初中數學建模教學方法的策略研究

[摘 要] 開展數學建模教學在激發學生濃厚的數學學習興趣，培養學生分析問題和解決問題的能力，提高學生的應用意識和創新意識等方面發揮著重要的作用. 在初中數學教學中，教師要不斷強化自身的模型觀念，創造機會讓學生親歷數學建模的全過程，由此逐步培養學生的數學建模能力，提高學生的綜合能力和綜合素養.

[關鍵詞] 數學建模教學;綜合能力;綜合素養

數學建模是數學核心素養的主要內容之一，也是培養學生應用數學的有效途徑和重要手段之一，還是學生體會和理解數學與觀察世界的基本途徑[1]. 在初中數學教學中，教師應重視引導學生經歷數學模型抽象、應用等過程，讓學生在學數學、做數學、用數學的過程中獲得可以持續學習的能力和素養，培養其應用數學的能力和創新意識. 在實際教學中，教師要提高自身的建模意識，留出一定的時間和空間引導學生經歷數學模型抽象的過程，以此逐步提高學生的數學建模能力. 當然，模型觀念的培養是一個長期的過程，因此教師要把培養學生的模型觀念貫穿教學的始終，讓學生經歷“實際問題—數學問題—數學模型—數學結論—解決問題”等過程，使學生充分感知數學模型在解決實際問題中的價值，以此建立模型觀念.

強化建模意識，樹立建模信心

模型觀念的建立不是一蹴而就的，它是一個長期的過程. 在日常教學中，教師應尊重學生的認知發展規律，從一些比較容易尋找模型的題目入手，讓學生充分感知數學建模的優越性，并獲得數學建模的成功體驗，以此逐步提升數學建模意識. 教學中，教師應立足教材，將數學建模教學與現行教材結合起來進行研究，并將培養數學建模意識貫穿數學教學的始終，讓學生學會用數學的眼光看待現實生活中的問題，并能靈活應用數學知識解決現實生活中的問題，以此提高學生的數學應用意識.

例1 為了做好后期的道橋養護工作，某路段在一定時間內需要向過往車輛征收一定費用，收費標準如下：7座及以下（含7座）的小型客車每輛次收費5元，7座以上的載客汽車及各類貨車和客貨兩用車每輛次收費10元. 已知某日通過的汽車總數為3000輛次.

（1）設該日小型客車通行的輛次為x，總的通行費為y元，試寫出y關于x的函數關系式;

（2）通行車輛中，若大型車輛的數量介于20%至40%之間，試求一天收費總數的范圍.

解：（1）根據已知條件可知，大型車輛為（3000-x）輛次，所以y=5x+10（3000-x），即y=30000-5x（0≤x≤3000）;

（2）根據已知可得大型車輛的數量為600輛到1200輛，所以1800≤x≤2400，于是可得18000≤y≤21000.

無論是在教材中，還是在考試中，學生經常會遇到此類數學應用問題，這些應用問題往往以數學建模為中心，注重考查學生的數學應用能力. 因此在實際教學中，教師要從學生已有的知識經驗出發，逐步地滲透數學建模思想，讓學生結合實際問題建構合適的數學模型，以此提高學生的解題能力，發展學生的數學素養.

關注主體價值，培養模型意識

數學教學的主體是學生，教學中教師要充分發揮學生的主體價值，鼓勵學生主動參與數學建模的過程，以此讓學生通過親身經歷提高數學建模能力，促進學生思維生長[2]. 不過在日常教學中，部分教師為了完成教學計劃，常常先直接將數學模型或建9e89e90a8417d590e63e1079e074a55e模方法告知學生，然后讓學生套用，這樣忽視學生思考過程的教學將影響學生模型觀念的發展. 因此在數學建模教學中，教師應該創造機會讓學生去發現、去探索、去提煉、去應用，以此讓學生學到有用的數學.

例2 如圖1，小明和小剛同時從學校出發騎行到圖書館，小明以150米/分的速度騎行了一段后，休息了5分鐘，然后以m米/分的速度繼續行駛，小剛全程勻速行駛，請結合圖象回答如下問題：

（1）請分別求出a，b，m的值;

（2）若小剛的速度為120米/分，試求小明和小剛第二次相遇時距離終點的距離;

（3）在（2）的條件下，小明第二次出發，何時兩人相距100米？

題目給出后，教師先預留一定的時間讓學生獨立思考，然后通過互動交流的方式與學生共同經歷數學模型的抽象、應用等過程. 教學片段如下：

師：圖2是小明行駛的路程y（米）與時間x（分鐘）的變化關系，從中你能獲得哪些信息？

生1：根據圖象可知小明前半程的速度為150米/分，后半程的速度為200米/分.

生2：根據速度、時間、路程的數量關系，可以寫出相應的函數解析式，如OA這一段的解析式為y=150x（0≤x≤10）.

生3：結合函數圖象也可以得到函數解析式，設正比例函數y=kx，且函數過點（10，1500），利用待定系數法也可以求得函數解析式為y=150x.

師：很好，兩位同學分別從數和形兩個角度得到了線段OA的解析式，利用以上方法，你能求出線段BC的解析式嗎？

教師預留時間讓學生分別用不同的方法求線段BC的解析式，很快學生就有了答案.

生4：我是用兩種方法求的，不過得到的最終結果卻不一樣，搞不懂問題出在了哪里. （許多學生點頭，表示和生4遇到了同樣的問題）

師：請先分別說說你的求解過程.

生4：從數的角度，利用速度、時間、路程的數量關系得y=200x（15≤x≤22.5）;從形的角度，設函數解析式為y=kx+b，函數圖象過（15，1500）和（22.5，3000）兩點，利用待定系數法可求得函數解析式為y=200x-1500.

師：問題到底出在了哪里呢？為什么利用兩種方法得到的答案會有所不同呢？你認為哪個結果才是正確的？

教師預留時間讓學生思考、交流.

生5：y=200x（15≤x≤22.5）是不對的，結合圖2可以看出，該函數不過坐標原點，所以它不是正比例函數.

生6：也可以利用特殊點進行驗證，點（15，1500）顯然不在函數y=200x的圖象上，所以y=200x不對，不過我不知道如何解釋不對的原因.

師：具體應該如何解釋呢？如果將以上函數圖象轉換為線段示意圖，你有什么發現呢？

在教師的啟發和指導下，學生重新繪制線段示意圖，教師展示學生操作結果（如圖3）. 結合圖3，學生得到如下關系式：y=1500+200（x-15）=200x-1500. 這樣結合線段示意圖，學生恍然大悟，只有在BC段的速度才是200米/分，其所對應的時間為（x-15）分.

這樣通過互動交流，不僅找到了問題的癥結，而且可以規范分段函數解析式的標準書寫格式，讓學生充分感知數學的嚴謹性，提高學生的數學抽象和數學建模素養.

師：剛剛我們分析了小明的騎行路徑，得到了相應的函數解析式，現在分析小剛的騎行路徑，看看你又有什么發現.

在解決這一問題的過程中，教師先讓學生在圖2的基礎上畫出小剛的騎行路徑（如圖4），以此通過動手操作，讓學生進一步感知其中蘊含的數量關系，提煉相應的數學模型，從而為后續問題的解決奠定基礎.

生7：若小剛的騎行速度為120米/分，則可以求出線段OD解析式為y=120x（0≤x≤25）.

生8：不妨令兩次相遇時的交點分別為E，F，根據已知易求得兩交點的坐標，它們分別為E（12.5，1500）和F（18.75，2250）.

師：現在回到原題中的問題（2）和問題（3），結合圖形，說說你的結論.

生9：對于第2個問題，兩人第二次相遇在點F處，此時距圖書館的距離就是3000-y=3000-2250=750米.

師：很好，問題（3）呢？

生10：結合圖象可知，從小明第二次出發到小明到圖書館前，兩人相距100米會有兩種情形，第一種情形是小剛在小明前面100米，第二種情形是小明在小剛前面100米. 也就是說，兩者之間的距離之差為100米.

師：很好，具體該如何表達呢？

生11：第一種情形可以表示為y-y=100，即120x-（200x-1500）=100，解得x=17.5;第二種情形可以表示為y-y=100，即（200x-1500）-120x=100，解得x=20.

生12：也可以合并起來寫，即

y

-y=100.

師：是否存在第三種情況呢？

在教師的追問下，學生繼續思考，發現當小明到達時，小剛到達前，還存在兩者的距離是100米的情形，即3000-120x=100，解得x=24.

在以上過程中，教師引導學生將實際問題抽象成數學模型，并應用數學模型解決相關的問題，讓學生充分感知一次函數模型在解決實際問題中的優越性，不斷強化學生的模型觀念，提高學生分析和解決問題的能力. 另外，教師提供機會讓學生主動交流、主動建構，充分調動了學生參與課堂的積極性和主動性，促進了學生思維能力的發展.

在日常教學中，教師應重視數學模型思想的滲透，使學生逐漸由“知識型”向“能力型”轉化，讓學生學會用數學知識分析和解決問題，不斷發展和完善學生的數學素養，讓學生學會靈活地應用相應的模型解決問題，促進學生多方面素質的提升.

經歷建模過程，掌握建模方法

數學建模既是一種數學思想方法，也是學生解決實際問題的重要工具. 數學建模的目的不僅僅是解決幾個簡單數學問題或者獲得幾個數學結論，更重要的是通過經歷數學建模的過程，促進知識的內化和思維的升華. 在實際教學中，教師應重視引導學生經歷數學建模的過程，由此通過親身經歷逐漸掌握數學建模的方法，提升學生的數學建模素養，實現數學知識的融會貫通.

例3 如圖5，直線l表示一條小河，一個少年騎馬從點A出發到小河飲水，飲水后返回位于點B的家中，你能為少年規劃一條路徑，使得他所走的路程最短嗎？

在解決這一問題的過程中，教師預留時間讓學生思考、交流，引導學生經歷模型的建立、詮釋、拓展、應用等過程，逐步培養學生的模型觀念.

師：你能否將以上問題進一步簡化呢？

生1：已知直線l的同側有兩個定點A，B，請在直線l上確定一點P，使得PA+PB的值最小.

師：這樣的點P在何位置呢？你能利用幾何方法加以證明嗎？

生2：如圖6，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，點P即為所求. 為了進一步驗證，不妨在直線l上任取一點P′，連接AP′，A′P′，BP′. 因為A，A′關于直線l對稱，所以AP′=A′P′，AP=A′P，于是有AP′+P′B=A′P′+P′B，AP+PB=A′P+PB=A′B. 在△A′P′B中，A′P′+P′B>A′B，由此可證得點P即為所求，此時PA+PB的值最小.

師：非常好！現在我們換個問題. 如圖7，在直線m，n的內側有兩點A，B，若分別在直線m，n上任取兩點C，D，使得AC+CD+DB的值最小，你能找到滿足條件的兩點嗎？

師：求滿足條件的一個點現在變為了兩個點，我們該如何尋找呢？

問題給出后，學生積極思考，主動操作，很快就有了答案.

生3：作點A關于直線m的對稱點A′，作點B關于直線n的對稱點B′，連接A′B′，A′B′與直線m，n的交點即為所求.

師：如果在圖5的基礎上變一變，將直線同側的兩個定點A，B改為直線異側的兩個定點，且兩個定點到直線l的距離不相等，如何在直線l上求一點P，使PA-PB的值最大呢？

教師話音剛落，學生就已經開始積極操作了.

生4：作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，并延長AB′使之與直線l交于點P，此時PA-PB的值最大.

答案給出后，教師預留時間讓學生進一步驗證，從而加深學生對相關知識、方法的理解. 在此基礎上，教師又給出一些相關的題目進行強化練習，以此加深學生對“將軍飲馬”這一重要數學模型的理解，讓學生在變化的圖形中感受不變的原理，提高舉一反三的能力.

此模型為著名的“將軍飲馬”問題，其主要研究兩條不在同一直線上的線段和的最小值問題. 在研究這一問題時，主要就是通過變換將兩條不在同一條直線上的線段集中在同一條線段上，從而利用“兩點之間線段最短”這一原理來解決問題. 該模型在生產生活中有著重要的應用，因此教師應提供充足的時間讓學生經歷抽象、驗證、拓展、應用等環節，從而讓學生獲得全面且深刻的理解，使學生可以靈活應用該模型解決現實問題.

圖形是千變萬化的，方法是多種多樣的，但若能拋開這些表象的內容進行歸納總結，則不難發現許多題目都有著相似的背景和解題思想，因此教師要重視引導學生對這些相似內容進行歸納總結，以此逐步培養學生的模型觀念，進而培養學生敏銳的洞察力和想象力. 隨著模型觀念的不斷強化，學生的數學學習也變得更加簡單化、有序化，有利于他們優化知識結構和發展思維能力.

總之，在日常教學中，教師應該全方位地理解教學內容，逐步提高自身的建模意識，并做好建模教學的教學設計，始終貫徹“以師為主導、以生為主體”的教學理念，針對不同的知識點選擇不同的數學模型，充分發揮學生的主體價值，提高學生參與數學建模的積極性，逐步培養學生的模型觀念，落實學生數學核心素養的發展.

參考文獻：

[1]劉雪萍. 核心素養視角下的初中數學建模教學策略[J]. 數學教學通訊，2023（29）：76-78.

[2]蔡麗明. “數學建模”核心素養在初中數學助學案課堂中的構建[J]. 數學教學通訊，2021（14）：41-42.