數(shù)理同頻共

[摘 要] 教師引導(dǎo)學(xué)生從觀察凸透鏡成像的現(xiàn)象中總結(jié)規(guī)律，形成猜想，然后依據(jù)實(shí)驗(yàn)操作抽象出光路圖（構(gòu)建幾何模型），再嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)知識證明猜想. 從直觀感知凸透鏡成像的過程，上升到畫圖探求凸透鏡成像的原理，以此為例構(gòu)建起一套新型的實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式.

[關(guān)鍵詞] 實(shí)驗(yàn);建模;論證

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：項(xiàng)目學(xué)習(xí)教學(xué)以用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問題為主，其目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)問題的關(guān)鍵要素，用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)模型觀念，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識[1]. 為了推進(jìn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的落地實(shí)施，在充分醞釀準(zhǔn)備的情況下，我校在2023年10月舉辦了項(xiàng)目式學(xué)習(xí)教學(xué)研討活動，其中由一名數(shù)學(xué)教師執(zhí)教的一節(jié)物理實(shí)驗(yàn)課引發(fā)了關(guān)注和熱議. 下面結(jié)合案例進(jìn)行評析說明.

教學(xué)內(nèi)容簡析

教學(xué)內(nèi)容來自初中物理教材第五章“透鏡及其應(yīng)用”的第3節(jié)“凸透鏡成像的規(guī)律”. 凸透鏡成像的本質(zhì)是光的折射，成像規(guī)律遵循光的折射規(guī)律，這是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的知識基礎(chǔ). 在分組實(shí)驗(yàn)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從觀察凸透鏡成像的現(xiàn)象中總結(jié)規(guī)律，形成猜想，然后依據(jù)實(shí)驗(yàn)操作抽象出光路圖（構(gòu)建幾何模型），再嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)知識證明猜想. 從直觀感知凸透鏡成像的過程，上升到畫圖探求凸透鏡成像的原理，實(shí)現(xiàn)了物理學(xué)現(xiàn)象與幾何規(guī)律的一致性邏輯鏈接，這與物理學(xué)習(xí)中常見的依照實(shí)驗(yàn)直觀總結(jié)規(guī)律，再單一應(yīng)用規(guī)律的設(shè)計不同（增加了構(gòu)建模型、證明規(guī)律環(huán)節(jié)）. 由此呈現(xiàn)的前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，將激發(fā)學(xué)生對跨學(xué)科知識體系的自主建構(gòu)與融合理解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階.

系列實(shí)驗(yàn)活動及模型構(gòu)建

實(shí)驗(yàn)活動1：探究凸透鏡成像的規(guī)律

在凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)中觀察思考，像的虛實(shí)、大小、正倒、位置等與物距的關(guān)系. 以小組合作的方式，按設(shè)計實(shí)驗(yàn)、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)收集、形成猜想、分析驗(yàn)證等步驟展開探究，填寫表1.

構(gòu)建模型1：證明凸透鏡成像的規(guī)律

抽象認(rèn)識：畫出物體的像只需作出物體發(fā)出的兩條特殊光線即可，一是平行于主光軸的光線，經(jīng)凸透鏡折射后過焦點(diǎn)，二是經(jīng)過光心的光線，傳播方向不改變. 這兩條折射光線（或所在直線）的交點(diǎn)就是像的外端點(diǎn).

如圖1，CD代表凸透鏡，F(xiàn)1、F2分別代表兩個焦點(diǎn)，A′B′為物體AB（u>f）經(jīng)過凸透鏡折射后所成的像，AB∥OE∥A′B′，四邊形AEOB為矩形，可得OE=AB.

因?yàn)?OE∥A′B′，所以△EOF1∽△A′B′F1，所以==.

因?yàn)?AB∥A′B′， 所以△ABO∽△A′B′O，所以==.

又因?yàn)?OE =AB，所以=，所以u=.

當(dāng)u>2f時，即>2f，知v-f>0時有意義，得f<v<2f.

當(dāng)u=2f時，即=2f，知v-f>0時有意義，得v=2f.

當(dāng)f<u<2f時，即f<<2f，知v-f>0時有意義，得v>2f.

當(dāng)u=f時，即=f，無解，v不存在[2].

追問1：當(dāng)u=f時，圖像到底呈現(xiàn)一種什么情況呢？請畫圖展示（如圖2）.

追問2：當(dāng)0<u<f時，請計算像距的大小.

發(fā)現(xiàn)：依據(jù)圖1得出的關(guān)系式u=，當(dāng)0<u<f時，即0<<f，不等式無意義，為什么呢？

交流：u=是物體與像在凸透鏡兩側(cè)時，得出的物距u、像距v及焦距f間的關(guān)系式，根據(jù)表1，當(dāng)0<u<f時，物體與像在凸透鏡同側(cè)，所以不適用于上述關(guān)系式.

追問3：圖2是凸透鏡成實(shí)像及虛像的臨界情形，與探究凸透鏡成實(shí)像類似，我們能否借助相應(yīng)的光路圖，得到成虛像時物距u、像距v及焦距f間的關(guān)系呢？

如圖3，設(shè)0<u<f時，物體AB的像是A′B′，知A′B′∥AB∥OE，OE=AB.

因?yàn)镺E∥A′B′，所以△EOF1∽△A′B′F1，所以==.

因?yàn)锳B∥A′B′，所以△ABO∽△A′B′O，所以 ==.

又因?yàn)?AB=OE，所以=，所以u=.

當(dāng)0<u<f時，即0<<f，所以v>0. 說明像的位置可能存在多種情況.

追問4：表1中，像高與物高的大小對比情況又如何解釋呢？

由圖1結(jié)論知，當(dāng)u>2f時，f<v<2f，所以u>v. 又因?yàn)?=，所以A′B′<AB，即物體所成的像是縮小的像. 類似地，容易得出u=2f，f<u<2f等條件下像的大小變化情況. 當(dāng)0<u<f時，由圖3知==，AB=OE，所以=，又因?yàn)閒<v+f，所以A′B′>AB，即物體所成的像是放大的像. 關(guān)于像的虛實(shí)、正倒等問題，上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)過，這里不再贅述.

教學(xué)說明：總結(jié)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，去偽存真、去粗取精，形成猜想，進(jìn)而嘗試構(gòu)建實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停〗M成員在“實(shí)驗(yàn)—構(gòu)圖”的往復(fù)中漸漸抽象出實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的關(guān)鍵特征，“形”基礎(chǔ)得以建立. 圖形背景下像距與物距的關(guān)系，因?yàn)橛辛吮?中的猜想所預(yù)示的方向，尋證難度降低了，待發(fā)現(xiàn)由平行線確立的相似三角形，其間有等線段關(guān)聯(lián)時，思路豁然開朗，以此為牽引，推理多點(diǎn)“開花”. 本環(huán)節(jié)教師充分發(fā)揮了主導(dǎo)作用，設(shè)計了四個遞進(jìn)式“追問”，引導(dǎo)學(xué)生拾級而上，逐步鋪展延伸路徑，不斷強(qiáng)化和豐富著“實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象—圖形—關(guān)系式”這一探究主線，夯實(shí)著三者本質(zhì)一致性的關(guān)系基礎(chǔ)，過程中積累的活動經(jīng)驗(yàn)為探究同類問題提供了示范.

實(shí)驗(yàn)活動2：細(xì)化探究凸透鏡成虛像中物距與像距的關(guān)系規(guī)律

已知0<u<f時，v>0，實(shí)驗(yàn)觀察物距u變化時，虛像的位置變化，形成猜想，分析驗(yàn)證后填寫表2.

構(gòu)建模型2：證明凸透鏡成虛像中物距與像距的關(guān)系規(guī)律

由圖3知，凸透鏡成虛像時物距u、像距v及焦距f間的關(guān)系式為u=.

當(dāng)0<u<f時，即0<<f，得0<v<f.

當(dāng)u=f 時，即=f，得v=f.

當(dāng)f <u<f時，即f<<f，得f<v<2f.

當(dāng)u=f時，即=f，得 v=2f.

當(dāng)f <u<f時，即f<<f得v>2f.

教學(xué)說明：有了實(shí)驗(yàn)活動1的鋪墊，再類比探究凸透鏡成虛像中物距與像距的關(guān)系規(guī)律，學(xué)生的適應(yīng)性和主動性均有所提高，實(shí)驗(yàn)觀察及構(gòu)圖推證也會順利一些，隨著雷同解答思路的持續(xù)強(qiáng)化，學(xué)生將慢慢形成解決問題的“一般經(jīng)驗(yàn)”. 但是由于實(shí)驗(yàn)工具局限性及存在誤差等客觀因素，如遇到f分界點(diǎn)這類情況，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中會隱約感知但又糾結(jié)于是否準(zhǔn)確. 教師可以借此重申，在問題探究中觀察到的現(xiàn)象大多算猜想，要想認(rèn)定所謂“規(guī)律”的正確性和一般性，最終還要依靠論證. 當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)過程中的操作、觀察、嘗試等活動在問題解決中同樣不可或缺，其作用主要集中在豐富著問題的表象，預(yù)示著問題的走向和目標(biāo)方面.

實(shí)驗(yàn)活動3：進(jìn)一步探究物距變化時，像高變化的規(guī)律

在實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)2基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究物距變化時，像高變化的規(guī)律，形成猜想，分析驗(yàn)證后填寫表3.

構(gòu)建模型3：證明在一定范圍內(nèi)物距變化時，像高變化的規(guī)律

分為物體與像在凸透鏡兩側(cè)或同側(cè)兩種情況：

（1）當(dāng)物體與像在凸透鏡兩側(cè)時，滿足u>f.

如圖4，設(shè)物體AB 的像是A′B′，物體AB沿主光軸移動到MN位置時形成的像是M′N′（物體AB移動始終符合u>f），現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，主光軸F1F2為x軸，CD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)F1（ f，0），A（a，b），M（c，b）且a<c<-f<0，則F2（-f，0），E（0，b）.

用待定系數(shù)法易求得yEF1=-x+b，yMM′ =x，yAA′ =x.

所以yEF1=-

x+b，

yAA′=

x，

解得x=

，

y=

，

所以A′

，

.

同理可得：M′

，

.

因?yàn)閍<c<-f<0，所以a+f<c+f<0，于是有-（a+f）>-（c+f）>0 .

所以-<，即A′B′<M′N′.

因此，當(dāng)物距BO變小時，像高A′B′變大. 再結(jié)合表1，可得出表3中u>2f，u=2f，f<u<2f時所列結(jié)論.

（2）當(dāng)物體與像在凸透鏡同側(cè)時，滿足0<u<f.

如圖5，證明過程與（1）類似，易得到A′B′>M′N′，進(jìn)而得出當(dāng)物距BO變小時，A′B′變小. 再結(jié)合表1，可得出0<u<f時，若u變小，像高隨之變小的結(jié)論.

教學(xué)說明：在圖4、圖5中，常量與變量交錯疊合，有不變的量，如Rt△EOF1的形狀、大小，直線EF1的位置等;有變化的量，如Rt△A′B′O的形狀、大小，直線A′O的位置等. 觀察這些常量位置和變量增減趨勢，生出不同的思考視角，這是典型的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn). 隨著AB沿主光軸平移靠近CD，直線EF1不動，另一條直線A′O則呈現(xiàn)繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)，動中取靜，兩直線交點(diǎn)位置的變化一目了然，但是如何將顯而易見的現(xiàn)象推證出來，這對學(xué)生思維是一個較大的挑戰(zhàn). 建立平面直角坐標(biāo)系后，線段A′B′，M′N′被進(jìn)一步“數(shù)量化”，用動點(diǎn)A′、M′的坐標(biāo)表示后，問題豁然開朗，因?yàn)樽帜副磉_(dá)式更具一般性，強(qiáng)調(diào)了點(diǎn)變化的連續(xù)性和代表性，這種不同于利用三角形相似的函數(shù)推證方法，不知不覺間將學(xué)生的視野推向了一個新的高度.

教學(xué)思考

1. 找準(zhǔn)生長“點(diǎn)”，鋪設(shè)實(shí)驗(yàn)論證合理路徑

物理實(shí)驗(yàn)側(cè)重于現(xiàn)象總結(jié)、驗(yàn)證，數(shù)學(xué)建模更多地展現(xiàn)分析和論證，兩者是認(rèn)識事物的不同階段，不但不矛盾，還可形成優(yōu)勢互補(bǔ)的局面. 如果不同學(xué)科對同一共性問題，僅從自己學(xué)科的視角孤立地做出行動，這將限制學(xué)生的視野，束縛學(xué)生思維的發(fā)展. 但是從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象“自然”走向分析論證，需要找到問題合適的生長“點(diǎn)”，才不會牽強(qiáng)附會，因此學(xué)科融合要搭建好橋梁，控制好梯度，這其中有一個適應(yīng)、轉(zhuǎn)化、提升的過程. 如實(shí)驗(yàn)活動1中，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象—形成猜想（表1）—構(gòu)建模型（圖1）—追問1、2、3、4，整個過程中，光路圖（圖1）是一個合適的初始問題生長“點(diǎn)”，圖2、圖3是成遞進(jìn)關(guān)系的后繼生長“點(diǎn)”，這些生長點(diǎn)同在之前“實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象”及后續(xù)“規(guī)律推證”的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，可自然地鏈接雙方，鋪設(shè)出較為完整的實(shí)驗(yàn)論證路徑.

2. 突出優(yōu)勢“點(diǎn)”，展現(xiàn)數(shù)理學(xué)科不同特點(diǎn)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)就是以學(xué)科之間的共同點(diǎn)為紐帶，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法，融合成相互聯(lián)系、相互照應(yīng)、穿插進(jìn)行的體系來探究問題，學(xué)科融合不是為了削弱相關(guān)學(xué)科的優(yōu)勢，而恰恰相反，要堅守和凸顯出學(xué)科特色，這是由項(xiàng)目式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的“學(xué)業(yè)要求”決定的. 物理學(xué)習(xí)要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并歸納實(shí)驗(yàn)規(guī)律，該環(huán)節(jié)要凸顯實(shí)驗(yàn)過程中感性認(rèn)知的積累和升華，體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)歸納這一物理特色. 到建模論證階段，從表象到證明規(guī)律，數(shù)學(xué)模型中蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、知識方法等待解問題隨之而來. 如不同的幾何模型，不能相互替代，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想;解決問題，不同模型采用不同的方法（相似法或函數(shù)法），體現(xiàn)了自洽的邏輯一致性;數(shù)、式化歸時的形式變化，則體現(xiàn)出典型的代數(shù)推理特征等.

3. 打造系統(tǒng)“點(diǎn)”，構(gòu)建新型實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)教學(xué)的問題大多具有整體性，解決問題需要多學(xué)科的知識技能及方法協(xié)同. 本節(jié)實(shí)驗(yàn)教學(xué)已經(jīng)突破了實(shí)驗(yàn)操作、現(xiàn)象歸納的物理常規(guī)要求，超越了單門學(xué)科的范疇. 由歸納固化實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，到構(gòu)建模型，抽象程度逐步加深，再到后續(xù)猜想論證階段，學(xué)生會有意識地反向強(qiáng)化對實(shí)驗(yàn)過程的反思，在不斷聯(lián)絡(luò)和相互賦能中各環(huán)節(jié)漸漸凝聚，最后渾然成為一體，形成了更有價值的知識系統(tǒng)“點(diǎn)”，構(gòu)建起一套不同于傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的新型實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，具體流程見圖6，學(xué)生獲得有較大意義的研究問題的“一般觀念”. 這種“萌芽”式的教學(xué)操作，持久地在學(xué)生心田“澆灌”“施肥”，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“應(yīng)用之花”定會燦爛綻放.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]王曉峰. 對凸透鏡成像規(guī)律的幾點(diǎn)數(shù)學(xué)思考與探究[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2022（5）：21.