“微專題”在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用研究

[摘 要] 近年來(lái)，“微專題”復(fù)習(xí)模式越發(fā)受到廣大教育工作者的認(rèn)可. 實(shí)踐證明，這是一種針對(duì)性強(qiáng)、切入點(diǎn)小的復(fù)習(xí)方式，對(duì)解決真問(wèn)題與實(shí)問(wèn)題具有重要意義. 研究者以“二次函數(shù)背景下定角的處理策略”的專題復(fù)習(xí)為例，分別以一次函數(shù)、二次函數(shù)與中考真題為背景實(shí)施教學(xué)，并談一談設(shè)計(jì)意圖與思考.

[關(guān)鍵詞] 微專題;復(fù)習(xí);解題

在中考的背景下，一些教師仍采用傳統(tǒng)“講練結(jié)合”的方式實(shí)施復(fù)習(xí)教學(xué)，殊不知這種側(cè)重練習(xí)與記憶的模式因?yàn)槿狈?chuàng)新性與針對(duì)性，導(dǎo)致學(xué)生在遇到新穎的試題時(shí)束手無(wú)策. 新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)依然以核心素養(yǎng)的發(fā)展作為目標(biāo)，因此教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)應(yīng)注重從多維度出發(fā)，以多種形式幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系，以有效促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 實(shí)踐證明，“微專題”復(fù)習(xí)教學(xué)可有效提高復(fù)習(xí)成效，提升學(xué)生的思維水平與解題能力.

解析“微專題”的內(nèi)涵

“微專題”既微又專，具有“見(jiàn)微知著”之功效，通俗來(lái)講就是小角色起到大作用. 從“微專題”本身來(lái)說(shuō)，不論是形式上還是內(nèi)容上都比較靈活，基于內(nèi)容的角度分析，“微專題”既是章節(jié)或單元知識(shí)的歸納，又是小知識(shí)的集成，抑或?yàn)槟撤N解題策略或規(guī)律的整理. “微專題”從“專題”衍生而來(lái)，有效彌補(bǔ)了專題“大而空”的問(wèn)題，如表1，將兩者進(jìn)行類比，可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“微專題”的優(yōu)勢(shì).

“微專題”具有“小而精”的特點(diǎn)，將“微專題”應(yīng)用在復(fù)習(xí)教學(xué)中，可帶領(lǐng)學(xué)生聚焦于某個(gè)特定的知識(shí)點(diǎn)、活動(dòng)主題或思想方法等，通過(guò)短周期的研究獲得長(zhǎng)久的收益.

“微專題”在復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）教學(xué)分析

二次函數(shù)是初中階段的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生在中考中丟分現(xiàn)象嚴(yán)重. 日常教學(xué)時(shí)，教師每次都要引導(dǎo)學(xué)生從分析問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)深入探究發(fā)現(xiàn)解題方法，事實(shí)證明這種教學(xué)方法取得的成效并不盡如人意. 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中主要存在如下幾個(gè)問(wèn)題：審題能力弱，無(wú)法挖掘出隱含條件;對(duì)于二次函數(shù)相關(guān)的基本概念、圖形及解題方法掌握不牢固，無(wú)法形成系統(tǒng)的知識(shí)體系與解題技巧等.

縱觀近年來(lái)各地的中考試題，不難發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)相關(guān)的綜合題出現(xiàn)頻率較高，且常與幾何圖形或一次函數(shù)等相結(jié)合，有時(shí)加以平移、翻折與轉(zhuǎn)化等，讓學(xué)生感到困難重重. 從二次函數(shù)本身來(lái)說(shuō)，其考查的內(nèi)容也異常豐富，有面積問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、四邊形存在性問(wèn)題、特殊三角形問(wèn)題、線段和差最值、定邊定角、定值等問(wèn)題.

由此可見(jiàn)，二次函數(shù)相關(guān)的綜合性試題靈活多變，這也給復(fù)習(xí)教學(xué)帶來(lái)了挑戰(zhàn). 若實(shí)施大專題復(fù)習(xí)，會(huì)因?yàn)檫^(guò)于籠統(tǒng)導(dǎo)致教學(xué)缺乏針對(duì)性，“微專題”的應(yīng)用則能起到逐個(gè)突破的作用，幫助學(xué)生更好地理清解題策略與方法，讓學(xué)生從真正意義上獲得舉一反三的解題能力.

（二）教學(xué)簡(jiǎn)錄

活動(dòng)1 以一次函數(shù)作為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題

例1 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)y=2x-1的圖象和x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，若將直線AB圍繞點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，則與x軸相交于點(diǎn)C，那么直線BC的函數(shù)表達(dá)式是什么？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系而言，一次函數(shù)屬于相對(duì)簡(jiǎn)單的內(nèi)容，以此作為背景能讓各個(gè)認(rèn)知水平層次的學(xué)生都將注意力轉(zhuǎn)移到課堂中來(lái)，低起點(diǎn)的問(wèn)題能有效激發(fā)學(xué)生參與的積極性. 為了啟發(fā)學(xué)生的思維，教師可帶領(lǐng)學(xué)生一起提煉45°定角的一般解題步驟：首先從圖中找出定角∠ABC=45°與定邊BA;其次過(guò)定點(diǎn)作垂線，建立“一線三直角”的模型;最后借助全等或相似三角形、勾股定理或三角函數(shù)等進(jìn)行求解.

解析 由題意可知點(diǎn)A

，0，B（0，-1），因此OA=，OB=1.

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB交BC于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E，那么就有AB=AF. 從“一線三直角”的全等模型出發(fā)，可知AE=BO=1，EF=AO=，那么點(diǎn)F

，

-. 借助待定系數(shù)法，不難獲得y=x-1為直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

變式 如圖3，若將直線AB繞著點(diǎn)B進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與x軸相交于點(diǎn)C，令tan∠ABC=，在其他條件不發(fā)生改變的情況下，寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖 將45°的特殊角轉(zhuǎn)化成滿足tan∠ABC=的角或更一般的定角. 改變旋轉(zhuǎn)角的大小，可讓學(xué)生從中體悟“變中的不變”，從而提煉出一般性的規(guī)律，形成通性通法.

解析 根據(jù)題意可知AO=，BO=1. 如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB交BC于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E. 根據(jù)“一線三直角”的相似模型，易知AE=，EF=，那么點(diǎn)F

，

-. 根據(jù)點(diǎn)B（0，-1），F(xiàn)

，

-，不難獲得y=x-1為直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

活動(dòng)2 以二次函數(shù)為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題

例2 如圖5，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和y軸相交于點(diǎn)B（0，-2），和x軸分別相交于點(diǎn)A（4，0）與C（-1，0）.

問(wèn)題：（1）寫(xiě)出二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）分析AB下方的拋物線上有沒(méi)有點(diǎn)M可讓∠ABO=∠ABM？若有，請(qǐng)分析點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離;若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題背景由一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，意在引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，從中感知“變與不變”的思想，為探尋良好的解題方法奠定基礎(chǔ).

解析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，易得表達(dá)式：y=x2-x-2.

（2）首先從tan∠ABO=2的角度出發(fā)探尋定角∠ABM;其次探尋定邊BA;再過(guò)定點(diǎn)A作垂線，形成“一線三直角”（見(jiàn)圖5）的模型;最后設(shè)方程的點(diǎn)或坐標(biāo)，借助相似三角形、勾股定理或三角函數(shù)實(shí)施解題.

活動(dòng)3 以中考真題為背景進(jìn)行引導(dǎo)

例3 （2020年江蘇常州中考卷第28題）如圖6，二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線與拋物線相交于另一點(diǎn)B，拋物線過(guò)點(diǎn)C（1，0），且頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BD，CD.

（1）填空：b=______.

（2）點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)大于1，點(diǎn)Q為直線BD與PC的交點(diǎn). 如果∠DQC=∠BCA，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)E處于直線AC上，點(diǎn)E關(guān)于直線BD對(duì)稱的點(diǎn)為F，而點(diǎn)F關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)為G，連接AG. 當(dāng)點(diǎn)F恰好處于x軸時(shí)，直接寫(xiě)出AG的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖 直接引用中考真題，意在幫助學(xué)生更好地理解中考出題方式，深化學(xué)生的解題策略，提升解題能力.

解析 對(duì)于第一問(wèn)，學(xué)生基本都能自主解決，此處不做具體描述.

關(guān)于第二問(wèn)，如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AI⊥CB于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H. 據(jù)此易得AI=2，CI=，那么tan∠BCA=2.

探索至此，需分成如下兩種情況進(jìn)行討論：

第一種情況：如圖7，若點(diǎn)Q位于點(diǎn)D的上方，首先根據(jù)tan∠DQC=tan∠BCA=2探尋定角∠CQD;其次探尋定邊BD;而后過(guò)定點(diǎn)C作垂線，完善“一線三直角”模型，通過(guò)相似獲得點(diǎn)Q為BD和x軸的交點(diǎn)G.

第二種情況：如圖8，若點(diǎn)Q位于點(diǎn)D的下方，方法亦然，過(guò)程略.

第三問(wèn)略.

幾點(diǎn)思考

1. 聚焦“三個(gè)理解”，精準(zhǔn)設(shè)定“微專題”

章建躍博士提出“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)（簡(jiǎn)稱三個(gè)理解）”的理念，從“微專題”的設(shè)計(jì)來(lái)看，教師也應(yīng)在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與思考. 學(xué)生存在的問(wèn)題、中考高頻考點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)等，都是“微專題”的主要來(lái)源. 因此，教師應(yīng)對(duì)知識(shí)特點(diǎn)、學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平與中考考情等有一個(gè)充分的認(rèn)識(shí).

教情與學(xué)情可借助大數(shù)據(jù)系統(tǒng)精準(zhǔn)掌握，關(guān)于中考方向的把握則為教師重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容. 各個(gè)區(qū)域歷年的中考考點(diǎn)分析，可為“微專題”復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)提供充足的依據(jù). 當(dāng)然，一些新穎的中考試題也是“微專題”復(fù)習(xí)的上好資源，學(xué)生常能從中受到啟發(fā).

如本節(jié)課的例3就選擇了江蘇省常州市2020年的中考試題作為研究對(duì)象，學(xué)生將自己所學(xué)的知識(shí)靈活應(yīng)用到該題的探索中，不僅進(jìn)一步開(kāi)闊了視野，還對(duì)二次函數(shù)背景下定角的處理策略產(chǎn)生了更加深刻的認(rèn)識(shí)，這是提升解決這一類問(wèn)題的能力的過(guò)程，也是觸類旁通的復(fù)習(xí)過(guò)程，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義.

2. 注重循序漸進(jìn)，深化思維發(fā)展

“微專題”復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)需遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，即使一節(jié)課講練的都是同類型問(wèn)題，也要注意問(wèn)題提出的系統(tǒng)性與循序漸進(jìn)性，嚴(yán)格按照從易到難的順序設(shè)計(jì)問(wèn)題. 尤其是在課堂起始階段，需放低起點(diǎn)，讓不同認(rèn)知水平層次的學(xué)生都能從基本圖形或熟悉的性質(zhì)出發(fā)，自主探尋解題思路，這是幫助學(xué)生建立解題信心的關(guān)鍵.

本節(jié)課，教師以一次函數(shù)為問(wèn)題的背景，引導(dǎo)學(xué)生從“低起點(diǎn)”出發(fā)進(jìn)行自主探索，取得了相當(dāng)不錯(cuò)的教學(xué)成效. 教師若在課堂伊始就呈現(xiàn)出例2或例3，則會(huì)讓一些認(rèn)知水平一般的學(xué)生望而卻步，學(xué)生一旦心理上產(chǎn)生畏難情緒，那么接下來(lái)的教學(xué)成效將會(huì)大打折扣. 在以核心素養(yǎng)為目標(biāo)的大環(huán)境下，“微專題”復(fù)習(xí)更要注重由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，這是促進(jìn)學(xué)生思維不斷深化的基礎(chǔ)，也是踐行深度學(xué)習(xí)理念的關(guān)鍵.

3. 立足一類問(wèn)題，確定專題類型

“微專題”的特點(diǎn)是“既微又專”，具有切口小、微而準(zhǔn)、微而細(xì)、微而深、靈活、實(shí)用等特點(diǎn). 既然稱之為“微”專題，必然只能立足于一類問(wèn)題.

對(duì)于復(fù)習(xí)課而言，我們大致可將“微專題”分成如下幾類：①知識(shí)點(diǎn)類專題，此類專題主要針對(duì)教學(xué)內(nèi)容來(lái)設(shè)定，結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及學(xué)生在解題過(guò)程中暴露出來(lái)的疑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)等進(jìn)行設(shè)計(jì)，力求幫助學(xué)生從真正意義上解決真問(wèn)題與實(shí)問(wèn)題;②考點(diǎn)類專題，即打破教材所呈現(xiàn)的知識(shí)體系，結(jié)合考情而設(shè)定的提高復(fù)習(xí)針對(duì)性的“微專題”;③問(wèn)題解決類專題，即關(guān)注學(xué)生在課堂上數(shù)學(xué)思想方法的提煉情況，引導(dǎo)學(xué)生在自主比較、分析與體會(huì)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，以從根本上提升解題能力. 這三類熱點(diǎn)專題都與學(xué)生的認(rèn)知與生活經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義.

本節(jié)課就屬于考點(diǎn)類專題，主要針對(duì)中考解題而設(shè)計(jì)，意在提升學(xué)生在應(yīng)對(duì)中考過(guò)程中解決關(guān)于“二次函數(shù)背景下定角類問(wèn)題”的能力. 教師以低起點(diǎn)、小步子的方式逐漸深化問(wèn)題的難度，促使學(xué)生的思維拾級(jí)而上，最后鏈接中考真題，幫助學(xué)生積累實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生通過(guò)解一題獲得解一類題的能力.

總之，新課標(biāo)背景下的“微專題”復(fù)習(xí)教學(xué)取得了不錯(cuò)的成效. 一線教師應(yīng)致力于在教情、學(xué)情與考情的基礎(chǔ)上理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)，根據(jù)實(shí)際情況選擇恰當(dāng)?shù)闹黝}作為“微專題”的核心，以從真正意義上拔高學(xué)生的思維，提升學(xué)生的解題能力與核心素養(yǎng).