經歷探究過程 提高教學效益

[摘 要] 數學教學不僅要關注學生的知識掌握情況，而且要關注學生思維能力的發展. 在日常教學中，教師應打破以講授為主的教學局面，創造機會讓學生自主發現、提出并解決問題，以此激活思維，培養學生分析、探索和解決問題的能力，進而提升學生的學習品質，提高教學效益.

[關鍵詞] 思維能力;學習品質;教學效益

提高教學效益是一線教師的共同追求. 在實際教學中，部分教師認為“灌輸”是提高教學效益的捷徑. 但實踐證明，“灌輸”容易固化學生的思維，影響學生學習能力的提升，限制學生思維能力的發展. 筆者在教學“線段垂直平分線的性質與判定”時，以發展學生學習能力為目標，在提高學生探究能力，發展學生數學思維能力等方面取得了較好的效果. 現將教學過程呈現給大家，若有不足，請指正.

內容分析

“線段的垂直平分線”是初中階段的核心知識點，其定義、性質、判定是證明線段相等、直線互相垂直的重要依據. 學生在學習本課內容前已經掌握了研究軸對稱、等腰三角形等相關知識的方法，這為新知的理解與掌握提供了智力支持和方法保障. 在本課教學中，教師通過探究活動引導學生經歷知識的再現過程，讓學生在理解相關定義、性質、判定的基礎上，明晰垂直平分線的性質與判定的區別和聯系，體會蘊含其中的互逆關系，提高學生的思考辨析能力，提升學生的數學素養.

教學過程

1. 問題導入，激發興趣

問題1：觀察圖1所示的風箏，聯想自己的風箏，它們具有怎樣的結構？為什么采用這樣的結構呢？

生1：風箏是左右對稱的結構，因為只有這樣的結構才能讓它們飛得又高又穩.

設計意圖 以學生的熟悉實物為研究背景，引發學生的情感共鳴，激發學生探究的積極性.

2. 合作探究，生成新知

師：說得很好，結合圖1，你能具體說說這個骨架的結構嗎？（為了引導學生向數學化轉化，教師讓學生將水平和豎直的木棍分別看成橫軸和縱軸）

生2：縱軸經過橫軸的中點.

師：很好，還有嗎？如果這樣可以嗎？（教師不斷調整縱軸的角度讓學生觀察）

學生齊聲回答：不行，還要垂直.

師：很好，如果現在我們將圖1中的橫軸和縱軸抽象為兩條線段，縱軸可以叫什么呢？

生3：縱軸過橫軸中點且與橫軸垂直，縱軸可以命名為“橫軸的垂直平分線”.

教師出示：線段垂直平分線.

教師出示垂直平分線的定義、符號表示，并預留一定的時間讓學生交流、理解、記憶.

問題2：如果將風箏圖抽象成平面圖，你會嗎？（教師預留時間讓學生動手操作，學生將圖1的風箏實物圖抽象成圖2）

師：非常好，根據垂直平分線的定義可知，PQ⊥AB，AO=BO，圖2中是否還有其他相等的線段呢？

生4：PA=PB，QA=QB.

師：你的依據是什么？

生4：軸對稱. （學生通過軸對稱證明線段相等）

師：很好，大家利用軸對稱證明了PA=PB，QA=QB. 觀察以上結果，你有什么發現呢？（學生積極觀察、分析）

生5：點P、Q在線段垂直平分線上，而點A、B分別為線段的兩個端點. 這樣是不是可以說，線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等呢？

師：非常棒的發現.

教師板書線段垂直平分線的性質，并引導學生用符號語言進行表達：因為PQ⊥AB，AO=BO，所以PA=PB，QA=QB.

設計意圖 教師從學生已有認知出發，再現定義、性質的發現過程. 在此過程中，教師巧妙地設計問題，讓學生在問題的引導下積極觀察、交流、概括，以此培養學生的數學觀察、歸納概括等素養，提高學生的學習品質.

問題3：如圖3，因為保管不當，風箏的縱軸被折斷了. 但測得PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？

問題給出后，學生猜想點P在線段AB的垂直平分線上.

師：這一猜想該如何證明呢？（學生不語）

師：若過點P的直線是AB的垂直平分線，那么過點P的直線會是怎樣的直線呢？

生6：這條直線應該過線段AB的中點，且與線段AB垂直.

師：很好，接下來你想怎么證明呢？

生7：如圖4，過點P作線段AB的垂線PO，垂足為O，證明：AO=BO.

生8：如圖4，也可以在AB上取中點O，連接PO，證明：PO⊥AB.

生9：過點P作∠APB的角平分線PO，證明：PO⊥AB且AO=BO.

證明方案給出后，教師帶領學生進行簡單的證明，并對探究結果進行總結歸納，由此得到垂直平分線的判定定理及符號表示.

設計意圖 教學中，教師先讓學生通過直觀想象形成猜想，并引導學生對垂直平分線的要素進行分解，進而自主形成證明思路. 學生通過思考與交流，給出了三種證明思路：①作垂線證中點;②取中點證垂直;③作角平分線，證垂直且平分. 這樣通過經歷猜想與證明的過程，讓學生體會性質與判定的互逆關系，從而深化知識理解，培養學生的辯證思維能力.

3. 變式應用，提升能力

師：將圖2分解成圖5，觀察圖5，看看你有什么發現？

生10：將圖2上下分解后形成兩個等腰三角形，左右分解后形成兩個對稱的全等三角形.

在此基礎上，教師又讓學生繼續分析分解后的三角形的形狀，如上下分解后還可能會得到等邊三角形或等腰直角三角形，繼而為后面的拓展應用埋下伏筆.

師：很好，大家有著很好的觀察和推理能力. 在此基礎上，我們再做一些改變，如圖6，從箏形圖中提取等腰三角形PAB，作PA邊的垂直平分線，垂足為D，交AB邊于點E，連接PE. 觀察圖6，你有何發現？

問題4：如圖7，在△PAB中，PA=PB，作AP邊的垂直平分線，分別交邊AP，AB于點D和點E，連接PE.

（1）請找出圖7中所有相等的線段.

（2）若∠A=50°，還能求出哪些角的度數？

（3）若△PAB的周長為20，其中PA=8，△PEB的周長是否可求？如果可以，請求出△PEB的周長.

設計意圖 教師預留時間讓學生獨立思考問題4的解題過程，并通過互動交流完善解答，以此通過問題的解決促進知識的鞏固，提高學生的數學應用水平. 同時，通過問題的解決讓學生獲得成功的喜悅，提高解題信心.

師：剛剛我們提取的是箏形圖的上面部分，若提取箏形圖的左右部分又會有什么發現呢？如圖8，提取△APQ，并將其順時針旋轉90°，分別在△APQ的AQ，AP邊上添加兩條垂直平分線，看看你有什么發現呢？

問題5：如圖8，DE垂直平分線段AQ，MN垂直平分線段AP.

（1）若△AEN的周長為10，則PQ=______.

（2）若∠PAQ=150°，則∠EAN=______.

（3）若∠PAQ=α，則∠EAN=______.

（4）點O是否在線段PQ的垂直平分線上？

師：通過問題5的解決，你能得到怎樣的結論呢？

在教師的啟發和引導下，學生得到了如下結論：（1）△AEN的周長等于PQ的長;（2）若∠PAQ=α，則∠EAN=2a-180°. （3）點O在線段PQ的垂直平分線上. 經歷問題5的探究后，學生解決問題的積極性高漲，基于此，教師繼續啟發學生將問題“變一變”.

師：在此基礎上，如果進一步拓展，你想如何操作呢？（學生積極思考）

生11：圖8中的三角形為鈍角三角形，如果將其改為銳角或直角三角形，會發生怎樣的變化呢？問題5中的結論是否依然成立呢？

設計意圖 讓學生在特殊與一般的探究中充分挖掘蘊含其中的規律，激發學生的數學探究熱情，提高學生的探究能力、歸納概括能力，提升學生的數學素養[1].

4. 課堂小結，升華認知

問題6：回顧本課學習內容，你有哪些收獲？

該環節教師預留時間讓學生回顧反思，總結歸納自己所想、所獲，以此進一步優化學生的認知結構，提升學生的數學素養.

教學思考

數學是一門理性思維的學科，培養學生的理性思維是數學教學的重要使命. 在概念、定理等相關知識的教學中，教師要重視引導學生經歷知識形成的過程，這樣既能調動學生參與的積極性，又能讓學生深刻理解知識，提高理性思維能力[2].

在本課教學中，教師以“圖形的演變”為主線，先是從實物出發，讓學生提煉箏形圖，然后通過將箏形圖進一步分解，繼而得到了不同的三角形. 接下來分層探究不同的三角形，由等腰三角形到鈍角三角形，再到銳角三角形、直角三角形，由此通過對不同圖形的深度探究培養學生的理性思維能力，有效提高學生的數學應用水平和數學素養.

學生是課堂教學的主體. 教學中，教師應從學生已有認知水平出發，通過創設有效的問題激發學生的學習積極性，并讓學生在問題的解決中獲得知識，發展能力，提升素養. 在本課教學中，教師讓學生在問題的驅動下積極思考與交流，使學生的探究能力和思維能力得到了大幅度的提升.

總之，在初中數學教學中，教師既要關注學生對知識的掌握，又要關注學生能力的提升. 在實際教學中，教師要多提供一些機會讓學生去思考、去探究，以此提高學生的自主探究能力， 發展學生的綜合學力.

參考文獻：

[1]趙亞軍. 數學探究中彰顯問題意識[J]. 數學之友，2022，36（7）：36-37.

[2]金燦鋒. 立足探究式教學，構建高效數學課堂[J]. 數學教學通訊，2021（33）：62-63.