工程教育認證下“概率論與數理統計”教學改革

［摘 要］ “概率論與數理統計”是理工和經管類各專業的數學基礎課程，課程中的方法在解決實際問題時應用廣泛。但是該課程理論性強、學習難度大，課程教學中通常存在課時少、實踐少、學用分離等教學痛點，不符合工程教育認證理念。分析了防災科技學院地質工程專業工程教育認證對“概率論與數理統計”課程的要求，以及大學傳統的數學課堂教學存在的問題，結合地質工程專業發展規劃和應用型人才培養目標，探討如何進行數學類課程的教學改革，以達到工程教育認證標準。

［關鍵詞］ 工程教育認證；概率論與數理統計；教學設計；教學改革

［基金項目］ 2023年度防災科技學院教學研究與教學改革項目“工程教育認證體系下大學數學課程教學改革與實踐——以地質工程專業為例”（JY2023B20）；2023年度防災科技學院一流課程建設項目“‘概率論與數理統計’一流課程建設項目”（ylkc202348）

［作者簡介］ 張艷芳（1979—），女，山西陽泉人，碩士，防災科技學院數學教研室副教授，主要從事大學數學教學研究和統計模型應用研究。

［中圖分類號］ TP393 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）32-0090-04 ［收稿日期］ 2023-07-10

引言

工程教育認證是國際通行的工程教育質量保證制度，是工程師制度改革工作的基礎和重要組成部分。大學數學基礎課程為高等工程教育奠定了應用數學的重要理論基礎。工程教育專業認證的通用標準中列出了12條畢業要求，大學數學類課程至少可以支撐以下兩項畢業要求：（1）基本數學知識。能夠將數學、自然科學、工程基礎和專業知識用于解決復雜工程問題。（2）應用數學分析問題。能夠應用數學、自然科學和工程科學的基本原理，識別、表達并通過文獻研究分析復雜工程問題，以獲得有效結論。但當前大學數學課程存在“學用分離”的教學痛點，不能為專業提供全部的支撐。因此，各工程專業立足于工程教育認證理念，開展了廣泛的教學改革研究［1-3］。這些改革從課堂教學設計、教學模式、質量評估等多方面進行了實踐，并取得了一定成果。工程教育認證理念下大學數學類課程教學改革起步相對較晚，但已引起了國內高校教師的重視，公共基礎數學課教師對不同的數學課開展了相應的教學改革。這些改革中有針對大學數學基礎課程教學體系和教學方法的改革［4-5］。關于工程教育認證下“高等數學”教學改革的研究相對較多，其中王國強等［6］結合高等工程教育專業認證對數學的基本要求，進行了“高等數學”的教學改革與實踐；周廷慰［7］在工程教育認證的大背景下，研究了在“高等數學”課程的改革與實踐中，通過調整“高等數學”課程知識點的廣度與深度，使得課程內容滿足工程教育認證的需求；張爽等［8］以函數極值的內容為例，結合教學過程中課前預習、課中學習、課后檢驗和課外拓展等四個主要環節進行教學設計，旨在促進“高等數學”課程教學質量的提高；還有學者針對工程教育認證背景下“高等數學”教學模式和教學目標的改革進行了研究［9］；部分學者開展了“離散數學”教學的改革研究［10］，“離散數學”是計算機專業基礎課程之一，為了滿足離散數學在高等工程教育專業認證中的支撐目標，通過分析專業認證下離散數學需要滿足的支撐點，指出“離散數學”課程目前存在的問題，從課程設計、教學方法和考核方式等三方面進行討論，指出改革方案；張蕾等［11］針對普通高校計算機專業的“線性代數”課程進行了探索與建設，以專業知識為載體，以工程認證為導向，扎實提高學生全方位的能力與素質；黃煜可等［12］以北京郵電大學的概率系列課程為例，探討如何優化面向工科學生的數學類公共基礎課程的教學設計，以便更好地配合相關專業教學改革和工程教育專業認證，實現培養優秀工程人才的目標，提出了“一體兩翼”、教學內容模塊化的教學設計整體思路；朱洪強等［13］分析了南京郵電大學開設的“概率統計”課程情況，根據專業需要，構建了新的課程框架，最后提出了“概率統計”課程的教學方法改革內容，包括教學內容要與實際問題結合、注意學生能力的培養和一種新的授課形式；鄧海晨等［14］展示了面向網絡空間安全學院的“概率論與數理統計”教學改革思路和成果。

以下以我校地質工程專業工程教育認證對“概率論與數理統計”課程的要求為例，分析概率統計課堂教學存在的問題，結合本校地質工程專業發展規劃和應用型人才培養目標，探討如何進行數學類課程教學改革，以達到工程教育認證標準。

大學數學課程在對地質工程專業的畢業生要求中主要體現在以下兩點：（1）掌握從事地質工程領域相關工作所需的數學、自然科學、工程基礎和專業知識，并將其用于分析和解決地質工程領域的復雜工程問題。（2）能夠應用數學、自然科學知識和工程科學基本原理，識別、表達并通過文獻研究分析地質工程領域的復雜工程問題，以獲得有效結論。這里總結為兩方面，一方面是工程中所需要的基礎數學知識，另一方面是應用數學解決復雜工程問題。

一、概率統計課堂存在的問題

（一）課程內容多，理論抽象繁雜，學生難以理解

“概率論與數理統計”課程包括五章概率論內容和四章數理統計內容，概率論部分理論性強；數理統計部分方法性強，且公式煩瑣。作為后續專業的公共基礎課，學生難以建立課程內容與專業課之間的聯系。課程內容存在很多抽象的概念和定理的證明，學起來有一定難度。

（二）傳統教學方式導致學生參與度不夠

傳統的教學模式是板書+多媒體課件教學。教學過程中以教師講授為主，教師不了解學生的需求，多媒體展示速度較快，且教師和學生交流少，不能及時了解學生掌握知識的情況，學生在課堂跟不上教師的節奏，導致學生感到課堂乏味，被動接受知識，不能有效提高教學效果。

（三）課程以學習理論知識為主，缺乏數學實驗和軟件應用

學生對課程的認識還停留在課本題目計算上，實際應用能力較差。在教學內容中，概率論是基礎，數理統計是在概率論基礎上的推斷應用。因此數理統計部分更注重實際問題的解決，教學過程中涉及大量繁雜的公式和煩瑣的計算，如果課程不設實驗課，學生學完課程就只會做題，不會軟件求解。

（四）課程思政內容不深，導致育人效果不顯

“概率論與數理統計”課程內容豐富，與實際生活聯系緊密，蘊含著豐富的思政元素。傳統的授課更注重知識目標，輕能力目標和素質目標，且課時緊張，教師在教學過程中未能充分挖掘思政元素，立德樹人的任務完成得不充分。

（五）考核方式不完善

教學評價手段單一，平時成績主要集中在出勤、作業、小測驗等，忽略了過程性考核和多元評價，導致學生學習的積極性不高。

考慮到概率統計課程對地質工程專業的要求，結合當前概率統計教學中存在的以上問題，概率統計課程團隊進行了相關教學改革。具體用以下例子說明。

二、概率統計課程教學設計改革

中心極限定理是概率論中最著名的結果之一。定理提出了大量隨機變量之和的近似分布為正態分布。它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且解釋了為什么很多隨機現象服從正態分布這一現象。這部分內容的特點是理論性太強、定理抽象，通過過去的授課經驗可以知道學生一方面會覺得直接給出定理很突兀，不理解為什么大量的隨機變量之和近似服從正態分布；另一方面對定理的來龍去脈，以及其在整個課程中的地位和作用不清楚，學習完后只會仿照教師的解題步驟機械做題。下面從以下幾個步驟設計這節課。

（一）由引例引出問題

引例：設各個零件的重量都是隨機變量，他們相互獨立且服從相同的分布，其數學期望為0.5 kg，均方差為0.1 kg，問5 000個零件的總質量超過2 510 kg的概率是多少？

引導學生分析該問題的關鍵是大量隨機變量和的分布是怎樣的。

（二）實物演示高爾頓版實驗

自上端放入一小球，任其自由下落，在下落過程中，當小球碰到釘子時，從左邊落下與從右邊落下的機會相等，碰到下一排釘子時又是如此，最后落入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，則此球落入哪一個格子，預先難以確定；但是如果放入大量小球，則其最后呈現的曲線幾乎總是一樣的。觀察這個實物演示，提出問題：為什么大量小球落入格子所呈現的曲線幾乎是一樣的呢？

（三）軟件操作展示不同分布隨機變量之和的密度曲線圖

分別給出多個獨立同二項分布、獨立同泊松分布、獨立同均勻分布和獨立同指數分布的隨機變量圖形。圖形展示既可以讓學生直觀地看到多個獨立隨機變量之和的密度曲線越來越接近正態分布，也可以為學生演示軟件的使用。

這時引導學生思考剛才的高爾頓版實驗，小球落下的輪廓曲線也呈現出正態分布的密度曲線，進一步從直觀上讓學生有了多個獨立隨機變量之和的近似分布為正態分布這樣的印象，此時給出定理內容就相對自然，學生容易接受，且印象深刻。這部分不但用圖形展示了多個獨立隨機變量之和近似服從正態分布，也體現了軟件求解，引導學生在課后應用軟件求解概率統計中的問題。

（四）獨立同分布的中心極限定理

由以上分析給出獨立同分布中心極限定理的內容。講解定理并強調定理的條件及結論。給學生兩分鐘時間，讓學生與同桌互相討論并對同桌說出定理的條件和結論，為定理應用做好準備。作為獨立同分布中心極限定理的特殊情形，引導學生總結棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的內容，應用獨立同分布中心極限定理求解引例，演示定理如何使用。

（五）棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

在獨立同分布的中心極限定理中，假設X1，X2，…，Xn是獨立并均服從（0-1）分布，可以得到棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的內容。因此棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理可以看作獨立同分布中心極限定理的特殊情形。通過這種方式給出棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，既可以引導學生思考，鞏固其剛學的獨立同分布的中心極限定理，又可以給出新定理。

（六）融入課程思政

獨立同分布中心極限定理只要求隨機變量相互獨立且同分布，對隨機變量服從哪種分布沒有要求，但最終這些隨機變量和的分布卻都近似于正態分布，這體現了從量變到質變的辯證法。中心極限定理是經過兩百多年的時間，很多統計學家和數學家總結、證明和完善的，體現了做任何事情都要不斷探索和堅持。

通過以上教學設計，學生對理論性較強的中心極限定理的理解相對容易，印象深刻。課程設計以學生為中心，培養學生能將實際問題轉化為數學問題的能力，以及應用軟件分析問題的能力。

結語

本文通過分析了工程教育認證對“概率論與數理統計”的要求以及大學數學傳統課堂教學存在的問題，結合本校地質工程專業發展規劃和應用型人才培養目標，探討如何進行數學類課程的教學改革，以達到工程教育認證標準。以中心極限定理為例展現了概率統計課程的教學設計。在今后的教學中以學生學習為中心，通過信息化教學手段充分調動學生的積極性，使其參與到課堂中。將案例教學法、討論法、演示教學法融入課堂，做好專業支撐。

參考文獻

［1］唐剛，李志彪，鄧小珍，等.基于工程教育認證的“機械設計制造及其自動化”專業人才培養研究［C］//中國國際科技促進會國際院士聯合體工作委員會，南洋科學院.教育科學發展科研學術國際論壇論文集（二）.南昌工程學院機械工程學院，2022：3.

［2］HAWA D R. Ethics instruction in engineering education： A （mini） meta-analysis［J］. Journal of Engineering Education，2001， 90（2）：223-229.

［3］吳子平，肖健.工程教育認證背景下課程思政教學探索與實踐：以粉末冶金技術課程為例［J］.高教學刊，2022，8（35）：106-109.

［4］章培軍，王震，惠小健，等.工程教育認證背景下數學類課程的教學改革［J］.當代教育實踐與教學研究，2020（12）：36-37.

［5］王樹忠，于祿，石宇靜.基于工程教育認證的數學教學模式的探索［J］.吉林廣播電視大學學報，2020（4）：66-67+70.

［6］王國強，鄭中團，張居麗.基于工程教育專業認證的高等數學教學改革探索與實踐［C］//Advanced science and industry research center.proceedings of 2018 3rd international conference on education and management science（ICEMS 2018）.上海工程技術大學數理與統計學院，2018：5.

［7］周廷慰.工程教育專業認證體系下的“高等數學”課程改革與實踐［J］.佳木斯大學社會科學學報，2022，40（5）：230-233.

［8］張爽，張敬.工程教育專業認證背景下高等數學課程中函數極值的教學設計［J］.科技風，2022（16）：108-110.

［9］李文波，洪佩璇.工程教育專業認證背景下《高等數學》的教學目標與要求研究：以惠州學院電子信息工程專業為例［J］.惠州學院學報，2021，41（3）：124-128.

［10］葛蕓，冷璐，王星.面向工程教育專業認證的離散數學混合式教學模式研究［J］.高教學刊，2022，8（22）：121-124.

［11］張蕾，魏立斐.工程教育認證背景下計算機專業“線性代數”教學探索［J］.科教導刊（中旬刊），2020（8）：118-119.

［12］黃煜可，閔祥偉，胡細寶，等.基于工程教育專業認證的概率系列課程“一體兩翼”的教學設計［J］.北京郵電大學學報（社會科學版），2022，24（5）：92-101.

［13］朱洪強，王小芳.概率統計課程的教學內容改革與研究：基于工程專業認證背景的思考［J］.學周刊，2016（34）：16-17.

［14］鄧海晨，黃煜可.基于工程教育認證的概率統計課程教學改革［J］.新教育時代電子雜志（教師版），2021（30）：107-108.

Teaching Reform of Probability Theory and Mathematical Statistics under Engineering

Education Certification

ZHANG Yan-fang， HUO Zhen-xiang， WANG Fu-chang， ZHAO Yi-bin

（Mathematics Teaching and Research Section， Institute of Disaster Prevention， Sanhe，

Hebei 065201， China）

Abstract： Probability and Mathematical Statistics is a basic mathematics course for all majors in science， technology， economics， and management. The methods in the course are widely used in solving practical problems. However， Probability and Mathematical Statistics is highly theoretical and difficult to learn， and the course usually suffers from the teaching pains of few teaching hours， little practice， and separation of learning and use， which is not in line with the concept of engineering education accreditation. This paper analyses the requirements of Probability and Mathematical Statistics for the engineering education certification of geological engineering in our university and the problems of traditional mathematics classroom teaching in the university and discusses how to carry out the teaching reform of mathematics courses to meet the standard of engineering education certification in the light of the development plan of geological engineering and the cultivation goal of applied talents in universities.

Key words： engineering education accreditation; Probability and Mathematical Statistics; teaching design; teaching reform