追本溯

[摘 要] 針對一道錯誤命題，學生在說題中形成認知沖突，發現并提出問題.在交流探討中，學生找到錯題根源，改編問題并解決.這個學習過程能讓學生體會到數學學習的一般方法，培養學生的幾何直觀、推理能力等核心素養，提升學科能力.

[關鍵詞] 數學活動經驗;學習方法;核心素養;學科能力

為了提高學生的數學解題能力，讓學生獲取需要的解題方法與經驗，數學教師往往會花費精力選取適配的練習題進行精準教學，以期待課堂教學能事半功倍. 教師們往往害怕選到錯題，認為錯題不僅沒有探討的價值，還會浪費學生的學習精力，降低學生對教師的信任，但這只是對錯題的片面了解. 《義務教育數學課程標準（2022年版）》 提出，教師要根據不同的學習任務和學習對象，選擇合適的教學方式. 同時，教師要重視設計合理的問題，引發學生的認知沖突，從而提高學生問題提出的能力[1]. 在教學中恰當利用錯題資源，能夠引起學生認知差異，激發學生探究欲望，培養批判性思維，提升學生問題發現、提出、分析和解決的能力. 下面筆者以《角平分線模型》中考復習導學案中的一道錯題為例，引導學生通過在課堂上分享本題的解決方法與解題經驗，在交流中不斷反思、溯源，從而全面鞏固知識技能，提升數學思維與能力.

問題呈現

如圖1，在△ABC中，∠BAC=108°，AC=AB，CD平分∠ACB交AB于點D，若BD=4，BC=9，求AC的值.

課前準備

將《角平分線模型》導學案提前讓學生完成，筆者在課前進行批改，發現答案為5的約占全班學生的80%，答案為的約占10%，認為沒有答案的約占5%，不會做的約占5%. 將學生的做法進行整理歸類，筆者在課前誠邀學生作為一名“小老師”做好說題準備，為同學講解本題的思路方法與解題經驗.

說題展示

學生1的解題思路：

本題的切入條件可從角平分線出發，角平分線即對稱軸，因此可構造對稱全等，從而將邊角條件進行轉化.

解法1：

因為∠A=108°，AB=AC，所以∠B=36°. 如圖2，在BC上截取CE=AC，易證△CED≌△CAD（SAS），所以∠CED=∠A=108°. 因為∠CED是△BED的外角，易推出∠BDE=∠BED=72°，所以BE=BD=4. 由CE=BC-BE=9-4=5，所以AC=CE=5.

學生2的解題思路：

做法與解法1的本質一樣，根據角平分線的條件構造對稱全等.

解法2：

因為∠BAC=108°，AB=AC，所以∠B=36°. 如圖3，延長CA至點F使得CF=BC=9，易證△CFD≌△CBD（SAS），所以FD=BD=4，∠F=∠B=36°. 因為∠BAC是△FAD的外角，易推出∠FDA=∠FAD=72°，所以FA=FD=4. 因此AC=FC-FA=9-4=5.

學生3的解題思路：

聯想角平分線的性質定理，可過點D作到角兩邊的垂線段. 再利用等面積法可推導出未知線段與已知線段間的數量關系，進而求解.

解法3：

如圖4，過點D分別作DM⊥BC，DN⊥CA，垂足分別為M，N，所以DM=DN. 設AB=AC=x，則AD=x-4. 以AD，BD為底邊，△ACD和△BCD共高，所以=. 再以AC，BC為底邊，則=. 因為DM=DN，所以=，進而可得=，即=，解得x=AC=.

學生4的解題思路：

由角平分線與平行線結合推出等腰三角形的基本圖形，可作平行線進行邊角的轉換，形成一組相似三角形，再利用對應線段成比例進行求解.

解法4：

因為∠A=108°，AB=AC，所以∠B=∠ACB=36°. 如圖5，過點D作DG∥AC交BC于點G，所以∠DGB=∠ACB=∠B=36°，易推得DG=BD=4. 因為CD是角平分線，所以∠ACD=∠GCD. 因為DG∥AC，所以∠GDC=∠ACD. 于是有∠GDC=∠GCD，CG=DG=4，因此BG=5. 根據DG∥AC，易得△BGD∽△BCA，所以=，即=，解得AC=.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2024數學教學通訊中旬（10期）＼2024數學教學通訊中旬（10期） c＼10-128.tif>[B][D][C][A][圖5][G]

學生5的解題思路：

做法與解法4類似，構造平行線形成等腰三角形加一組相似三角形，起到“一箭雙雕”的作用.

解法5：

如圖6，過點A作AH∥BC交CD的延長線于點H. 設AB=AC=x，則AD=x-4. 因為CD是角平分線，所以∠ACH=∠BCD. 因為AH∥BC，所以∠H=∠BCD. 于是有∠H=∠ACH，所以AH=AC=x. 根據AH∥BC，易得△AHD∽△BCD，所以=，即=，解得x=AH=. 所以AC=.

追本溯源

通過五位同學的解題分享，學生陷入沉思，都不由地提出疑惑：為什么方法不一樣會導致結果不相同. 多種答案的可能使學生產生了認知差異，激發了他們探索問題的欲望. 趁此機會，筆者肯定學生的提問，并繼續引導：“是的，為什么會產生多個答案呢？對于此題，大家還能提出什么問題？”憑借對解題過程的理解與反思，學生紛紛提出自己的想法，對其進行歸納后，問題可分為以下兩類：是什么原因導致一題出現多個答案？能用幾何畫板進行驗證嗎？

帶著以上困惑，筆者邀請“認為沒有答案”的學生6講解自己的理由. 學生6認為，通過題目條件“在△ABC中，∠BAC=108°，AC=AB”，可求得∠B=∠ACB=36°. 又因為BC=9，所以△ABC的角邊角確定，即形狀確定，那么角平分線所分線段BD應唯一可求，但這與題目條件“BD=4”可能存在矛盾，這或許就是導致題目出現多個答案的“罪魁禍首”. 學生6的解釋讓同學們激動不已，紛紛要求筆者用幾何畫板演示驗證一番. 幾何畫板結果如圖7所示：

如圖7，當∠BAC=108°，AC=AB，BC=9時，AB，AC的值唯一確定，約為5. 56，即△ABC形狀大小唯一確定.

=1.00

BA=5.56厘米

AC=5.56厘米][C][A][圖7]

如圖8，在∠BAC=108°，AC=AB，BC=9的基礎條件下，當CD是角平分線時，BD約為3.44，并不是題目條件所給的“BD=4”，由此確定“BD=4”是一個無用且有誤的條件.

如圖9，在∠BAC=108°，AC=AB，BC=9的基礎條件下，當BD=4時，∠ACD≠18°，所以CD不是角平分線，與題目條件相悖.

筆者對學生的積極探索精神表示肯定，引導學生對解題過程進行反思總結：在問題解決過程中不能僅關注幾何圖形的直觀性，套用模型，還應注重數學的內在辯證邏輯關系[2].

問題改編與解決

基于此問題的基本圖形和基本條件，筆者引導學生思考：“這道題能進行怎樣的改編？大家還能提出什么新的問題并解決？”

學生紛紛提出自己的想法，最后大家統一將問題改為兩個小問.

如圖10，在△ABC中，∠BAC=108°，AC=AB，BC=9.

（1）求AC的值;

（2）如圖11，當CD平分∠ACB交AB于點D時，求BD的值.

對于問題（1），頂角為108°的等腰三角形的兩底角是36°，雖然108°、36°不是常見的特殊角度，但聯想到這是一個黃金三角形，所以可以將頂角108°分割成72°和36°，從而這條分割線將黃金三角形分成了兩個小的等腰三角形. 如圖12所示，過點A作AK交BC于點K，使得∠KAC=∠KCA=36°，所以∠BAK=72°. 因為∠B=36°，所以∠BKA=72°，BK=AB=AC. 設AC=BK=x，則KC=9-x. 因為∠KAC=∠B=36°，易得△CAK∽△CBA，所以=，即=，解得x=AC=.

關于問題（2），設BD=m，則AD=-m. 由學生3的解法，得到=，所以=，解得m=BD=.

此環節的問題改編與解決，不僅能激發學生的學習動力與合作交流意識，還增強了學生發現問題、用恰當的數學語言表達問題、再遷移運用所學分析問題和解決問題的能力.

教學啟發

1. 抓住教學契機，提升學生學科能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，要注重問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發展核心素養. 雖然題目出錯源于命題人的不嚴謹，但教師可抓住此教學契機，巧設教學活動，利用錯題引起學生的認知沖突，進而產生疑問，激發探究欲望，讓學生在發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中感受學習數學的方法，養成用數學的思維思考問題的習慣. 同時，在解決問題環節，學生需要從多個角度綜合多個知識點論證自己的觀點，由此提高了學生幾何直觀、推理意識與推理能力，培養了學生的核心素養.

2. 開展交流合作，積累基本活動經驗

心理學研究表明，同伴群體是影響中學生成長的重要因素. 課堂中，相比教師的“滿堂灌”，學生更愿意傾聽同齡人的想法. 俗話說：“他山之石，可以攻玉”，在課堂上設置學生解題經驗分享環節，能讓聆聽的學生學習好的方法思路與解題經驗，了解自己的問題所在，取長補短. 同時，分享的學生要將題目說好講好，讓同伴接受，就需要提前做好解題分析的準備（同學的思維障礙是什么，怎么解決這個困惑，解題方法有多少種，怎樣用恰當的數學語言分析題目……），這個準備過程不僅能強化他們用數學的思維和語言思考問題、表達問題的能力，還能讓他們在展示的過程中樹立學科自信，激發學習的欲望，讓學生真正成為學習的主體.

3. 注重信息技術，培養自主學習能力

由于思維發展的限制，初中生的數學學習多從特殊到一般、從直觀猜想到歸納推理. 在課堂上，教師可以多利用專業的數學軟件探討上課的內容，幫助學生經歷猜想、驗證、歸納、總結的學習過程，感悟數學學習的一般方法，積累數學學習的活動經驗. 例如本節課利用幾何畫板對矛盾條件進行分類展示，讓學生直觀感受幾何圖形，知道自己的猜想是對的，是有依據保證的，從而激發學生繼續探究的興趣，提出新的問題.

21世紀是終生學習的時代，學會自主學習是時代發展的需要. “授人以魚不如授人以漁”，教師在利用信息技術的過程中，展示著科技技術的優勢，這能讓學生感受到技術的魅力，從而發現信息技術對學習的有效幫助，刺激他們學習技術的欲望，進而為自主學習提供技術工具的支持，提升自主學習能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]劉建廣. 挖掘錯題價值，培育質疑能力[J]. 中學數學教學參考，2023（17）：40-42.