“勾股定理”復(fù)習(xí)課教學(xué)探究

[摘 要] “勾股定理”的復(fù)習(xí)課教學(xué)需要學(xué)生對(duì)核心知識(shí)進(jìn)行整合，總結(jié)定理和應(yīng)用方法，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng). 實(shí)際教學(xué)中可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：深度解讀，定理強(qiáng)化;實(shí)際應(yīng)用，方法總結(jié);折疊分析，方法探究. 通過(guò)這三個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生掌握“勾股定理”及“勾股定理的逆定理”.

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí)課;勾股定理;教學(xué)探究

知識(shí)定位

“勾股定理”是初中數(shù)學(xué)較為經(jīng)典的幾何定理，關(guān)于“勾股定理”章節(jié)知識(shí)的復(fù)習(xí)，需要梳理整合核心知識(shí)，結(jié)合中考考點(diǎn)明確復(fù)習(xí)要點(diǎn). 復(fù)習(xí)教學(xué)需要圍繞知識(shí)核心來(lái)設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生完成知識(shí)強(qiáng)化和方法總結(jié). “勾股定理”的復(fù)習(xí)核心包括定理及其逆定理、解決實(shí)際問(wèn)題以及折疊類(lèi)問(wèn)題的構(gòu)建方法等. 復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以分三個(gè)環(huán)節(jié)開(kāi)展強(qiáng)化指導(dǎo).

教學(xué)設(shè)計(jì)

“勾股定理”的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，任務(wù)核心有兩個(gè)：一是強(qiáng)化知識(shí)方法，指導(dǎo)解題應(yīng)用;二是知識(shí)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)造和轉(zhuǎn)化思想等，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升.

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）——深度解讀，定理強(qiáng)化

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中呈現(xiàn)圖1，展示勾股定理與其逆定理的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩大視角進(jìn)行解讀.

勾股定理的構(gòu)建需要借助直角三角形，教學(xué)中給定直角三角形，設(shè)定三邊長(zhǎng)，從文字語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言兩大方面進(jìn)行解讀.

文字語(yǔ)言：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

幾何語(yǔ)言：a2+b2=c2.

該環(huán)節(jié)中需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)：一是勾股定理與其逆定理的關(guān)系，以及構(gòu)建關(guān)系;二是關(guān)注勾股定理的變形式. 教學(xué)中教師可以設(shè)置如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：勾股定理與其逆定理有何轉(zhuǎn)化關(guān)系？是從何視角來(lái)對(duì)直角三角形進(jìn)行刻畫(huà)的？

問(wèn)題2：勾股定理有哪幾種變形式？請(qǐng)分別列出.

問(wèn)題3：結(jié)合直角三角形，如何列出“勾”“股”“弦”？

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖1來(lái)描述勾股定理與其逆定理的關(guān)系，并結(jié)合幾何模型來(lái)解讀定理內(nèi)容，讓學(xué)生明晰“形”視角下的定理及“數(shù)”視角下的逆定理，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合定理來(lái)變形定理公式.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）——實(shí)際應(yīng)用，方法總結(jié)

1. 方法總結(jié)

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中呈現(xiàn)圖2，指導(dǎo)學(xué)生掌握利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的方法思路，形成圖中所示的閉環(huán)思維模式.

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)：一是實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的區(qū)別和聯(lián)系;二是如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題. 可設(shè)置如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：如何利用勾股定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題？

問(wèn)題2：建立幾何模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，如何設(shè)定數(shù)學(xué)變量？

問(wèn)題3：利用勾股定理求解實(shí)際問(wèn)題需要分幾步進(jìn)行？

方法梳理：教學(xué)中結(jié)合圖2引導(dǎo)學(xué)生生成解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，分四步構(gòu)建思路.

第一步，讀懂題意，分析已知與未知間的關(guān)系;

第二步，構(gòu)造直角三角形;

第三步，利用勾股定理等列方程;

第四步，解決實(shí)際問(wèn)題.

2. 應(yīng)用探究

該環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生利用上述總結(jié)的方法思路來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，重點(diǎn)講解分步構(gòu)建的過(guò)程和技巧. 講解過(guò)程精選問(wèn)題，結(jié)合實(shí)例應(yīng)用強(qiáng)化.

例1：如圖3-（a）所示，有兩棵樹(shù)，一棵樹(shù)高AC是10米，另一棵樹(shù)高BD是4米，兩樹(shù)相距8米（即CD=8米），一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢A點(diǎn)處飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢B點(diǎn)處，則小鳥(niǎo)至少要飛行多少米？

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生讀題審題，充分利用總結(jié)的分步策略來(lái)構(gòu)建思路，形成如下解析步驟.

第一步，讀題審題，整合條件，求小鳥(niǎo)至少飛行多少米，即求AB的長(zhǎng). 已知AC=10，CD=8，BD=4.

第二步，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立幾何圖形，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，則四邊形EBDC是長(zhǎng)方形，連接AB，如圖3-（b）所示，完成幾何模型的建立.

第三步，利用勾股定理列方程，分析可知EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），所以AE=AC-EC=10-4=6（米）. 在Rt△AEB中，由勾股定理可得AB==10（米）.

第四步，解決實(shí)際問(wèn)題，AB的長(zhǎng)度就是小鳥(niǎo)飛行的距離，即小鳥(niǎo)至少要飛行10米.

教學(xué)建議：教學(xué)中嚴(yán)格按照總結(jié)的思路方法來(lái)講解，即“轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題→構(gòu)造直角三角形→結(jié)合勾股定理求解→解決實(shí)際問(wèn)題”. 整個(gè)過(guò)程合理滲透化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合思想方法來(lái)逐步構(gòu)建解析.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）——折疊分析，方法探究

勾股定理廣泛應(yīng)用于幾何折疊問(wèn)題中，探究解析的難點(diǎn)為線段長(zhǎng)的表示，需要借助勾股定理構(gòu)建方程. 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生掌握方法技巧，形成相應(yīng)的解題策略. 筆者建議結(jié)合具體的圖形，以實(shí)際問(wèn)題為例開(kāi)展策略講解.

1. 方法探究

教學(xué)預(yù)設(shè)：如圖4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，BE=4，點(diǎn)D在線段BC上，將△ADC沿著AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在AB上的點(diǎn)E處.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖中的問(wèn)題，探索CD長(zhǎng)的求解思路. 指導(dǎo)學(xué)生注意兩點(diǎn)：一是如何推導(dǎo)線段長(zhǎng)，二是如何利用勾股定理求解線段長(zhǎng). 可設(shè)置如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：△BDE有何性質(zhì)？請(qǐng)根據(jù)折疊特性推導(dǎo).

問(wèn)題2：求線段CD的長(zhǎng)，將其設(shè)為x，則BD和DE如何表示？

問(wèn)題3：如何構(gòu)建直角三角形，怎樣求出未知量x？

基于上述分析，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)折疊問(wèn)題中結(jié)合勾股定理求解線段長(zhǎng)的方法，形成如下四步策略：

第一步，設(shè)定未知數(shù)，設(shè)一條未知線段的長(zhǎng)為x;

第二步，表示線段長(zhǎng)，用已知線段或含x的代數(shù)式表示出其他線段長(zhǎng);

第三步，構(gòu)建方程，在一個(gè)直角三角形中應(yīng)用勾股定理列出一個(gè)關(guān)于x的方程;

第四步，解方程，從而求出所求線段長(zhǎng).

2. 應(yīng)用強(qiáng)化

該環(huán)節(jié)同樣需要精選問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化應(yīng)用，整個(gè)過(guò)程注意關(guān)鍵點(diǎn)分析，講解分步構(gòu)建方法.

例2：如圖5，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在AD邊的中點(diǎn)C′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，其中AB=9，BC=6，求FC′的長(zhǎng).

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生分析其中的折疊過(guò)程，根據(jù)折疊特性來(lái)提取其中的條件，再結(jié)合上述總結(jié)的方法求解.

第一步，理解題意，整合條件.

分析可得AB=CD=9，BC=AD=6，由折疊特性可得FC=FC′. 點(diǎn)C′為AD邊的中點(diǎn)，則C′D=3.

第二步，設(shè)定未知量，表示線段.

設(shè)定FC′=x，則FC=x，DF=9-x.

第三步，勾股定理，構(gòu)建方程.

在Rt△C′DF中，由勾股定理可得C′D2+DF 2=FC′2，代入線段長(zhǎng)，有32+（9-x）2=x2.

第四步，解方程求解.

可解得x=5，即FC′=5.

教學(xué)建議：教師指導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理解決折疊問(wèn)題時(shí)，建議按照“折疊過(guò)程分析→特性提取→模型提取→定理利用”的思路流程來(lái)操作.

寫(xiě)在最后

“勾股定理”的復(fù)習(xí)課教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)放在基礎(chǔ)知識(shí)的構(gòu)建上，而應(yīng)注重知識(shí)的整合拓展，圍繞知識(shí)難點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)化講解，引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)，總結(jié)解題方法，提升綜合素養(yǎng). 教學(xué)中建議采用強(qiáng)化探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，揭示知識(shí)本質(zhì)，掌握探究方法.