整體構建 提升思維 發展素養

[摘 要] 以“分式章起始課”教學為例，在單元整體數學的視角下，以學論教，依標而教，教師要教結構、教關系、教方法，使學生厘清“為何學”“學什么”“怎么學”，構建新生內容的知識、思想和方法體系，形成數學研究對象的系統思維路徑，發展學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 整體;思維;數學素養;章起始課

《義務教育數學課程標準（2022年版）》建議整體把握教學內容，注重教學內容的結構化，指出：“改變過于注重以課時為單位教學設計，整體設計，分步實施，促進學生對教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養. ”[1]在新課程改革背景下，單元整體教學已成為數學教育教學關注的重要方向，數學教師需要深入挖掘數學知識關聯，科學構建教學內容的知識、思想和方法體系，引導學生完善數學認知結構，形成數學研究對象的系統思維路徑，發展學生的數學核心素養. 筆者以蘇科版教材八年級下冊第10章“分式章起始課”教學為例進行探索，現將教學過程與思考整理如下，以饗讀者.

教前思考

1. 單元架構，統領整章教學

單元架構的梳理定位于整體，價值在于統領，通過理脈絡、搭框架、繪藍圖對全章頂層設計和統籌布局，有助于學生站在整體高度認識本單元知識間的關聯. 基于學生已有知識經驗和認知水平，可以按照“大概念→基本問題→衍生內容→課時安排”的邏輯思想進行統整，揭示主要知識點之間的關聯，促進結構化的理解，對教學內容實現宏觀把握. 整個單元共計劃10課時，具體單元整體教學內容如下（如圖1）.

2. 整體建構，優化認知結構

章起始課的教學從知識內容的整合、思想方法的滲透、學習活動的開展等角度均站在整體高度，將教學內容結構化，有利于學生將數學知識結構內化為良好的認知結構. 如“分式章起始課”教學，讓學生明晰：（1）“為何學”：解決實際問題時會產生兩個數（式）相除（不能整除）的運算，回顧與展望數系和代數式系的擴充歷程，上聯下延，感受學習分式的必要性和數學知識的整體性. （2）“學什么”：通過觀察若干個不能整除的式子，歸納這一類代數式的共同特征，抽象出分式，通過對分數、整式內容的類比，展望分式內容框架. （3）“怎么學”： 分式的概念是在數與數的運算的基礎上，用字母表示數后建立起來的，分式的運算依賴分數的運算，也是分數運算的一般化. 把分數的學習經驗類比遷移到分式的學習，研究問題的方式相通，思想方法也一脈相承.

教學設計

板塊1 為何學——數眼審視世界，發現研究對象

問題1：從小學到現在，數系經歷了一個怎樣的擴張過程？初中階段學習了用字母表示數后，就有了代數式，我們已學習了哪些類型的代數式？類比學習數的擴張過程，請你試著展望代數式的擴張方向.

問題2：京滬鐵路是我國南北走向的大動脈之一，是我國客貨運較繁忙、增長潛力較大的鐵路干線，全長1462 km，客車的速度是貨車的2倍，若從上海到北京貨車比客車多用6 h，你能嘗試用方程描述其中的數量關系嗎？

追問：如何表示貨車、客車從上海到北京需要多長時間？

設計意圖 問題1從數學內部回顧對已學習數系的擴張過程，通過把數抽象為字母，類比展望代數式的擴張方向，由數到式，感受數式通性，依據數學知識發展的邏輯必然性提出問題，符合學生的認知規律，激發學生探究的欲望. 問題2以生活中京滬鐵路為背景，學生通過自主探究形成用字母表示數的意識，進而用代數式分別描述貨車、客車從上海到北京所需的時間，體會學習分式是源于解決實際問題的需要，感受學習分式的必要性，點燃思維火花.

板塊2 學什么——研究對象特征，生成分式概念

問題3：已知整式x3和x3+xy，你能用這兩個整式進行哪些運算？

追問1：你能寫出運算的結果嗎？

追問2：觀察以上問題中得到的代數式、、、、、2x3+xy、-xy、x6+x4y、，你能嘗試對這些代數式進行分類嗎？

追問3：你能對、、、、這類代數式起個名字嗎？你能給分式下個定義嗎？

設計意圖 通過開放的設問，從數學內部的運算視角，讓學生體會整式不僅可以進行加減法和乘法運算，也可以把兩個整式相除，有利于完善學生的知識結構，明晰分式正是源于兩個整式相除（不能整除）的運算. 學生觀察、比較以上問題中得到的代數式，感知整數相除與整式相除的異同，基于數式融合從特殊到一般，為自然生成分式概念尋找生長點，通過數學抽象逐步呈現出分式的基本形態，明晰這一類代數式的特征. 師生交流后歸納出分式的概念，形成如圖3所示的結構圖.

問題4：回憶已經學過分數、整式的哪些內容，類比思考，對于分式可能要學習哪些內容？試展望分式的研究路線圖.

設計意圖 分式內容是分數知識的遷移與升華，也與整式內容對立與統一，基于分數與分式相同的結構，喚醒學生對學習分數、整式時的內容的回憶，以此幫助學生構思本章將要研究的內容. 師生交流后從整體上搭建分式的研究框架——“定義→性質→運算→應用”（如圖4），從而解決“學什么”.

板塊3 怎么學——求同喚醒經驗，類比建構方法

問題5：從以上問題得到的分式中挑幾個，提出幾個待研究的問題并嘗試解決.

設計意圖 設置開放性問題，對比分數學習內容，學生提出一些關于分式的值、運算等問題，研究分母的取值范圍，得出分式有意義的條件. 引導學生比較分數與分式在運算對象及運算意義上的聯系與區別，歸納出分數與分式運算符號的意義是相同的，只是運算對象用字母代替了數，分式運算的本質就是分數運算的一般化，啟迪學生把分數運算的經驗和方法遷移、抽象到分式學習中，用聯系的、發展的眼光看問題，激活思維，為“怎么學”做好鋪墊.

問題6：回憶分數的基本性質是什么？分式是否具有與分數類似的性質？

觀察與思考：取M個長為b m、寬為a m、面積為10 m2的矩形，按如圖5所示拼成大的矩形，你能用不同的式子表示b嗎？你有什么發現？

追問：把長為a m、寬為b m、面積為10 m2的矩形按如圖6所示的方法平均分成N個小矩形，你能用等式描述b的不變性嗎？

設計意圖 分數與分式具有相同的結構特征，通過類比與猜想可得分式也具有與分數相同的性質，但這種“經驗式”的猜想并不能讓人信服. 設置將矩形拼接與分割的數學活動，利用幾何圖形表示數量關系，以數學實驗為手段幫助學生驗證猜想的合理性，以形助數，深化思維，有利于提升學生的幾何直觀、運算能力、推理能力和創新意識.

問題7：本節課你學習了哪些知識？是用什么方法研究分式的？接下來我們將學習什么內容？

設計意圖 編筐窩簍，全在收口. 通過小結梳理借助框架圖把不同階段的學習內容聯系起來，同時對后續學習內容及學習方法進行展望與暢想，形成分式學習的單元認知結構（如圖7），有利于完善學生認知體系. 經歷數式通性、類比學習，總結研究分式的思考路徑，激發了學生的學習動機，提升了學生思維的深刻性.

教學反思

只有理解數學、理解教材、理解教學，才能整體謀劃教學環節，科學合理地整體建構單元知識框架，探尋一般研究路徑，實現學生情感真升華、思維真提升、素養真發展的目標.

1. 重視整體教學設計，知識內容結構化

數學知識、學習方法之間往往有潛在的聯系，新知學習時，需讓學生建立起將要學習知識與已學知識之間的關聯，找到新知的“生長點”與“延伸點”，將新知納入已有知識體系中，結構化后構成有機整體，進而形成合理的思維鏈. 教學設計時可通過類比、“數學導游圖”、知識“生長樹”等方式整體建構知識框架，使學生對所學內容的系統結構做到心中有“圖”，形成良好的認知結構，進而在后續研究新的問題時有章可循，自然“觸發”認知結構中的某個節點，整體聯動思考問題.

本課例中通過回顧數系擴張，對代數式的擴張進行展望，對比分數，抽象出分式“形式+條件”的本質，類比分數、整式的知識框架結構，規劃出分式的研究內容框架. 上聯下延，洞悉知識的起源，展望新的研究方向，整體把握知識的來龍去脈，知識關聯使新知自然發生，符合學生的認知規律，逐步擴大學生的認知領域.

2. 重視數學活動體驗，方法形成過程化

章建躍博士曾說：“變化的是研究對象，不變的是研究路徑和方法，使學生在‘重復’使用基本套路的過程中，領悟數學思想方法，學會思考，學會解決問題. ”教學設計時教師要為學生構建目標明確、邏輯連貫、過程清晰的學習路徑，使學生能更加積極、主動地參與學習，學會自主探索新知，形成良好的“經驗型”思維習慣，這也是科學研究的“基本之道”，是“使學生學會思考”的關鍵[2]，能有效提高學生的學習效率和內驅力，提升數學核心素養.

問題6中利用分數與分式在結構上的同源性，類比分數猜想分式的基本性質，但由于分數與分式形式上的差異性，這種猜想未必可靠. 教師并未“權威性”地給出結論，而是又設計了將矩形拼接與分割的學習活動，利用幾何圖形表示數量關系，通過“形”的變化觀察“數”的規律，幫助學生驗證猜想的合理性. 教師不惜時、不惜力，通過創設觀察、猜想、計算、推理、驗證、遷移運用等學習活動讓學生經歷“完整化”的學習過程，其探索過程雖煩瑣，但學生渴求驗證理性結論的欲望卻更強烈了，激發了學生學習的興趣. 形成的數學學習的“套路”和基本活動經驗也被納入學生原有的認知結構中，優化思維方式，在今后解決類似問題時將得到自然激發.

3. 重視核心素養表現，思維提升可視化

以提升核心素養為導向的教學，“怎么教”比“教什么”更重要，知識是顯性的、具體的，是發展能力的基礎，掌握“四基”“四能”既是落實素養目標提升的前提，也是數學素養目標在日常教學中的具體化[3]. 將核心素養提升落實在“四基”“四能”的學習中，通過設置有效的數學活動，提供能引發學生真實思考的情境與問題，讓學生在發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中學會觀察、思考與表達，讓知識生成和思維生長可視化，提升數學核心素養.

本節課的新課引入環節先從數學內部讓學生回憶數的擴張過程，并展望得出代數式內容的擴張方向，幫助學生形成結構化認知，使學生的思考有方向，進而形成科學的思維習慣. 思維的生長主要依賴于具體問題的解決，在分式性質的探究環節，通過觀察與猜想、分析與綜合、歸納與演繹等培養思維的基本方法，以問題促思考，培養學生的應用意識和創新意識，使學生養成有條理的思維品質. 在課堂小結環節，把不同階段的學習內容聯系起來，從知識、思想方法、研究路徑等角度使學生的數學認知在更高層次上進行了重構，形成上位認知，實現了思維進階. 這樣的學習活動其實是數學核心素養目標在本節內容課堂教學中的具體化，也是本節課的出發點與歸宿，能促進學生真正進行主動的、有意義的學習，理解和領悟知識生成、方法獲得、思維創造的過程，引領學生進行課堂以外的自覺探究，埋下了探索的種子，讓學生的思維提升有了生命力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]劉乃志，江守福，安志軍. “整體數學”教學研究與實踐探索——以“分式”教學為例[J]. 中國數學教育，2021（23）：18-22.

[3]李樹平. 立足整體 關注邏輯 提升素養——“同底數冪的乘法”章起始課教學設計與反思[J].中學數學月刊，2024（1）：23-26.