搭建思維階梯 提升復習質量

[摘 要] 復習課是數學教學的重要課型，是建構知識體系、提高解題能力、發展學生思維能力的必經之路. 復習教學中，若純粹地進行知識重現和沒有針對性、梯度性的重復練習，不僅會增加復習課的枯燥感，而且會影響學生的學習信心. 教師應以學生已有知識經驗為出發點，結合實際問題創設梯度問題，以幫助學生掃除障礙，體驗成功，認清本源，實現知識的融會貫通.

[關鍵詞] 復習課;梯度問題;融會貫通

復習是回顧舊知識，形成知識網絡和系統架構的一個非常關鍵的環節，尤其是在中考前開展的綜合復習課程，更是幫助學生梳理以往所學知識的重要方式. 復習不是簡單地將知識重現，而是在鞏固原有知識的基礎上，對所學知識進行歸類、整合、深化，將所學知識串成串、連成網，構建知識體系，從而實現知識的融會貫通. 在初中數學復習教學中，教師應從學生現有知識水平入手，層層深入，幫助學生認清問題的本質，掌握解決問題的通法，充分調動學生參與課堂的積極性，引導學生親歷觀察、操作、交流、思考等過程，讓每個學生都能有所收獲，切實提升復習課的效率.

提出問題

例1 如圖1，王大伯想用木欄靠墻MN圍一個矩形ABCD菜地，其中墻的長度為a米，木欄總長為100米.

（1）已知a=20，王大伯利用100米的木欄圍成了一個面積為450平方米的矩形菜地，試問圍成這樣的矩形菜地，需要利用的墻長是多少？

（2）如圖2，已知0<a<50，若王大伯想用這些材料圍成一個最大面積的菜地，你認為可以怎么圍？面積最大值是多少？

例1是一道典型的二次函數應用題，初看上去毫無探究性，但是認真分析不難發現，第（2）問中巧妙地對墻的長度做了模糊處理，使得看似陳舊的老題變得更加有新意，大大地提升了題目的整體難度. 從解題反饋上來看，幾乎所有的學生都能順利地完成第（1）問，但是在完成第（2）問時，很多學生露出了愁容，感覺無從下手. 面對這一現象，若教師直接給出答案，學生也能夠理解，但由于沒有經歷自主探究的過程，學生便不能認清問題的本質. 日后遇到此類問題時學生依然會茫然，從而影響自身解題能力和解題信心的提升. 基于此，在復習教學中，教師應從學生認知規律出發，循序漸進，逐漸幫助學生厘清問題的來龍去脈，揭示問題本質，提升復習質量.

教學過程

1. 剝繭抽絲，循序漸進

教學中，為了幫助學生突破問題（2）這一難點，教師為學生設計了層層遞進的問題，以此為學生的思維搭建梯子，充分調動學生思考的積極性.

問題1：用一個長為100米的木欄圍一個矩形菜園，若使矩形面積最大，可以怎么圍？最大面積是多少？

學生活動：問題給出后，學生獨立完成. 解題過程如下：設矩形的一邊長為x米，則矩形的另一邊長為（50-x）米，于是矩形的面積為S=x（50-x）=-（x-25）2+625，所以當x=25時，矩形的面積最大，最大值為625平方米.

問題2：若矩形的周長不變，怎么圍面積最大？給出你的理由.

師生活動：學生獨立探索，對于基礎較弱的學生，教師適時給予指導. 學生給出如下解題過程：設木欄的長度為m米，矩形的一邊長為x米，則矩形的另一邊長為

-x米，則S=x

-x=-x-

2+. 由此可知，當矩形的周長一定時，所圍成的矩形是正方形時，面積最大.

設計意圖 從學生熟悉的題目入手，通過由特殊到一般的探究，引導學生歸納總結解決此類問題的方法，提煉蘊含其中的規律，從而為后續的探究做好鋪墊，提高學生分析和解決問題的能力.

問題3：回歸例1，若a=60，AD的長是多少米時，所圍的矩形ABCD的面積最大？

學生活動：有了前面的鋪墊，學生解題時顯得輕松自若. 設AD=x米，則AB=米，所以S=x·= -（x-50）2+1250，即當矩形的長為50米時，矩形的面積取最大值1250平方米. 這里50<60，符合題意.

問題4：若a=40，AD的長是多少米時，所圍的矩形ABCD的面積最大？

師生活動：結合以上經驗，得出S=x·=-（x-50）2+1250. 根據二次函數的增減性可知，當x=40時，面積取最大值1200平方米.

問題5：若a=20，AD的長是多少米時，所圍的矩形ABCD的面積最大？

師生活動：學生結合研究問題4的經驗，直接給出結果，即當x=20時，面積取最大值800平方米. 學生得到這一結果后，教師提出疑問：當AD的長為20米時，真的可以使面積最大嗎？在問題的引導下，學生繼續探索，進而通過深度思考突破矩形的一條邊只能是墻的束縛，發現墻也可以用木欄延長，此時S=x·=-（x-30）2+900，這樣將墻用木欄延長10米，便可獲得更大面積的矩形，此時矩形的面積為900平方米.

設計意圖 通過變式訓練逐漸激活學生的數學思維，此時學生已經認識到，墻也可以作為矩形一邊的一部分，有效地打破了定式思維的束縛，使學生的思維向更高層級進階. 同時，在此過程中，教師為學生創設問題臺階，讓學生拾級而上，有利于增強學生的自信心，提高學生分析和解決問題的能力.

2. 高屋建瓴，融會貫通

通過以上問題的解決，學生已經逐漸認識到，墻的長度影響著矩形的圍法. 在此基礎上，教師乘勝追擊，引導學生從三個變式中尋找規律，由此使課堂再度升華，幫助學生厘清知識脈絡，提高數學思維品質.

問題6：若墻長為a米，木欄長為100米，怎么圍可使矩形ABCD的面積取最大值？

師生活動：該問題具有一定探究性，是解決第（2）問的關鍵，教師啟發學生回顧前面三個變式問題，思考當a=60，40，20時，是如何圍矩形的？由此把問題聚焦于對a的取值范圍的討論. 結合以上探究過程，學生明確要解決這個問題需要分三種情況討論：（1）當a取何值時，墻足夠長;（2）當a取何值時，把整個墻作為矩形的一邊;（3）當a取何值時，把墻作為矩形一邊的一部分. 教學中，教師給予學生充分的時間對這三種情況進行逐一探究，然后以小組為單位合作交流，最終形成統一的結論：當a≥50時，墻足夠長，此時S=1250;當≤a≤50時，墻長為矩形一邊的邊長，此時S=-（a-50）2+1250;當0<a<時，墻長為矩形邊長的一部分，此時S=

2. 學生經歷由特殊到一般的探究后，有效地升華了認知，發展了數學思維能力. 結合以上探究過程，例1中的問題（2）迎刃而解.

問題7：若a=20，木欄的長為b米，其他條件不變，怎么圍可使矩形ABCD的面積最大？

由于課堂時間有限，教師讓學生以小組為單位，課下共同完成問題7. 通過適度的拓展延伸，不僅可以檢測學生的知識理解情況，而且可以發散學生的數學思維，培養學生數學思維的深刻性、變通性.

教學感悟

復習教學中，部分教師為了能夠多講多練，常常簡單分析后就直接給出正確答案. 學生雖然能聽得懂，但由于沒有經歷自主探究的過程，很難產生深刻的印象. 在遇到類似的題目時，學生依然會出現“懂而不會”“一錯再錯”等情況. 在復習教學中，教師應該控制好教學節奏，給學生一定的時間和空間進行獨立思考和合作探究，引導學生經歷知識生成發展的過程，從而加深知識理解，促進知識內化.

另外，復習教學應著重發展學生的邏輯思維，引導學生整體思考數學問題，使學生的思維能力得到全面發展. 在具體實施過程中，教師不能滿足于單一問題的解決，應站在整體的視角引導學生思考與探究，一方面讓學生將相關知識有效地串聯起來，完善認知體系，另一方面讓學生在對比分析中，認清問題的本質，掌握解決此類問題的方法，提高舉一反三的能力. 在本課教學中，教師沒有直接講解問題，而是從學生熟悉的問題入手，讓學生通過由特殊到一般的探究得到“當矩形的周長一定，所圍圖形為正方形時，其面積取最大值”，以此培養學生的整體觀. 在此基礎上，教師又合理地設計變式問題，通過梯度問題搭建思維進階的階梯，使學生的數學思維獲得了更大程度的發展. 另外，教師不斷滲透分類討論、特殊到一般、數形結合等數學思想方法，有效打通了各個知識點的聯結脈絡，有利于學生認知結構的優化以及分析和解決問題能力的提升.

總之，在復習教學中，教師不能盲目地向學生灌輸知識，更多的是去啟發、去喚醒. 教師要以學生已有知識經驗為基礎，結合教學實際創設環環相扣、層層遞進的問題，引導學生經歷問題解決的全過程，追溯問題的本源，認清問題的本質，掌握解決問題的方法，以此提高學生的數學應用能力，提升復習教學質量.