初中數學項目式學習的設計與實施

[摘 要] “足球中的數學奧秘”通過設置情境，引導學生在自主探索的過程中逐步建構起數學學科核心知識，并且遷移到新的問題的解決過程中，呈現了數學學科項目化學習的主題確立、目標確定、活動方案設計與實施、成果展示及評價等各個環節的做法和經驗.

[關鍵詞] 數學學科;項目式學習;足球;多面體

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數學課程標準（2022年版）”）明確指出第四學段7～9年級的學業要求：經歷項目式學習的全過程. 其中包含“能綜合運用數學和其他學科的知識與方法，在實際情境中發現問題，并將其轉化為數學問題;能獨立思考，與他人合作，提出解決問題的思路，設計解決問題的方案”等要求[1]. 項目式學習作為現階段數學教學改革的新課題，成了教師教育教學中關注的熱點問題.

然而，如何發掘合適的項目，成了項目式學習的關鍵和難點. 九年級上冊閱讀材料“美妙的鑲嵌”中涉及正多邊形內角的計算、鑲嵌方案的設計等數學知識在房屋裝修、美學中的應用問題. 本項目將“平面鑲嵌”拓展到“空間搭建”，結合時事熱點“卡塔爾世界杯”，探究了足球結構中的數學問題，開展了符合學生興趣，能夠促進學生用數學的眼光觀察世界的項目式學習的實踐.

項目背景

電視節目《最強大腦——尋找阿基米德》播出后，“阿基米德多面體”這個神秘的名詞一下子火了. 在《最強大腦》節目中，作為“32進24”環節的考題，阿基米德多面體難倒了很多腦力高手. 一時間，網上出現許多關于阿基米德多面體的熱議，就連2019年高考數學全國卷Ⅱ中也出現了有關阿基米德多面體的考題. 這又把阿基米德多面體推到了輿論的風口浪尖，學生對這個話題有著強烈的探索欲望.

足球的原型——“足球烯”就是一種阿基米德多面體（半正多面體），借著2022年卡塔爾世界杯舉辦的契機，本文的實踐中開啟了整個項目. “足球中的數學奧秘”以足球為載體，通過對足球的探究一步步揭秘“柏拉圖多面體”和“阿基米德多面體”的搭建規律和搭建方法. 通過項目探索加深學生對核心知識的了解的同時，培養學生幾何直觀和空間觀念的數學核心素養，讓學生體會神秘的數學背后的文化之美. 本項目探究的是“足球”本身的數學結構，跨數學和藝術兩大學科領域，契合項目式學習關注現實問題的解決、關注跨學科、關注數學表達等要求.

項目設計和目標

為確保項目式學習的順利開展，突出項目式學習的特點，本項目的設計包含三個子項目. 各個項目的設計既側重數學學科核心素養的達成，又兼顧5C素養目標的落實（如圖1）.

活動方案及實施

（一）前期準備

1. 教學前學習：文獻+網絡，學習阿基米德多面體、柏拉圖多面體、歐拉公式等相關知識.

2. 材料：《世界杯歷屆官方用球》視頻資料.

3. 思維工具：磁力片——正三角形×20，正四邊形×18，正五邊形×12，正六邊形×20.

4. 分組分工：對學生進行分組，6人一組，組內自主完成分工（表1）.

（二）實施過程

1. 問題驅動

觀看視頻《世界杯歷屆官方用球》，從1930年的烏拉圭到2022年的卡塔爾，共22屆世界杯比賽. 直到1970年墨西哥的第9屆世界杯，國際足聯才正式引入世界杯專用足球的概念（如圖2）. 而這種設計從1970年一直沿用到2002年，在2018年又卷土重來. 可見，1970年的這種足球設計是使用次數最多、應用最廣的. 該足球（電視之星，如圖3）由32塊黑白相間的正五邊形（黑）和正六邊形（白）組成，配合均勻的縫制使足球擁有更加渾圓完美的外形. 這也是我們最常見的足球類型. 由此，你能提出哪些值得研究的問題？

通過學生提出的問題將本項目探究的方向落在：足球為什么用正五邊形和正六邊形拼接而成？用其他的正多邊形可不可以呢？這種拼接的優勢在哪里？

設計意圖 入項是學生進入項目學習內動力的開始. 入項要讓學生真正喜歡這個項目，產生問題意識，對驅動問題有內在的探索欲和求知欲，主動地投入項目之中. 通過觀看視頻，引發學生對足球設計的好奇，引導他們自己提出問題，培養其問題意識的同時，激發其探究的愿望和熱情.

2. 項目一：足球表面的基本幾何元素

我們知道三角形的內角和是180°，那么四邊形、五邊形、六邊形呢？n邊形呢？

任務1：探究多邊形的內角和與邊數n之間有什么關系（如圖4）？

我們把各邊相等，各內角也相等的多邊形叫作正多邊形.

任務2：探究正n邊形各內角度數（如圖5）.

對于七年級學生來說，多邊形內角和度數是新知，教師引導學生利用小學已經學過的三角形的內角和是180°完成項目. 學生小組合作探究，并用恰當的方式記錄結果，由組長指派組員上臺匯報. 教師根據學生的完成情況進行如下的過程性評價（見表2）.

設計意圖 通過探究正多邊形的內角和，學生經歷轉化化歸的過程，體驗解決問題的過程. 在探究過程中學生發現隨著正多邊形邊數的增大，內角度數也會增大，為后續的探究奠定基礎.

3. 項目二：探究足球的搭建規律

如果不考慮足球表面的弧度，足球可以抽象為如圖6所示的多面體（足球烯）.

任務1：觀察這個多面體，每一個頂點是如何構成的？

判斷：下列圖形哪些可以構成多面體的頂點（如圖7）.

由此你發現構成多面體需要具備哪些條件？

學生通過任務1，發現多面體的基本搭建規律. 完成多面體的搭建需符合以下兩個基本條件：條件一，每個頂點出發至少要三個面;條件二，把所有與一個頂點相遇的角加起來，它們的和小于360°.

任務2：探究用一種形狀的正多邊形磁力片搭建多面體的方法并完成搭建.

任務3：記搭建的多面體的頂點數為V，面數為F，棱數為E. 你發現多面體頂點數V、面數F和棱數E之間有什么關系？

學生運用搭建的兩個條件，嘗試完成用一種形狀的正多邊形磁力片搭建多面體（如圖8）. 在搭建的過程中，學生發現正多面體（柏拉圖多面體）只有5個，并根據統計的多面體的頂點數V、面數F、棱數E，發現歐拉定理：簡單多面體的頂點數V（vertex）、面數F（face）和棱數E（edge）之間有關系，即V+F-E=2.

教師根據學生的實踐情況進行如下的過程性評價（見表3）.

設計意圖 研究了足球表面的幾何元素以后，進一步從足球結構的一個頂點出發探究足球的搭建規律. 從中發現用一種形狀的正多邊形搭建的多面體只有5種，事實上這5種多面體都可以作為新的足球結構. 這個探究環節的設計，讓學生明確了足球搭建的基本規律，為后續用兩種形狀的正多邊形搭建新的足球結構奠定基礎.

4. 項目三：設計足球新的搭建方法

任務1：足球由32塊黑白相間的正五邊形（黑）和正六邊形（白）縫制而成. 請計算黑色塊和白色塊的數量分別是多少，并用磁力片搭建足球結構.

學生運用方程、歐拉定理等計算足球中正五邊形和正六邊形的數量，通過組員之間的合作完成足球結構的搭建（如圖9）.

任務2：探究用兩種形狀的正多邊形磁力片搭建新的足球結構的方法并完成搭建. （注：可以先考慮從一個頂點出發的各種組合的可能性，再進行搭建）

學生通過由一個頂點出發的多邊形的組合的可能性，尋求盡可能多的搭建方法（如圖10）. 教師引導學生進行評價，若選作足球結構哪些多面體比較合適，并說明理由.

任務3：說明足球采用“正五邊形+正六邊形”結構的合理性.

教師展示圖片（如圖11），說明本節課中學生搭建的多面體都可以用來作為足球結構. 學生通過項目化學習的過程和體會，交流自己的看法，教師根據學生的探究情況進行如下的過程性評價（見表4）.

設計意圖 學生經歷了“柏拉圖多面體”的搭建后，進一步體會搭建的基本原則，并以此為基礎探究足球結構中的搭建奧秘. 進而，通過項目化學習的各個過程思考“正五邊形+正六邊形”結構的合理性.

5. 終結性評價

教師根據學生完成整個項目的情況進行如下的終結性評價（見表5）.

本次“足球中的數學奧秘”項目的開展，是課堂教學改革的重要嘗試. 項目主題容易激發學生的問題解決主動性. 基于問題的活動設計、方法指導、過程引導、成果展示為學生有效實施目標、最終成功解決問題提供了支持和保障.

本項目化學習課例僅展示了部分內容，后續還將針對“足球場中的數學”“賽程（比賽場次）設計”“傳球站位和角度”“射門時球的弧線”等展開持續研究.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.