聚焦關系本質，促進能力提升

教學內容：人教版數學六年級下冊總復習。

該課例所在知識團分析：

“常見數量關系解決問題總復習”屬于“數與代數”領域的“數量關系”主題“乘法模型解決問題”知識團。為更好地設計課題，教師針對該課題所在知識團做了如下分析研究。

一、“乘法模型解決問題”研究背景分析

（一）課標對乘法模型解決問題的相關要求

“乘法模型解決問題”知識團屬于“數與代數”領域的“數量關系”主題。課標指出：經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟乘法模型的意義，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識。每個階段又有各自的側重點，有了乘法模型，解決問題也就有了抓手。

（二）教學中對用乘法模型解決問題的困惑與思考

訪談調查研究發現，學生經過小學六年的學習，對乘法數量關系認識比較豐富，但是對相關數量關系之間的內在聯系認識不夠清晰。如何在解決問題教學中理解數量關系，構建乘法模型？如何利用乘法模型提高學生解決問題的能力？如何把握相關數量關系的內在聯系，體現關系的一致性？這些成為我思考的問題。

二、“乘法模型解決問題”內容分析

二年級上冊乘法意義的學習是進行數的運算的依據，也是學生分析數量關系、解決問題的基礎。這一階段主要是運用乘除的意義解決問題，“幾個相同加數的和”是學生構建乘法意義的生長點。學生在學習探究過程中體會乘法是加法的簡便運算，逐步理解乘法的含義，實現加法模型向乘法模型的轉變。而二年級下冊學習的解決問題是平均分和包含除，用到乘法模型的變式總數÷份數=每份數或總數÷每份數=份數。這一學習過程通過對除法意義的理解分析數量關系，最終實現用乘法模型解決問題。而三年級上冊和三年級下冊都是乘法模型解決問題的復合運用。其中，歸一問題是用除乘法解決問題，而大問題情境是每份數×份數=總數，每份數不變。歸總問題是用乘除法解決問題，大問題情境是總數÷份數=每份數或總數÷每份數=份數，總數不變。這些都在引導學生體會變中不變的思想，為用比例法解決問題埋下伏筆。

四年級上冊“常見數量關系”的學習豐富了學生對乘法模型的認識，正式學習總價=單價×數量，路程=速度×時間這兩個乘法模型。它們的變式可以寫成：單價=總價÷數量，數量=總價÷單價，速度=路程÷時間，時間=路程÷速度。這個板塊的學習有著承上啟下的作用，上聯二年級乘法意義的學習，下接五、六年級小數、分數以及用比例解決問題的學習，引導學生在解決復雜問題中實現對乘法模型的拓展。這些知識間存在一致性，都是對每份數×份數=總數這一乘法模型實際運用的具體化。學生需要在這一階段的學習中獲得對數量關系的認識和理解，正式建立模型。

經過用字母表示關系的學習，實現數量關系的一般化表達，進一步豐富學生的認識，這條線的分析主要是等量組聚焦模型的建立過程，引導學生通過進階學習深刻體會模型是用來解決一類具有不同情境相同數學問題的方法。

另一條線是倍數模型的建立過程，從三年級上冊開始倍的認識學習后，就安排了相應的解決問題。倍數關系的建立拓寬了乘法模型解決實際問題的應用范圍，從而幫助學生進一步理解乘除法的意義，增強學生的數學應用意識。而倍數關系的乘法模型包括變式，在這一階段都開始滲透學習，主要包含三類，即求倍數、求一倍量和求幾倍量的實際問題，這和求總數、求每份數、求份數是一致的。

分數乘除法和百分數解決問題的學習，主要以倍數模型為主、等量組的聚焦模型為輔。模型反映了結構化的思想，到了這個階段需要把握一類問題的本質與規律，從而實現對模型應用的融會貫通。乘法模型就是在表達數量之間的相等關系。因此，“乘法模型”和“相等”是這一知識團的核心概念。

基于以上分析，可見在該知識團的教學中，我們只有把握好核心概念，才能建構每份數×份數=總數的乘法模型，那具體在教學中怎樣做呢？

三、教學建議

（一）注重梳理，讓數量關系清晰化

在教學中，教師要引導學生觀察數量關系，將其從具體情境中抽象出來。第一學段主要利用乘除法的意義，借助畫圖和實物操作等幫助學生理解數量關系，解決問題。第二學段在學生利用乘除法意義的基礎上，引導學生理解并掌握常見的數量關系模型，同時通過畫線段圖理解數量關系，建立模型。第三學段從畫線段圖逐步過渡到離開直觀圖，從關鍵句式進行分析，逐步學會思考，拓展模型的應用，從而提高解決問題的能力，進而實現會用數學的眼光觀察數量關系。

（二）注重聯系，讓數量關系集中化

乘法模型應用廣泛，“每份數×份數=總數”這個數量關系就能統領一串相關知識，我們要善于分析知識之間、數量和數量之間、數學與生活之間的內在聯系，讓教學呈現點點相連、線線相通的脈絡，引導學生用數學的思維分析數量之間的關系。

（三）注重根植，讓數學關系深入化

教師在解決問題教學中要持續指向數量關系，才能讓學生在感受模型、抽象模型、應用模型的過程中關注并把握數量關系，逐步建立“每份數×份數=總數”的乘法模型。這樣學生才能更好地完善認知結構，形成結構化的整體思維，最終實現會用數學的語言表達數量之間的關系。本節課借助線段圖、樹狀圖、解題策略的回顧，使學生明分析之理，懂分析之策，通解題之法。

四、教學設計

▲教學目標

1.借助線段圖梳理常見的數量關系，溝通數量關系之間的內在聯系，建立“每份數×份數=總數”的乘法模型；在運用乘法模型解決實際問題的過程中，滲透解決問題的策略，掌握利用樹狀圖分析數量關系解決問題的方法。

2.經歷整理復習的過程，感悟一類問題的本質和規律，進一步理解數量關系的本質和內在聯系，能夠根據問題選擇合適的數量關系進行分析與思考，提高解決問題的能力。

3.在探究過程中，體會乘法模型的力量，激發學習數學的興趣，培養模型意識和應用意識。

其中，教學重點是借助線段圖梳理常見的數量關系，溝通數量關系之間的內在聯系，建立“每份數×份數=總數”的乘法模型；在靈活運用模型解決實際問題的過程中，掌握利用樹狀圖分析數量關系解決問題的方法。教學難點是能夠根據問題靈活選擇合適的數量關系分析與思考，提高解決問題的能力。

▲學情分析

六年級學生經歷了六年的小學學習后，對數量關系的認識比較豐富，但是缺少對相關數量關系之間內在聯系的思考。

▲教學設想

人教版小學數學教材六年級下冊第六單元“整理和復習”中對“解決問題”內容的總復習只有例9和例10兩個例題。例9是復習解決問題的一般思路和步驟，例10是用分數乘除法解決問題。但是在第77頁“做一做”和第79頁第8題中出現用常見數量關系解決問題的題目。而解決問題總復習教學不能只停留在對各種類型解決問題的羅列再現，應打通一類問題的聯系，掌握解決問題的方法。因此，為提高學生解決問題的能力，溝通小學階段常見數量關系的本質，我確定以“常見數量關系解決問題總復習”為主線進行教學設計。

本節課重在梳理小學階段常見數量關系，滲透解題策略，引導學生感悟一類問題的本質，掌握方法，體會化繁為簡的思想，培養模型意識和應用意識。在課堂教學中，教師要立足數量關系的本質理解，注重各類問題數量關系之間的內在聯系與溝通；立足數量關系結構的變換，把小學階段散亂的常見數量關系解決問題進行結構化關聯，抽象出“每份數×份數=總數”這一本質模型，幫助學生構建聚焦本質的解決問題認知體系。

▲教學過程

（一）明關系之理，建立模型

1.數形結合，理解意義

課件出示線段圖：

■

教師：誰能看懂這個線段圖表示什么意思？用算式怎樣表示？為什么用乘法計算？想一想生活中有哪些問題可以用這個線段圖來解決？

學生思考后回答。

小結：一下子抓住了問題的本質。這些問題雖然情境不同，但都是求4個5是多少。

2.變換數據，梳理問題

課件出示：

一輛汽車每小時行70千米，4小時行多少千米？

織布機每小時織布20.7米，5小時織多少米？

每千克蘋果■元，買3千克蘋果共花多少錢？

每千克蘋果■元，買a千克蘋果共花多少錢？

師：這些題還能用這個線段圖來解決嗎？說明理由。看到這些題目，你想起了哪個數量關系？算式是什么？為什么用乘法解決？

學生思考后回答。

小組討論：觀察這些問題的線段圖、算式、數量關系，你能發現什么？

學生匯報交流：都用乘法計算，都是求幾個幾是多少；線段圖都是知道一段和幾段，求一共是多少。

根據學生回答適時板書，揭示：每份數、份數和總數。

小結：不管是在不同情境中有不同的數量關系，還是在同一個情境中，把這些數量換成不同的數據，都有這樣一個相同的關系把它們連在一起。當用每份數×份數求總數時歸根結底和乘法的意義有關系，就是求幾個幾相加的和是多少。這些求幾個幾相加的問題不僅線段圖一樣，數量關系也一樣。

（二）懂分析之策，應用模型

1.分享交流，提煉方法

課件出示探究活動要求：

一輛汽車1.5小時行105千米，4小時行多少千米？

1.讀一讀：題目中的已知條件和要解決的問題。

2.想一想：用哪個數量關系式解決問題，列式解答。

3.說一說：和同桌交流你的想法。

學生思考后分享交流。

師：從4小時共行多少千米開始想起，這叫從問題想起。

師生一起回顧剛才的解題過程，并提煉從問題想起分析數量關系的解題策略。

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師：除了從問題想起，還可以從條件想起，誰能試著分析？

學生嘗試分析。

■

2.觀察對比，發現聯系

課件出示：

一輛汽車每小時行70千米，4小時行多少千米？

一輛汽車1.5小時行105千米，4小時行多少千米？

師：這兩道題有什么相同和不同的地方？

學生觀察后全班交流。

師：在解決這個問題的時候，我們知道了“總數”就能求出——

生：每份數。

師：無論從哪里開始想，解決這類問題時，就是在研究誰與誰的關系？

生：“每份數”和“總數”之間的關系。

3.多樣方法，溝通聯系

師：這一題還能利用我們學過的什么知識來解答？你是怎么想到的？

學生思考后分享想法。

教師根據學生回答出示課件：

一輛汽車1.5小時行105千米，4小時行多少千米？

解：設4小時行x千米。

105∶1.5=x∶4

總數∶份數=總數∶份數

小結：原來六年級我們學習的正比例知識也是研究這個數量關系的，只不過呈現的形式不一樣。

4.回顧總結，梳理方法

教師引導學生回顧前面的解題過程，梳理解決問題的一般方法。

（三）通解題之法，拓展模型

1.變化條件，靈活運用

課件出示：

一批零件，李師傅每分鐘做80個，5分鐘可以完成。王師傅8分鐘完成，他每分鐘做了多少個零件？

（1）閱讀與理解：說一說題目中的已知條件和要解決的問題。

（2）分析與解答：利用樹狀圖分析數量關系，并列式解答。

（3）回顧與反思：從條件想起或從問題想起，重新思考解題過程，驗證計算結果。

學生根據探究要求完成問題，完成后匯報交流。

小結：原來利用反比例解決問題也和這個數量關系有關系。一切復雜源于簡，找到了問題解決的源頭就會找到更好的解題方法。

2.綜合運用，提升能力

課件出示探究要求：

六年級辦公室買進一包A4紙，計劃每天用25張，可以用20天。

（1） ，實際可以用多少天？

要求：在橫線上加一個條件，變成兩步計算的問題。

（2） ，實際可以用多少天？

要求：在橫線上加一個條件，變成三步計算的問題。

（3）如果每張紙大約重5.3克，這包紙一共重多少千克？

先小組交流，再自主完成問題。

學生匯報交流想法。

師：從補充的信息中，你發現了什么？從兩步變為三步，你有什么好方法？解決問題的步數不一樣，什么沒變？

小結：紙的原料之一就是樹木。習近平總書記說：“綠水青山就是金山銀山。”我們一定要養成節約用紙的習慣，造福未來。

（四）回顧總結，融會貫通

1.橫縱觀察，聚焦本質

師：學習到這里，你找到用常見數量關系解決問題的方法了嗎？

生：每份數×份數=總數。

師：對了。就是這個乘法數量關系。這節課我們從二年級的知識拉開序幕，從此你走過三年級、四年級、五年級，再回到六年級，你有了什么收獲？（課件展示課本相關內容圖片）

2.反思提升，發展能力

小結：數學知識之間聯系緊密，用聯系的眼光學數學，會讓我們的數學學習越來越簡單。希望大家在今后的復習中，能夠不斷前后聯系、不斷深入思考，悟出新的道理！

（作者單位：濟南市催馬小學）

編輯：常超波

作者簡介：史家娟，現任濟南市催馬小學教學管理部副部長，一級教師，執教課例獲市中區優質課一等獎、山東省優課等，被評為市中區教學能手，市中區“經緯三名工程”人選。