象和數學對象之間的聯系建立起準確而深刻的理解. 思維深度的發展離不開邏輯推理，《課程標準》也多次提及應當形成重依據、有條理、合乎邏輯的思維品質，這與學生的運算能力、推理能力等數學核心素養息息相關. 在一題多解的探究過程中，無論采用何種數學方法或何種思考方式，其本質都是抓住題設條件特征進行合情推理和演繹推理. 因此，教師應著重設計能夠實現一題多解的問題情境，為學生進行大膽猜想、嚴謹推理提供空間，以強化其思維深度，提高其分析問題、解決問題的能力.

3. 引導發散思考，拓展思維寬度

思維寬度指思維的發散性，即從問題出發，抓住重要的細節和特殊因素，沿著不同途徑尋求答案的思考方式. 因此，發散性思維與創新意識、應用能力等有關. 尤其是在核心素養時代強調現實情境教學的背景下，解決數學問題的過程并非單一的方法路線，基于不同思路能夠得到多樣化的開放性答案. 在這一過程中，引導學生的發散性思維就需要激發其解題興趣，鼓勵其勇于探索、積極參與，而教師則需要提升專業素養，鉆研開放性的試題，既可以是條件冗余，也可以是一題多解. 教學評價不拘泥于固定的答題模板和思路，鼓勵開放性的回答和高水平的數學思維，引導學生發散思考.

參考文獻：

[1]B.A.奧加涅相. 中小學數學教學法[M]. 劉遠圖，等，譯. 北京：測繪出版社，1983.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京： 北京師范大學出版社，2022.

[3]丁淑琳，王羅那，黃韜. 基于“一題多解”的初中數學核心素養培養[J]. 湖州師范學院學報，2021，43（8）：112-116.

[4]蘇立云. 論小學數學直覺思維及其培養[J]. 當代教育理論與實踐，2009，1（3）：141-144.