大單元視域下初中數(shù)學(xué)“問(wèn)題鏈”教學(xué)實(shí)踐的研究

[摘 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在談到“三會(huì)”時(shí)，強(qiáng)調(diào)問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性. 同時(shí)，大單元教學(xué)也能更好地表現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分. 文章以“中點(diǎn)四邊形”的教學(xué)為例，探討如何基于大單元視域設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題鏈;大單元;教學(xué)

早在古希臘時(shí)期，蘇格拉底就提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)的核心，而后美國(guó)的哈爾莫斯也提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在談到“三會(huì)”時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生能在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題[1]. 這充分體現(xiàn)了問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性. 但是單一的數(shù)學(xué)知識(shí)很難表現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分，此時(shí)需要引入大單元教學(xué)理念，學(xué)生通過(guò)自主建構(gòu)知識(shí)體系或思想方法的過(guò)程發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本文以“中點(diǎn)四邊形”的教學(xué)為例，探討如何基于大單元視域設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. “問(wèn)題鏈”引入課題

基于大單元視域設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”，需結(jié)合教材、學(xué)情等特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的探索與分析感知本節(jié)課將要探索的主題是什么，可分別從什么角度去研究等.

問(wèn)題1：如圖1所示，將△ABC三條邊上的中點(diǎn)順次連接起來(lái)，獲得一個(gè)新的三角形為△EFD，△EFD稱為△ABC的中點(diǎn)三角形，請(qǐng)分析中點(diǎn)三角形所具備的特征.

“問(wèn)題鏈”1：繼續(xù)取△EFD的中點(diǎn)三角形，再取新獲得的中點(diǎn)三角形的中點(diǎn)三角形，所得新三角形和原三角形之間具有怎樣的聯(lián)系？

“問(wèn)題鏈”2：若△ABC為等腰三角形或直角三角形，那么其中點(diǎn)三角形EFD和△ABC之間存在怎樣的關(guān)系？

“問(wèn)題鏈”3：如果D，E，F(xiàn)為△ABC三條邊上的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)……那么所構(gòu)成的△EFD的形狀、面積與周長(zhǎng)等和原△ABC之間存在怎樣的關(guān)系？

“問(wèn)題鏈”4：將△ABC替換為四邊形、五邊形、六邊形等，那么這些圖形的中點(diǎn)多邊形與原多邊形之間存在怎樣的關(guān)系？分別從圖形形狀、面積或周長(zhǎng)等角度分析.

以上幾個(gè)“問(wèn)題鏈”為學(xué)生提供了明確的探索方向，如以中點(diǎn)四邊形為研究起點(diǎn)，分別研究新圖形與原圖形之間存在怎樣的關(guān)系，此為提升學(xué)生推理能力的過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖 課堂伊始需以低起點(diǎn)的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的興趣，同時(shí)也要避免有一定難度的問(wèn)題干擾學(xué)生的思維. 此處，教師有意識(shí)地規(guī)避了三角形中位線的相關(guān)知識(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生從整體的角度出發(fā)，以中點(diǎn)三角形引出中點(diǎn)四邊形，成功激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生產(chǎn)生了豐富的聯(lián)想，為本節(jié)課探索中點(diǎn)四邊形問(wèn)題夯實(shí)了基礎(chǔ). 如此設(shè)計(jì)，學(xué)生一方面結(jié)合一般思維規(guī)律，搭建探索的平臺(tái);另一方面從最簡(jiǎn)單的概念出發(fā)，逐步深入探索中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)與判定方法，為后續(xù)應(yīng)用拓展夯實(shí)基礎(chǔ)，也為實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)做好鋪墊.

2. “問(wèn)題鏈”引發(fā)探究

師：與中點(diǎn)三角形進(jìn)行類比，容易獲得中點(diǎn)四邊形的定義. 那么，關(guān)于中點(diǎn)四邊形有哪些知識(shí)值得我們?nèi)ヌ剿髂兀拷酉聛?lái)，我們就一起來(lái)探究如下“問(wèn)題鏈”.

探究1：若給你一個(gè)任意四邊形，你能快速想象出它的中點(diǎn)四邊形的形狀嗎？可自主在草稿紙上畫(huà)圖、觀察、分析，初步形成猜想.

關(guān)于這個(gè)探究問(wèn)題，不少學(xué)生表示很棘手. 為此，教師將這個(gè)問(wèn)題細(xì)分為幾個(gè)子問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主判斷，循序漸進(jìn)地深化對(duì)問(wèn)題的理解.

問(wèn)題1：如何判斷并證明一個(gè)任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀？

問(wèn)題2：怎樣將原圖形與中點(diǎn)四邊形構(gòu)建關(guān)聯(lián)？

問(wèn)題3：如何探索以上兩個(gè)問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖 以上三個(gè)子問(wèn)題是基于探究1而提出的，逐層遞進(jìn)的問(wèn)題讓學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形的本質(zhì)有了初步認(rèn)識(shí). 如第一個(gè)子問(wèn)題意在發(fā)展學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取能力;第二個(gè)子問(wèn)題則促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的本質(zhì);第三個(gè)問(wèn)題是對(duì)前面兩個(gè)問(wèn)題的總結(jié)與歸納，促使學(xué)生自主建構(gòu)一般性的研究方法，為提煉數(shù)學(xué)思想方法夯實(shí)基礎(chǔ).

探究2：綜上分析，大家已經(jīng)明確了不論什么形狀的四邊形的中點(diǎn)四邊形，必然為平行四邊形，關(guān)于這一理論，你們還有什么想法嗎？

為了給學(xué)生的思維做指引，可設(shè)計(jì)如下“問(wèn)題鏈”幫助學(xué)生進(jìn)一步深入思考，以提取知識(shí)本質(zhì).

問(wèn)題1：與中點(diǎn)四邊形的探索進(jìn)行類比分析，五邊形、六邊形……多邊形在形狀、面積與周長(zhǎng)上和原圖形之間存在怎樣的關(guān)系？

問(wèn)題2：當(dāng)原四邊形為特殊四邊形時(shí)，該四邊形所構(gòu)成的中點(diǎn)四邊形形狀具有怎樣的特點(diǎn)？是否一定為特殊四邊形？

問(wèn)題3：反過(guò)來(lái)分析，若一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形確定為特殊的四邊形，那么原四邊形的形狀可以確定嗎？

關(guān)于以上幾個(gè)問(wèn)題，師生共同從一般與特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形著手展開(kāi)探索，并思考當(dāng)中點(diǎn)四邊形確定為特殊四邊形時(shí)，它的原圖形具有怎樣的特性.

在以上“問(wèn)題鏈”的引導(dǎo)下，教師鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的方式啟發(fā)思維，發(fā)展幾何直觀、推理能力、模型觀念.

問(wèn)題4：借助探索思路“畫(huà)圖、觀察、猜想、驗(yàn)證與歸納”分析四邊形在不同形狀時(shí)中點(diǎn)四邊形的具體形狀，并將結(jié)論匯總到表1中.

問(wèn)題5：關(guān)于矩形與等腰梯形的中點(diǎn)四邊形為菱形這一現(xiàn)象，你們有什么看法？反過(guò)來(lái)分析，若一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形為菱形，則該四邊形必定為等腰梯形或矩形嗎？有沒(méi)有可能是其他四邊形？

問(wèn)題6：嘗試自主畫(huà)一個(gè)非菱形四邊形的中點(diǎn)四邊形為矩形的圖形，并完善表2，分析一旦判定中點(diǎn)四邊形為特殊四邊形，則原四邊形必定滿足哪些條件？

問(wèn)題7：嘗試從其他方面證明矩形或菱形的中點(diǎn)四邊形必定為菱形或矩形.

設(shè)計(jì)意圖 從該探究活動(dòng)來(lái)分析，當(dāng)我們所關(guān)注的對(duì)象不一樣時(shí)，對(duì)問(wèn)題的理解就有了較大差異，在解題方法上也會(huì)有較大區(qū)別. 從以上“問(wèn)題鏈”來(lái)看，第一個(gè)問(wèn)題意在幫助學(xué)生提煉從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，第二個(gè)問(wèn)題則幫助學(xué)生感知從一般到特殊的思想方法，第三問(wèn)屬于逆向思維，對(duì)學(xué)生思維的深度與寬度提出了一定的要求. 后面幾個(gè)問(wèn)題展示了事物表面具有迷惑性的特征，促使學(xué)生進(jìn)一步明確對(duì)中點(diǎn)四邊形具有決定性作用的是原始圖形的對(duì)角線. 最后一個(gè)問(wèn)題促使學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，將視線轉(zhuǎn)移到矩形或菱形上，借助全等、勾股定理等知識(shí)分析與解決問(wèn)題，凸顯了數(shù)學(xué)思維的多樣性特征，為發(fā)展學(xué)生多元化、整體性的思維奠定基礎(chǔ).

探究3：若從四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行探索，可從什么方向進(jìn)行分析？

啟發(fā)問(wèn)題1：一個(gè)四邊形四條邊的中點(diǎn)，加上兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，共可獲得6個(gè)中點(diǎn)，這6個(gè)中點(diǎn)可以構(gòu)造出幾個(gè)中點(diǎn)三角形與四邊形？其中具有探索意義的有哪些？

啟發(fā)問(wèn)題2：我們可從什么角度來(lái)探索中點(diǎn)多邊形？具體需要探索哪些內(nèi)容？

在這兩個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)下，學(xué)生一致提出想要探索包含對(duì)角線中點(diǎn)的中點(diǎn)四邊形與原四邊形之間的關(guān)系. 在明確探索方向的基礎(chǔ)上，教師又設(shè)計(jì)了如下“問(wèn)題鏈”供學(xué)生探索.

問(wèn)題1：如圖2，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q為四邊形ABCD各條邊以及對(duì)角線的中點(diǎn)，根據(jù)這些條件可從圖中獲得多少個(gè)中點(diǎn)平行四邊形？

問(wèn)題2：四邊形PEQG是否為平行四邊形，若PEQG為矩形或菱形，四邊形ABCD需滿足什么條件？四邊形ABCD在什么條件下，不存在四邊形PEQG？

問(wèn)題3：PFQH為圖2的中點(diǎn)四邊形，關(guān)于該四邊形有哪些內(nèi)容是可以探索的？

設(shè)計(jì)意圖 該探究活動(dòng)繼續(xù)向?qū)W生滲透中點(diǎn)四邊形的研究方法，讓學(xué)生明確探索一個(gè)圖形需從邊、角等元素著手，由此延伸到新的元素中，如探索完四邊形的四個(gè)中點(diǎn)之后就延伸到探索對(duì)角線的中點(diǎn);想要進(jìn)一步揭露中點(diǎn)四邊形的本質(zhì)，還需借助變式應(yīng)用來(lái)實(shí)現(xiàn)，此為提升學(xué)生學(xué)力的具體措施.

探究4：通過(guò)以上探索，發(fā)現(xiàn)可借助特殊平行四邊形的性質(zhì)或中位線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，除此之外，可否把中點(diǎn)四邊形置于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行探索呢？

思考1：要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)線段中點(diǎn)的理解，可否根據(jù)兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)獲得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)？

思考2：說(shuō)一說(shuō)對(duì)平行線的理解，可否借助直線上的點(diǎn)坐標(biāo)獲得解析式，當(dāng)遇到平行或垂直關(guān)系時(shí)，解析式之間有什么特點(diǎn)？

思考3：分析中點(diǎn)四邊形的一般形狀，并證明;嘗試分析并證明矩形或菱形的中點(diǎn)四邊形的形狀.

在以上幾種思路的指引下，學(xué)生很快就明確了具體的探索方向?yàn)椋航⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，獲得直線表達(dá)式，逐步解決問(wèn)題. 具體從如下幾個(gè)問(wèn)題著手探索.

問(wèn)題1：若在圖2所示的四邊形ABCD中，將點(diǎn)B設(shè)定為原點(diǎn)建系，假設(shè)點(diǎn)A（a，b），C（e，0），D（c，d）（見(jiàn)圖3），那么各條邊的中點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的解析式，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn).

問(wèn)題2：如何給一個(gè)矩形或菱形建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行問(wèn)題的探索？

設(shè)計(jì)意圖 平面直角坐標(biāo)系的建立促使學(xué)生的思維由平面幾何邁向解析幾何的范疇，使得學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探索逐漸獲得從多視角看問(wèn)題的能力，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的“三會(huì)”能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要價(jià)值與意義.

3. “問(wèn)題鏈”增進(jìn)理解

首先要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)中點(diǎn)四邊形的理解，并對(duì)探索方法進(jìn)行總結(jié)，具體從如下幾方面展開(kāi)：①本節(jié)課在知識(shí)、方法與思想方法上的收獲;②還有哪些方面存在困惑？③對(duì)本節(jié)課的想法等.

其次，借助“問(wèn)題鏈”對(duì)本節(jié)課授課內(nèi)容進(jìn)行拓展延伸：

問(wèn)題1：多邊形的中點(diǎn)圖形和原圖形之間有沒(méi)有關(guān)聯(lián)？可從周長(zhǎng)與面積等方面著手分析.

問(wèn)題2：探索中點(diǎn)四邊形時(shí)，借助了三角形的中位線，探索的這些圖形之間存在什么關(guān)系嗎？

針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，師生共同操作幾何畫(huà)板進(jìn)行探索，并在直觀展示的基礎(chǔ)上，將問(wèn)題拓展到長(zhǎng)方體中，思考可否用本節(jié)課所獲得的知識(shí)來(lái)分析長(zhǎng)方體的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖 課堂回顧總結(jié)與知識(shí)拓展延伸，不僅體現(xiàn)了讓學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂與走出課堂，還促使學(xué)生學(xué)會(huì)從整體視域來(lái)分析與思考中點(diǎn)四邊形，進(jìn)一步完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 學(xué)生經(jīng)歷了一維、二維與三維的思維發(fā)展過(guò)程，進(jìn)一步理解了中點(diǎn)四邊形的本質(zhì).

幾點(diǎn)思考

1. 基于課程整體把握教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)本身就具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)體系，但初中階段的學(xué)生受認(rèn)知限制，面對(duì)亂序的知識(shí)點(diǎn)難以掌握其本質(zhì). 若教師能站到宏觀的角度來(lái)觀察教學(xué)內(nèi)容，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)納入知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中來(lái)探索，則能起到事半功倍的教學(xué)成效. 鑒于此，課堂伊始教師就有意識(shí)地帶領(lǐng)學(xué)生在整體的視域下感知編者編寫(xiě)教材的主要意圖，并對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系，從真正意義上實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合與重組.

2. 基于例題之深廣設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”

例題的廣度主要體現(xiàn)在教學(xué)容量與知識(shí)范圍上，深度主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法等方面. 從例題的深度與廣度兩個(gè)維度出發(fā)設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”，是單元整體教學(xué)的體現(xiàn)，學(xué)生通過(guò)對(duì)例題的探索可獲得知識(shí)、方法、思想等綜合學(xué)力的提升. 當(dāng)然，例題的知識(shí)含量與主次要分明，此為凸顯例題教學(xué)功能的關(guān)鍵. 如本節(jié)課，探索的主題為中點(diǎn)四邊形，為了幫助學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化思維，又將例題延伸到矩形、菱形等圖形上，環(huán)環(huán)相扣的“問(wèn)題鏈”將學(xué)生的思維推向了高處.

總之，大單元視域下初中數(shù)學(xué)“問(wèn)題鏈”教學(xué)的探索值得關(guān)注，為了凸顯學(xué)生為課堂的主人，教師所設(shè)計(jì)的每一個(gè)問(wèn)題都要基于“以生為本”的理念. 事實(shí)證明，基于整體視域設(shè)計(jì)教學(xué)方案是提升學(xué)生學(xué)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.