理解數的建構方法，感悟數認識的一致性

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱“新課標”）著重指出，教學應促進學生“感悟數的概念本質上的一致性”。把握數之精髓，核心在于洞悉其構建方法，即無論是整數、分數還是小數，其本質均為計數單位多次累加的結果。本文以蘇教版“小數的意義和性質”為例，遵循“具體—抽象—具體”的認知規律，建立數的整體結構，引導學生感受數的本質的一致性。

一、剖析教材，促進有效教學

蘇教版教材中關于“小數的認知”劃分為兩個階段：第一階段編排在小學三年級下冊，側重于在貼近生活的具體情境中讓學生初步感知小數，重點體會一位小數的含義；第二階段編排在五年級上冊，引導學生脫離具體情境，抽象地把握小數的全面內涵。計數單位作為數的認知教學的核心概念，其重要性不言而喻。本文以五年級上冊“小數的意義和性質”為例，借助人民幣、數線、正方形等多個數學模型，知道分數與小數的關系，會進行分數與小數的互化；認識小數的計數單位，發展遷移、類推的能力；了解整數、小數和分數之間的聯系，感悟數認識在本質上的一致性；理解小數的意義，使學生掌握十進制數的建構方法，幫助學生形成整體化、結構化的思維。本教學設計緊密圍繞“計數單位”與“數量”這兩個核心維度展開教學活動，通過設計結合精確表征小數的教學任務，激發學生的創新思維，促使他們探索并創造出新的計數單位，親身體驗從“連續十等分到再次計數”的動態過程。此過程融合了操作實踐、類比推理、知識遷移、抽象思維及總結概括等多種學習活動，逐步加深學生對小數本質的理解，同時促進學生建立起小數與整數、分數之間的橋梁，從而使學生全面理解十進制數的建構方法，深刻感悟數認識的一致性。

二、精心設問，引導深度學習

（一）復習舊知，導入新課

師：數的學習，離不開數。如果用一個正方形代表1，一個一個地數，十個一就是十；如果十個十個地數，十個十，就是一個百。那如果一百一百地數；十個百就是一個千。個、十、百、千，這些都是我們熟悉的整數的計數單位。如果按照這樣一直數下去，可以產生更多新的計數單位，而且會認識更多更大的數。

（二）自主探究，深入學習

師：如果從1開始，分一分，會產生什么數呢？

生1：分數。

生2：小數。

1.比較交流，認識一位小數

師：課前，請同學們通過畫一畫、分一分的方式表示0.7。課件出示（見圖1）：

師：你們知道他們是怎么想的嗎？

生1：10個1角就等于1元，再從1元中抽取7角，是元，也就是0.7元。

生2：圖1中右下角的圖總共有10份均勻的長條，我們涂其中的7份，用分數表示是，也就是0.7。

生3：把1米分成了10份，每份就是1分米，其中的7份就是7分米。7分米就是0.7米。

生4：十個小方塊把它看作一個整體，也就相當于看成一個長條，其中有七個小方塊，是，也就是這個長條的0.7。

師：他們在描述0.7時，你們發現有什么相同的地方嗎？

生1：平均分成10份。

生2：0.7=。

師：對的，=0.7。像0.7這樣小數點右邊只有一位的小數，我們把它稱為一位小數。你能不能像這樣再說一說別的一位小數？

生1：就是0.3。

生2：0.5等于。

生3：0.4=。

師：同學們舉了好多例子，什么樣的數可以用一位小數表示？

生：分母為10的分數就可以用一位小數來表示。

師：剛才這么多一位小數中，哪個一位小數最特殊呢？為什么？

生：0.1最重要，因為0.1可以組成其他任何的一位小數。

師：0.1是一位小數的計數單位，而且我們發現十個0.1就是1。

2.遷移類推，認識兩位小數

師：0.1能不能幫我們數出0.73呢？那0.73又可以怎么表示呢？

學生獨立完成學習單，教師選三位同學的作品（見圖2）。

師：你能不能看出他是怎么表示0.73的。

生1：先找到0.7，又找到了下一個0.1，標出了這個0.1，平均分成10份，然后畫出了其中的3份，把它們加起來，變成了0.73。

生2：先把這個長條中的0.7找出來，再把第八個0.1平均分成10份，畫出其中3份，把0.7加上下一個0.1中的3份就是0.73。

生3：他先找到了一元中的0.7元，然后再把第八個1角分成10份，取其中的3份，加起來就是0.73元。

師：你能不能給大家圈一下0.73元？

學生上臺圈出0.73元。

師：回顧剛才同學們的這三種辦法，他們在表示0.73時有什么相同的地方？

生：他們都是先找到0.7，再把第八個0.1分成10份，找出來3份，再加上已經找到的0.7就是0.73。

師：0.73如果用分數來寫，是多少呢？

生：。

師：你們同意嗎？100在哪里？73在哪里？

生1：同意，因為是0.7，每個0.1都能分成10份，它就變成70，然后下一格平分成10份取3份就有73份。而把原來10份的圖再平分成10份，一共有100小份，所以是。

生2：因為一條線段分成10份，每小段再分成10份，就一共有100份小線段。一個小正方形是十個小正方形，再細分成10份，就共有100份。1元相當于10個1角，就相當于100個1分。其中的73份就是。

師：像這樣小數點右邊有兩位的小數，叫作兩位小數。觀察屏幕上的圖，你能不能用哪個兩位小數來表示剩余部分呢？

生：0.27。

師：請同學們互相說幾個兩位小數及所表示的分數。思考：兩位小數的計數單位是什么呢？

生1：0.53，，我認為兩位小數的計數單位是0.01。

生2：0.75就是75個0.01。0.99也就是99個

0.01，它們的計數單位都是0.01，所以我就猜兩位小數的計數單位就是0.01。

師：如果0.73表示在計數器上，你覺得應該怎么撥出呢？

生：在0.1那里撥七個珠子，在0.01那撥3個。

師：繼續數一數，0.01的位置再來一個珠子就變成了0.74、0.75、0.76、0.77。0.77這兩個“7”表示的意思一樣嗎？

生：這兩個“7”所在的計數單位不同，含義也不同。

3.運用遷移，認識三位小數

師：十個0.01就是一個0.1，它們之間是不是也滿足滿十進一的關系呢？一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾。通過這兩句話，你能推想出三位小數表示千分之幾，可是這句話對不對呢？我們還需要進行一個驗證。

師：0.734在這個大正方形中表示（見圖3），可能是什么樣子呢？它又會有什么不同的特點呢？

生：把剩下后邊的一個格，把它平均分成十份，然后再取其中的四份就是0.734，。

師：1000在哪呢？

生1：現在有100個格，把每一個格平均分成10份，就有一樣的1000份。

生2：100個格，每個格再平均分成10份，就是再乘10，也就是1000。

師：0.734的計數單位可能是什么呢？

生：計數單位可能是0.001，因為0.734，它就是734個0.001，所以我覺得它的計數單位是0.001。

師：三位小數表示千分之幾，我們之前的猜想是正確的，而且我們還發現了三位小數的計數單位就是0.001。

師：還能不能再分下去了？還會不會有四位小數？（有）那你們猜四位小數的計數單位就是（0.0001）。那能不能說完呀？（不能）

師：借助正方形模型，從左往右，從右往左，你又會發現什么？

生：從左往右，1÷10=0.01，1÷100=0.001；從右往左看，0.001×10=0.01，0.01×10=0.1。

師總結：觀察黑板上這幾幅圖，它都是計數單位，從右往左看，都是滿十進一，我們把這樣的方式叫作十進。那么，從左往右看，每次除以十，就會產生一個新的計數單位，除以十，我們把這樣的方式叫作十分。不論是整數的計數單位，還是小數的計數單位，我們發現相鄰的兩個計數單位的進率都是十。

（三）回歸生活，運用遷移

師：小數在我們生活中有很多的用處。老師的身高就可以用小數來表示，請在數軸上表示出來。同學們說說如何在數軸上表示。

（四）梳理回顧，交流收獲

師：這節課我們是如何一步一步探究小數的意義呢？你有哪些收獲？

生1：我們先回顧了整數的知識，再將知識遷移到一位小數、兩位小數和三位小數。

生2：我了解了十進制計數的由來，還知道了小數與整數、分數之間的聯系。

生3：我學會了用多種方法來表示小數。

師：我們不僅明白了小數的意義，而且大家可以發現，我們對數的認識是不是更加深入了呀？相信通過今天的學習，大家對數學知識的理解會更深刻。

三、理性思考，深入分析教學

“數與運算”是學生學習數學的重要領域，包括整數、小數和分數的認識及其四則運算。新課標強調，在教學數與運算時，教師應通過數的認識和數的運算有機結合，引導學生感悟計數單位的意義，初步體會數本質上是計數單位累積的結果，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識。但在實際教學中，教師可能沒有真正理解數認識的一致性和數運算的一致性，只是按照教材的編排進行教學，這樣容易割裂知識間的內在聯系，進而阻礙了學生構建關于數與運算知識的系統性認知框架。小學數學教師在教學可能會有這樣的困惑，或者學生會提出這樣的疑惑：“既然小數是特殊的分數，那我們為什么還要學習小數？”那是因為分數沒有辦法體現十進制，所以為了表示更小單位的數，引入了小數的知識點。

“小數的意義和性質”是蘇教版五年級上冊第三單元的內容，這節課正是圍繞新課標目標中“數概念的一致性（即數認識的一致性）”所展開的教學嘗試。本節課教師通過畫長方形模型、正方形模型、人民幣、線段圖等學習活動的設計，充分喚醒學生“滿十進一”的舊知，用整數計數單位和小數計數單位的比較，讓學生整體認識小數和整數的一致性，從而認知小數的意義，感悟數認識的一致性。

第一，借助已有知識經驗，進一步感悟十進制計數法，培養學生的數感。教師通過復習整數的計數單位導入新課，在布置的課前預習學習活動中，學生利用線段圖、圓角分和正方形模型分別表示出了0.7，借助學生已有知識經驗，明白分母為10的分數可以寫成一位小數，體會一位小數表示十分之幾的意義。接著，教師引導學生討論探究表示0.73。在表示出0.73這個活動中，突破點在于將0.1細分表示出0.03，學生用多元表征的方式認識了兩位小數，經過遷移類推進一步認識了兩位小數的意義。最后，在經歷了兩位小數的過程后，教師以學生為主體，鼓勵學生大膽想象，通過猜想推理和驗證理解三位小數的意義，深化對小數意義的理解。這個過程增強了學生的數感。

第二，借助數形結合，理解數的建構方法，強化分數與小數之間的關聯。數形結合思想是一種重要的數學思想，它能借助形的幾何直觀來闡明數之間的某種關系，有利于使抽象的概念和關系直觀化。本節課注重建立數與形的聯系，將抽象的數學概念變得更加具體。教師巧妙地設置在計數器上一個一個地數表示小數，在數的過程中直觀地使學生認識滿十進一，對計數單位有了更深刻的理解。同時，教師在數軸上表示自己的身高，使學生依托數軸加深對小數的理解，并且在數軸上體會了點與數一一對應的思想。在課堂中，學生經歷自主探究畫圖表示出一位小數、兩位小數和三位小數的過程，這種數形結合的方式幫助學生理解數的建構方法，由此體會它們都是根植于計數單位的概念之上，進而加深了對分數與小數之間內在聯系的理解與感悟。

第三，從數學的本質出發，縱橫溝通，促進學生理解的結構化。新課標在課程理念當中明確指出，要設計體現結構化特征的課程內容。教師要關注核心知識，凸顯結構關聯——不僅關注到教學內容的結構化，還要關注教學形式的結構化，更要關注學生思維的結構化，探索培養學生核心素養的路徑。本節課中，教師以計數單位及其個數為核心問題，引領學生系統性地構建整數、小數與分數的認知結構，促進了學生的系統性學習。

學生通過這堂課的學習，從數自然數計數單位的個數開始，仿照著數小數計數單位的個數，在此過程中充分認識整數、小數都是關于計數單位個數的表達，進而理解數認識的一致性。教師注重幫助學生理解數的建構方法，感悟數認識的一致性，是踐行結構化教學的成功案例。教師應認真學習新課標的理念，用結構性、整體性、系統性和發展性的關聯性思維來思考我們的教學，實施結構化教學，促進學生數學核心素養的提升。

（作者單位：漳州市第二實驗小學迎賓分校）

編輯：陳鮮艷

作者簡介：郭舒婷（1993—），女，漢族，福建漳州人，碩士研究生，二級教師，研究方向：小學數學教學。