尊重學生差異 彰顯教育智慧

[摘 要] 學生的智力水平、學習特點、興趣愛好、能力等，受遺傳、家庭、社會、教育等綜合因素的影響會呈現出顯著差異，一線教師應充分尊重學生的個性特征，包容學生的差異性，在尊重與理解的基礎上實施個性化教學. 研究者以一道題的解題教學為例，分別從學生在“信息提取、解題思路、課堂生成、編擬變式、學習感悟”五個方面的差異著手，展開教學實踐與思考.

[關鍵詞] 差異;解題;感悟

義務教育階段的數學教學對培養公民的基本素質具有普及型、基礎性與發展性特征. 從數學內容本身來看，數學具有多元并存、內容兼容等特征. 教師應面向全體學生，應用適應學生個性化發展的教學手段，以提升課堂教學質量，彰顯教育智慧，發展學生數學核心素養. 為此，本文以一道題的解題教學為例，具體談談如何尊重學生差異，凸顯教育智慧.

教學簡錄

原題 如圖1，已知△ABC中的∠C為直角，AB=10，AC=8，點P位于線段AC上，且AP的值為2，如果圓O的圓心O位于線段BP上，AB，AC分別和圓O相切于點E、D，那么☉O的半徑是多少？

（一）尊重信息提取的差異性

師：通過審題，你們從題設條件中可以獲取哪些信息或想法？

生1：我獲得的信息有Rt△ABC以及Rt△PBC的三邊，還有AB，AC分別和圓O相切.

生2：切線和過切點的半徑之間為垂直的關系，借助這個關系可以構造直角三角形，再通過勾股定理實施解題.

生3：根據題目所給條件可知圓心與切線的距離恰好為圓的半徑，那么用面積法列方程就能獲得問題的解.

生4：根據AB，AC分別和圓O相切的條件，可知AO平分∠CAB，通過角平分線所提供的信息可嘗試解題.

評析 面對同一個問題，不同學生提取到的信息有較大差異. 其實，我們所接觸的數學問題一般由題設條件與結論兩部分構成，這兩部分在知識、語言結構以及思維邏輯上都有一定的關聯. 其中，有些信息隱含在條件中，而這些隱含信息又是思維的方向標. 基于學生認知差異的存在，每個學生對問題的理解與認識有較大差別，作為教師應充分尊重學生的這種差別，鼓勵學生從不同的角度與層次來提取解題信息，并以語言表達的方式呈現，讓學生汲取同伴的優勢思維，將已經掌握的概念、方法與解題策略有序連結，為形成關于問題的內在表征模型奠定基礎.

（二）尊重解法探索的差異性

師：從剛才的審題來看，大家都很仔細，也很全面，對于切線的性質掌握得不錯. 現在請借助切線的性質分析怎樣利用好“AO平分∠CAB”這一條件.

生5：如圖2，根據“AB，AC分別和圓O相切于點E、D”的條件，分別連接DO，EO，有DO⊥AC，EO⊥AB. 若DO=EO=r（☉O的半徑），AD=AE=r+2，EB=8-r，OB=6-r，于是在Rt△EOB中，根據勾股定理有（8-r）2+r2=（6-r）2，解得r=1.

生6：如圖3，根據“AB，AC分別和圓O相切于點E，D”的條件，可知圓心O和直線AB，AC的距離均與圓的半徑r相等，也就是△OAB中AB邊上的高等于△OAP中AP邊上的高（均為r），根據面積法思考，連接AO，有S=S+S+S，即×6×8=×r×10+×r×2+×6×6，解得r=1.

生7：根據“AO為∠CAB的角平分線”這個條件，可知==，=，因此==5. 因BP=6，所以OP=，那么r的值為1.

生8：延長AO與BC邊相交于點F，綜上可知==，故FC=. 根據△DOA∽△CFA，有=，經計算可得OD=1.

評析 從學生探索問題的過程來看，每個學生的思維發散點與信息提取點均有所區別，因而形成的解題思路也各不一樣. 為了尊重學生思維的差異性，教師構建了和諧、民主的氛圍，在不改變學生原有思維的前提下鼓勵學生大膽思考，促使學生從不同的角度挖掘出各種解題方法. 這種教學方式，從真正意義上拓展與靈活了學生的思維，達到了發展學生求異思維的目的.

一花獨放不是春. 尊重學生的個體差異，鼓勵學生集思廣益，拓展解題思路，便是“百花齊放”之美景. 以上教學過程，不僅巧妙地規避了教師“唱獨角戲”的尷尬局面，還進一步調動了學生的學習積極性，使得課堂生機盎然.

（三）理解課堂生成的差異性

關于上一個問題的探索，教師正準備結束時，一位學生提出這樣一個想法：如果能發現∠DAO的對邊DO以及鄰邊AD之間具有怎樣的聯系，即∠BAC的正切值，問題也能迎刃而解.

師：這個想法有點意思，將已知的切線問題轉化成大家所熟悉的角平分線問題來探索，這是轉化思想的應用. 關于這個思路，老師也沒有想到，現在我們一起從這個角度來探討.

生9：如圖4，三角形的內心為角平分線的交點，作內切圓☉N，該圓與△ABC的AC邊形成的切點為M，則☉N的半徑r==2，tan∠PAO=tan∠BAC=tan∠MAN==，因此=，計算得r=1.

生10：如圖5，延長CA至點F，使得FA=AB，連接BF，∠F=∠BAC，tan∠F==，因此=，解得r=1.

生11：如圖6，關于∠CAB，從本質上分析就是“以∠CAB為頂點的等腰三角形的底角是90°-∠CAB”，據此，聯想到延長AC至點F，讓FA=BA，∠AFB=90°-∠CAB，所以∠FBC=∠CBA，tan∠CBF== ，由此獲得r=1的結論.

評析 課堂預設與生成是相輔相成的關系. 初中階段學生已經具備一定的抽象邏輯思維，他們常能在課堂中提出一些意料之外的問題，這些問題往往是促使課堂有效生成的催化劑. 教師在精心預設階段所設置的問題本身就蘊含了豐富的策略性與程序性知識，這些精心預設的問題常能擴大學生的心理空間，溝通學生的認知結構，實現新舊知識的關聯.

由于學生存在顯著的知識結構差異與思維方式差異，導致思維角度存在很大差別. 此處，這位學生所提出的“探尋∠CAB”的正切值，符合學生認知發展規律與化歸思想提煉的流程. 此問的提出，一方面反映了學生真實的想法，另一方面彰顯了課堂的機動性、靈活性與生成性. 教師順應學生的思維，組織學生從這個角度對問題進行探索，成功地將課堂推向了深刻的境界，這是促使教育高質量發展的表現.

實踐告訴我們，尊重學生的差異性，可讓課堂在各種思維的碰撞下迸發出絢麗的火花，使得學生形成新的更有價值的見解. 以上教學過程中，不論是從內切圓的作圖，還是從直角三角形與等腰三角形的構造來看，都體現了不同學生的不同思路，這些殊途歸一的解題方法不僅體現了數學邏輯整合的統一性，還凸顯了學生思維的開闊性與課堂的智慧性.

（四）發揮問題變式的差異性

師：大家對本題形成了豐富多彩的分析過程與解題方法，對解決這一類問題也產生了自己獨有的理解. 對于數學學科而言，一個好問題往往孕育著新問題，我們作為當下的研究者，有沒有辦法通過對問題條件、結論或圖形的變化，提出一些新的具有探索價值的問題呢？

生12：可以在原問中添加“☉O的半徑”的條件，在其他條件均不變的情況下，求PA的長度.

生13：可以將原問中的PA=2更換為PA=3，在其他條件不變的情況下，求☉O的半徑r的值.

生14：將原問中“點P位于線段AC上”的條件，更換成“點P位于線段AC的延長線上”，在其他條件不變的情況下，求☉O的半徑r的值.

生15：可把原問中“點P位于線段AC上”的條件，更換成“點P位于直線AC上”，在其他條件不發生改變的情況下，求☉O的半徑r的值.

生16：把原問中“點P位于線段AC上，AP=2”的條件，更換成“點P位于直線AC上，PC=6”，在其他條件不發生改變的情況下，求☉O的半徑r的值.

評析 思維的發展需經歷一個由淺入深的過程，缺乏深刻思考則難以讓學生成為一個真正有思想的人. 本節課若解決完原題就結束，學生的思維因為沒有經歷更多維度的錘煉，則難以在體驗與感悟中變得更加深刻. 教師鼓勵學生自主編擬變式的過程，不僅充分尊重了學生的個體差異性，讓學生擁有自由發揮的空間與機會，還從很大程度上激發了學生思維的創造性，讓學生在舒適、和諧、民主的環境下形成創新意識.

縱觀各個學生所編擬的變式問題，每個問題都體現了知識的遷移與變化，不論是由表及里還是由此及彼，抑或是由點到面，都凸顯了學生思維的深刻性與發散性. 實踐發現，這種“以生為本”的思維訓練法，可以成功克服思維定式帶來的負面影響，對進一步促進學生從多維度、多層次發展問題意識具有重要意義，同時也是提升學生數學自我監控能力的重要方法.

（五）包容學習感悟的差異性

師：大家編擬的變式太出色了，我觀察了一下，你們編擬的變式存在一題多解與一題多變，大家對于“解”和“變”在知識與方法上存在怎樣的體會與感悟？

生17：當我們在讀題、審題時，不能僅僅將目光放在問題的表面，應該從多角度、全方位地去審視. 就拿本題來說，該題從切線信息的提取與應用到∠CAB的角平分線以及∠CAB的正切值等，對于這些信息的處理與制作以及模型的建構與探索等，都體現了提取與整合信息對解題的重要性.

生18：我認為轉化與化歸思想是解決問題的核心思想，從本質上而言，解題實則為對問題進行觀察、分析、類比與聯想的過程，是將數學對象逐步轉化成學生所熟悉的簡單問題的過程.

生19：緊扣問題本質，發揮聯想與猜想是解題的靈魂. 本題不論是從三角形內切圓的制作，還是外接三角形的構造，都遵循了基本圖形為基底的原則，所構成的每一種圖形都是我們所熟悉的模型，即將未知轉化為已知是獲得解題思路的重要方法. 直角三角形的構造，將我們原有拘泥于圖形內部的思維拓展到圖形的外部，充分體現了思維的發散性對解題的影響.

評析 學生是課堂的主人. 課堂感悟是學生將課堂教學內容、解題方法、數學思想內化為自身認知結構的過程. 從該交流片段不難發現，學生在本節課的收獲頗豐. 教師作為課堂的引導者，為學生營造了一個良好的學習環境，讓學生產生積極參與的欲望，促使學生從真正意義上成為課堂的主人，鼓勵學生張揚個性、釋放靈性.

教學思考

在以發展數學核心素養為目標的當下，走進每個學生的內心世界是踐行新課標“生本”理念的基礎. 學生的差異是客觀存在的事實，作為教師，該從哪些角度，用什么方法包容學生的差異，組織好教學，彰顯教育的智慧呢？客觀對待學生的差異性、因材施教、創造性地設計教學，可進一步激發每個學生的潛能，讓每個學生都能在學習中有所發展.

本節課從五個環節分別談了學生的差異性表現以及教學措施. 從課堂預設與生成的角度來看，將學生放在課堂的首位，鼓勵學生大膽猜想與表達，不僅能有效促進課堂的智慧生成，還能深化學生的思維，提高教學質量，發展核心素養.

總之，“整齊劃一”的課堂模式已經無法適應時代發展的需求. 尊重個體差異、有序組織教學，促使學生和諧發展的教學活動是讓每個學生都能在學習中獲得不同程度發展的途徑. 作為一線教師，應在尊重個體差異的基礎上，應用好個性化的教學策略與技術，讓每個學生都能找到適合自己發展的領域.