以題理

[摘 要] 為探討“大概念”在初中數學解題教學中的應用，深化對學科核心概念和原理的理解，引導學生發展系統化和高階的思維模式. 文章首先定義了“大概念”并強調其在教學中的重要性，接著討論了以大概念為核心的解題教學目標，包括促進深層次知識掌握、跨學科知識遷移與創新思維的培養. 隨后，文章通過具體數學問題示例，展示了如何在教學設計中整合和應用大概念，如通過構建解題平臺、追求問題本質、反思解題過程以及多層次概念追問等方式，來提升學生的解題素養和綜合素質.

[關鍵詞] 大概念;初中數學;解題教學

引言

在當前的教育實踐中，如何有效地提升學生的數學解題能力、創新思維與綜合素質成為一項迫切的任務. 針對這一需求，本文引入了“大概念”教學策略，旨在通過探索和強調數學學科的核心理念，以及這些理念之間的內在邏輯聯系，來引導學生建立更為系統化和高階的思維模式. 通過對“大概念”教學策略的深入分析與實踐探索，旨在為初中數學教學提供新的視角和方法，以促進學生在解決復雜數學問題時的能力提升.

“大概念”的定義

“大概念”為外來詞語的翻譯，其英文對應為“big idea”. 這一表達從本質上區分了廣泛與狹窄的學術焦點，強調了對學科核心理念的深入探討，同時暗示了一個較高的認知層次和對學科內部邏輯結構的概括能力. “大概念”因此指向那些構筑學科理論框架、揭示學科核心屬性的思想體系，其功能在于指導學科知識體系的組織，本質上側重于不同概念間的內在邏輯關聯. 筆者認為，“大概念”就像是一張學科的地圖，可以幫助我們看到各個知識點之間的路徑和聯系，而不是零散地只看到某個點. 在實踐教學策略時，依據“大概念”能夠打破傳統的課堂教學模式，從整體上審視學科，通過揭示知識點之間的邏輯聯系來明確教學的重點. 這種策略鼓勵我們從更高的視角，更深的層次，去理解和掌握學科知識，而不是停留在記住公式和定理的表層次[1].

“大概念”解題教學的目標

“大概念”解題教學，旨在通過對學科核心概念和原理的深入理解與運用，引導學生建立系統化、高階的思維模式，從而在解決復雜問題時能夠跳出具體情境的局限，實現跨學科的知識遷移與創新思維的培養. 該教學的核心目標，在于促進學生對學科知識的深層次掌握，而非僅僅停留在記憶和應用層面[2]. 在這一教學過程中，教師不再是單純的知識傳遞者，而是扮演著引導者和促進者的角色，通過問題導向的學習方法，激發學生的探究欲望，引導學生自主發現問題、分析問題并解決問題.

“大概念”解題教學的思考

（一）抓主線，優化教材，構建大概念解題平臺

在當前教育實踐中，構建以“大概念”為核心的解題平臺顯得尤為重要. 此過程涉及對教材內容的深度優化，旨在提煉和強調跨學科的核心概念和原理，進而促進學生在解決問題時的邏輯思維和創新能力. 在此框架下，教師需抓住教學的主線，通過精心設計的教學活動，引導學生從具體知識點抽象出廣泛適用的概念. 此外，通過跨學科的整合和案例的引入，可以將抽象的概念具體化，增強學生的學習興趣和實際應用能力. 構建的大概念解題平臺應成為學生理解復雜問題、培養解決問題能力的有效工具，為學生提供一個系統性思考和綜合性分析問題的思維訓練場[3].

（二）尋本質，回顧反思，提升學生解題素養

在“大概念”解題教學中，尋找問題的本質成為提升學生解題素養的關鍵一步. 通過深入分析和探討問題的根本原因，學生可以從本質上理解問題，從而更加高效和準確地找到解決問題的方法. 這一過程要求學生具備批判性思維和邏輯推理能力，能夠在眾多信息中篩選出關鍵因素，進行有效的邏輯構建和假設驗證.

此外，回顧反思是提升解題素養的另一重要環節. 通過對解題過程的反思，學生能夠識別在解題過程中的不足和錯誤，系統地總結解題策略和思維方法，為未來遇到類似問題提供參考. 這一過程不僅加深了學生對知識的理解和掌握，也培養了學生的自我反思能力和終身學習能力. 因此，教育者應設計富有挑戰性的問題和情景，引導學生在解題過程中不斷地探索、嘗試和反思，通過實踐活動和交流討論等形式，促進學生深層次的認知發展和解題技能的提升，從而在“大概念”教學的指導下，全面提高學生的綜合素質.

“大概念”解題教學的設計思路

（一）回歸概念的本質特征，設計多個層次的概念追問

為了促進學生對三角形相似定理的深入理解，教師可策劃一系列題組，通過全面回顧三角形相似的條件及其屬性，重溫其核心特征，進而提出多層次的概念性追問. 如問題1所示：

問題1：如圖1所示，正方形ABCD內，E為AD中點，F位于CD上，滿足CF與FD之比為3 ∶ 1. 問：三角形ABE與三角形DEF是否相似？何以見得？

參考答案：應用“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”原理，可得三角形ABE與三角形DEF相似的結論.

追問1：如圖2所示，在正方形ABCD中，E位于AD中點，F位于CD上，滿足CF與FD之比為3 ∶ 1，且BF被連接. 請問圖中存在哪些相似三角形？請標明，并解釋其相似的原因.

參考答案：通過“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”原理可以證明三角形ABE與三角形DEF相似. 進一步，依據“三邊成比例的兩個三角形相似”原理，可以證明三角形ABE與三角形EBF相似. 借助相似性的傳遞性質，可以推斷出三角形DEF與三角形EBF也相似.

追問2：如圖3所示，在矩形ABCD內，AB=m（m>1），BC=4，定點F位于DC邊上，滿足DF=1. 當m設為3時，若在AD上找到一點E，使得三角形ABE與三角形DEF相似，計算AE的長度.

參考答案：當∠ABE與∠DEF相等時，為滿足三角形ABE與三角形DEF的相似條件，需要求解出AE的值為1或3.

設計意圖 問題1作為教科書中的示例，清晰展現了位置和大小關系，通過強調“兩邊成比例，夾角相等則兩三角形相似”的準則解決問題. 追問1在此基礎上增加了線段，通過豐富圖形的關系并直觀地指導學生理解新的幾何關系，例如通過特殊的90°角引入，促使學生通過直角的性質推導出新的相似三角形. 此時，學生可以繼續應用“兩邊成比例，夾角相等則兩三角形相似”的原理，或者轉而利用“三邊成比例則兩三角形相似”的原理來識別相似三角形. 追問2則通過改變正方形邊長的等長性質，保留線段垂直的條件，依然通過相似性質來推導線段的比例關系，并通過方程式解決問題. 由此可見，在“大概念”教學策略下，通過分層次地提出問題，可以有效地引導學生深入理解概念的本質，從而構建起更為堅實的知識結構.

（二）立足教材的原始概念，擴寬學生解題思路

在數學解題過程中，立足教材的原始概念，擴寬學生解題思路. 一般來說，學生可采取三種不同的推理方法以提升解題效率. 首先是正向邏輯推理，即利用題目所給的已知信息通過邏輯推理找到答案. 其次，逆向推理方法，這種方式從預期的結果出發，追溯回必須滿足的條件. 最后，綜合推理策略，要求學生在已知條件和預期結果之間建立橋梁，通過發現連接兩者的中間環節，以此來解決問題[4]. 如問題2所示：

問題2：如圖4所示，在給定線段AB中，點C是AB的中點，點D位于線段BC上，且AD和BD的長度分別為6和4，求CD的長度.

在解題過程中，教師可以引導學生利用“三種推理方法”進行深入分析. 首先，從已知條件推導出未知情況的方法，也稱為合成法，通過使用線段AD和DB的長度作為起點，計算出AB的總長，進而利用中點的性質確定AC的長度，最終通過AD的長度來找出CD的長度;其次，從結論出發逆向推導至已知條件的方法，即分析法，在審視題目給定條件的基礎上，可以觀察到要求解CD，需要先得到AD-AC或CB-DB的值，而計算AC和BC的長度又需先知AB的長度，而AB的長度是AD與DB之和，這一點是題目中的已知信息;第三種方法是從已知條件和結論兩個方向同時進行分析，根據線段AD和DB的長度，可以推出AB的總長，結合中點的性質得到AC，BC的長度，為了求出線段CD的長度，需要計算AD-AC或BC-DB，這些條件在分析過程中均已得出，說明三種思路都能有效解決這個問題.

在學生熟悉了如何運用這三種不同的思維途徑來推導出題目要求的條件后，教師可以通過提供變式題目，進一步培養學生運用“大概念”來分析和解決問題的習慣.

追問1：在給定的AB線段圖中，C點是中點，D點位于BC線段上，已知AD=6，CD=1，求BD線段的長度.

追問2：在相同的AB線段圖示中，C點為中點，D點仍位于BC線段上，已知BD=4，CD=1，求AD線段的長度.

設計意圖 本設計旨在通過變式問題的引入，進一步發展學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，使其對互逆命題等數學概念有更深刻的理解. 變式問題的設計不僅巧妙地利用了學生已知的信息點，還設置了需要逆向操作或綜合思考的情景，有助于學生在實際問題解決中實現知識與技能的遷移和綜合運用.

（三）抓住概念考查的主線，打通概念之間的壁壘

在解題教學中，迅速凸顯“大概念”教學的層次，可遵循以下步驟：首先，界定大概念層次，即圖形間的相互關系;其次，識別大概念層次，如三角形的相似性質及其判定方法;接著，拆解概念間的關聯，包括數量關系與位置關系;最后，對概念關系進行重構，涉及數量和位置的相互作用. 如問題3所示：

問題3：如圖5所示，在一邊長為4的正方形ABCD中，E點位于AD邊的中點，F點位于CD邊上，滿足CF與FD之比為3 ∶ 1，連接BF. 如果圓O為△ABE的外接圓，求解圓O的半徑大小.

參考答案：通過應用“勾股定理”，可以計算得出.

追問1：如圖6所示，在邊長為4的正方形ABCD中，設點E為邊AD的中點，點F位于邊CD上，滿足條件CF = 3FD. 連接BF. 若圓O為三角形BEF的外接圓，求圓O的半徑.

參考答案：應用勾股定理，可推導出BF的長度為5.

追問2：如圖7所示，在正方形ABCD中，點G位于邊BC上，圓O為三角形ABG的外接圓，該圓與邊AD相交于點E. 點F位于邊CD上，且∠DFE與∠AGB相等. 需證明：（1）EF為圓O的切線;（2）若AB的長度為4單位，DF的長度為1單位，則求半徑OA的長度.

參考答案：（1）通過連接BE，根據正方形的性質推出AE與BG平行. 依據平行線的性質，可以得出∠AGB等于∠GAE，從而證明OE垂直于EF，說明EF是圓O的切線. （2）通過連接EG，證明三角形EDF與三角形BAE相似. 根據相似三角形的性質，可以計算得出BG的長度為2. 最后，應用勾股定理求得半徑OA的長度.

設計意圖 本設計要點在于明確和界定復雜幾何形態中的基礎與高級概念，如從簡單的線段比例到復雜的圓的性質及其交互作用策略. 通過具體問題設置，引導學習者從識別基礎圖形（如正方形、三角形）開始，逐漸深入到較為復雜的幾何關系（如圓的外接性質、切線特征）.

結語

綜上所述，“大概念”在初中數學解題教學中的應用不僅有助于學生對學科核心概念和原理的深入理解，而且促進了高階思維技能的發展和跨學科知識的遷移能力. 通過抓住概念的本質，優化教材內容，以及設計富有挑戰性的問題和反思活動，教師可以有效地引導學生探索數學的世界，培養其解決問題的能力和終身學習的能力. 因此，“大概念”教學策略的實施，對于提升學生的數學素養、創新思維和綜合素質具有重要意義.

參考文獻：

[1]左朋法. 初中數學解題教學中“圓”的解題解析[J]. 數理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[2]胡敬婷. 例談“設而不求”技巧在初中數學解題中的應用[J]. 新課程導學，2022（9）：60-62.

[3]徐曉麗. 數形結合 并蒂花開——數形結合思想在初中數學教學中的運用探討[J]. 中學課程輔導，2022（14）：33-35.

[4]束曉松. 初中數學解題教學中逆向思維的運用[J]. 數理天地（初中版），2023（9）：52-55.