“模”力數(shù)學(xué)：從“課堂”走向“實(shí)踐”

［摘 要］數(shù)學(xué)建模教育致力于培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力并促進(jìn)其綜合素質(zhì)的全面發(fā)展，這有利于學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)、促進(jìn)多學(xué)科的融合、優(yōu)化學(xué)習(xí)效率。然而，當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)建模教育領(lǐng)域仍面臨價(jià)值認(rèn)知不足、教學(xué)機(jī)制傳統(tǒng)及建模教學(xué)浮于表面等問題。對(duì)此，教學(xué)中需要進(jìn)一步明確教學(xué)目標(biāo)、創(chuàng)新教學(xué)方式、強(qiáng)化學(xué)生自主學(xué)習(xí)、完善教學(xué)機(jī)制，以確保數(shù)學(xué)建模教育真正落地，從而切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)建模；問題解決能力；核心素養(yǎng)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）26-0090-03

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)改革的持續(xù)深化，學(xué)生的素質(zhì)教育得到了進(jìn)一步重視，教育界正積極致力于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)與全方位綜合素質(zhì)的發(fā)展。數(shù)學(xué)對(duì)于提升學(xué)生邏輯思維與創(chuàng)新思維，以及培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力具有重要作用。因此，教師在教學(xué)基本知識(shí)的同時(shí)，更要關(guān)注提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，以確保學(xué)生不僅會(huì)做題，而且能在實(shí)踐中靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)建模的過程涉及觀察、分析、提出解決方案并驗(yàn)證其有效性等多個(gè)環(huán)節(jié)，能夠訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)對(duì)復(fù)雜情況的能力，幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念與日常生活聯(lián)系起來，從而使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際價(jià)值，進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和實(shí)際應(yīng)用能力。

一、當(dāng)下所需：數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與必要性

（一）數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與內(nèi)容

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵，已有的觀點(diǎn)主要有三類：第一類，認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是解決問題的一種過程，即對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決實(shí)際問題；第二類，認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是一種循環(huán)上升的學(xué)習(xí)過程，即先對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，確定變量、參數(shù)與關(guān)系，再根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律建立起模型，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，最后對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化；第三類，認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言邏輯體系解決現(xiàn)實(shí)問題的素養(yǎng)。

提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力主要包含培養(yǎng)其簡明的抽象概括能力、合理的演繹推理能力和敏銳的直覺思維能力三個(gè)方面的內(nèi)容。抽象概括能力指學(xué)生需要能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)需要解決的實(shí)際問題進(jìn)行簡潔的數(shù)學(xué)概括，將具體問題轉(zhuǎn)變成抽象的數(shù)學(xué)語言或符號(hào)；演繹推理能力是指學(xué)生基于既有信息，通過邏輯層層遞進(jìn)，對(duì)未知的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行合理地推測與推斷；直覺思維能力是一種更高層次的要求，體現(xiàn)著學(xué)生的數(shù)學(xué)感知和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，它隨著知識(shí)的累積與經(jīng)驗(yàn)的增長而逐步提升。培養(yǎng)這三類能力是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的具體內(nèi)容，也是內(nèi)在要求，旨在為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)穩(wěn)固的數(shù)學(xué)知識(shí)體系框架，鼓勵(lì)他們?cè)诳蚣軆?nèi)勇于探索、敢于創(chuàng)新。

（二）數(shù)學(xué)建模的意義與必要性

首先，數(shù)學(xué)建模教學(xué)有助于學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)，優(yōu)化學(xué)習(xí)效率。對(duì)于正處于形象思維階段的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容往往顯得枯燥且抽象。傳統(tǒng)教學(xué)模式傾向于“從抽象到具體”的路徑，即先灌輸知識(shí)點(diǎn)，而后做題鞏固，以期達(dá)到應(yīng)用的目的，但效率較為低下，增加了學(xué)生的學(xué)業(yè)壓力。對(duì)此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)換教學(xué)思路，采用“從具體到抽象”的教學(xué)策略，將抽象知識(shí)通過形象的表現(xiàn)形式呈現(xiàn)，這樣更加符合學(xué)生現(xiàn)階段的認(rèn)知能力，能夠有效解決上述困難，還有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

其次，數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)，促進(jìn)其全面發(fā)展。學(xué)科教育從來不應(yīng)是單獨(dú)與割裂的，數(shù)學(xué)作為小學(xué)教育知識(shí)體系中的重要組成部分，與其他學(xué)科之間存在著緊密的聯(lián)系，通過數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐過程，學(xué)生能夠進(jìn)一步鞏固和深化對(duì)其他學(xué)科的理解和掌握。例如，宋代文學(xué)家蘇東坡曾給《百鳥歸巢圖》題了一首詩：“歸來一只復(fù)一只，三四五六七八只。鳳凰何少鳥何多，啄盡人間千萬石。”其中蘊(yùn)含了一道饒有趣味的數(shù)學(xué)問題：如何得到“一百只鳥”？將詩中出現(xiàn)的數(shù)字列出并加上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，就得到：1+1+3×4+5×6+7×8=100。這個(gè)案例中包含了數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)的知識(shí)。生活中處處是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)并非孤立存在的，而是與其他領(lǐng)域的知識(shí)相互交織，通過數(shù)學(xué)建模，可以搭建起課堂教學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的橋梁，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，拓寬視野，促進(jìn)其全面發(fā)展。

二、現(xiàn)狀審視：小學(xué)數(shù)學(xué)建模教育的困境

（一）缺少數(shù)學(xué)建模的思想與價(jià)值觀

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)改革的深入實(shí)施，大多數(shù)教師已經(jīng)意識(shí)到了核心素養(yǎng)的重要性，但受傳統(tǒng)教育模式的影響，部分教師仍將學(xué)生的做題能力作為教學(xué)質(zhì)量的衡量標(biāo)準(zhǔn)。還有部分教師為了完成教學(xué)指標(biāo)，僅是傳授公式或解題方法，而后讓學(xué)生自行刷題鞏固，忽視了對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律與現(xiàn)實(shí)問題結(jié)合的引導(dǎo)。在這樣的教學(xué)模式下，學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是要死記硬背，這樣不僅不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還無形中加重了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，與“雙減”政策的理念背道而馳。此外，部分教師在設(shè)計(jì)課程時(shí)，其教學(xué)目標(biāo)僅停留在“知識(shí)與技能”的維度，局限于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)的理解，忽略了數(shù)學(xué)與外界的交互。由此，學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想不足，缺乏解決實(shí)際問題的能力，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與公式的認(rèn)識(shí)浮于表面，不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

（二）教學(xué)體系傳統(tǒng)，缺乏對(duì)應(yīng)機(jī)制

應(yīng)試教育在當(dāng)前教育體系中仍有一定影響，部分教師仍將學(xué)生的成績當(dāng)成為唯一標(biāo)準(zhǔn)或主要評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，而學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升未能得到充分重視。從教學(xué)質(zhì)量測評(píng)或布置的作業(yè)來看，內(nèi)容形式更多局限于應(yīng)用規(guī)律和公式，僅是對(duì)學(xué)生知識(shí)與解題技能的考評(píng)。此外，在課堂教學(xué)中學(xué)生的學(xué)習(xí)探究與小組合作大多拘泥于形式，未能有效滲透數(shù)學(xué)建模的思想。比如，在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，部分教師雖然采用了多樣化的形式，但是學(xué)生在面對(duì)實(shí)際計(jì)算時(shí)，仍然將乘法分配律與乘法結(jié)合律混淆。這背后的深層原因是學(xué)生的理解仍停留在表面，其數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生改變，加之缺乏直觀感受和現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)，進(jìn)一步增加了出錯(cuò)的可能性。

（三）有建模之形，無建模之實(shí)

雖然部分教師意識(shí)到了數(shù)學(xué)建模的重要性，在教學(xué)實(shí)踐中也采用了這樣的教學(xué)方式，但其形式浮于表面，教學(xué)中引入的數(shù)學(xué)模型并沒有觸碰到數(shù)學(xué)建模的實(shí)質(zhì)。比如，對(duì)于“已知蘋果樹和桃樹總共有200棵，蘋果樹比桃樹多20棵，問兩者分別有多少棵？”教師直接給出線段圖，要求學(xué)生在圖中標(biāo)出題目中的數(shù)量關(guān)系，并且需要嚴(yán)格按照規(guī)范書寫，這無疑是過度強(qiáng)調(diào)了形式而忽略了實(shí)際，學(xué)生缺少深入探索建模的過程，在遇到類似情境時(shí)，獨(dú)立建模的能力明顯不足。

三、困境突破：小學(xué)數(shù)學(xué)建模教育的策略

（一）明確教學(xué)目標(biāo)，達(dá)成建模思想的分級(jí)滲透

數(shù)學(xué)建模不僅僅是一種做題的工具，更是一種思想與理念，其形成是一個(gè)長期的過程。小學(xué)期間正是學(xué)生從形象思維轉(zhuǎn)變?yōu)檫壿嬎季S的關(guān)鍵階段，也是養(yǎng)成思想理念的重要時(shí)期。教師應(yīng)結(jié)合不同年齡層次學(xué)生的個(gè)性化身心發(fā)展特點(diǎn)，由此明確有針對(duì)性的教學(xué)目標(biāo)。例如，低學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)以經(jīng)驗(yàn)積累為主，幫助學(xué)生建立起現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系；當(dāng)高學(xué)段學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)積累越來越豐富時(shí)，教師可以結(jié)合問題創(chuàng)設(shè)具體情境，深入發(fā)掘教材的建模理念，由此制定長時(shí)間、動(dòng)態(tài)性、系統(tǒng)化的教學(xué)目標(biāo)與方案。

（二）優(yōu)化教學(xué)方式，提升建模的活力與生動(dòng)性

數(shù)學(xué)建模是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的另一種表達(dá)方式，要想真正發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的作用，需要教師對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行不斷創(chuàng)新完善，用更加多樣的方式進(jìn)行呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，以此提升數(shù)學(xué)建模的活力與生動(dòng)性。例如，教師可以通過多媒體，將數(shù)學(xué)模型以更為直觀、生動(dòng)、有趣的方式呈現(xiàn)，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力；還可以采用情境教學(xué)的方式，將抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化為直觀的刺激，從而啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。比如，在教學(xué)不規(guī)則物體體積求解時(shí)，可以制作該物體的模具，讓學(xué)生觀察在放入物體前后水面的高度變化，以此理解排水法。學(xué)生的親身參與有利于數(shù)學(xué)模型在思維體系中的建構(gòu)。

（三）強(qiáng)調(diào)自主探究，激發(fā)學(xué)生的樂趣與主動(dòng)性

新課程標(biāo)準(zhǔn)改革強(qiáng)調(diào)，在實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施中，秉持以學(xué)生為中心的基本理念。這意味著教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生的主體性，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的自主探索與創(chuàng)新能力。教師不僅要讓學(xué)生掌握教材中的知識(shí)與公式，還要引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)與公式形成的原理，以此激發(fā)學(xué)生的邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化能力，提升其在現(xiàn)實(shí)生活中運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生通過相互合作的方式進(jìn)行研究探索，對(duì)建模素材進(jìn)行研究，并對(duì)過程、方式進(jìn)行歸納與鞏固。此外，還要鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)積累大膽質(zhì)疑，教師對(duì)學(xué)生主動(dòng)猜測與質(zhì)疑的態(tài)度進(jìn)行肯定，這是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性的有效方式。

（四）完善教學(xué)機(jī)制，實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)教育的真正落地

數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，教師要積極開展實(shí)踐活動(dòng)，以此提升學(xué)生對(duì)于理論知識(shí)的掌握程度，鍛煉其實(shí)踐能力與問題解決的能力。例如，舉辦建模競賽，教師給出具體情境，讓學(xué)生在限定的時(shí)間內(nèi)通過建模方法進(jìn)行分析，最終形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論或具體的實(shí)踐建議。這樣有利于激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移與應(yīng)用的能力，并且豐富校園文化。又如，采用翻轉(zhuǎn)課堂或任務(wù)型的教學(xué)方式，這能夠使得教學(xué)方式更加靈活，加強(qiáng)課上與課下之間的互動(dòng)，促進(jìn)學(xué)校與家庭之間的聯(lián)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)課上課下、學(xué)校家庭、理論生活間的全過程教學(xué)。

（五）滲透建模思想，展望數(shù)學(xué)建模課堂

一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模課堂，應(yīng)該包括情境、問題、設(shè)計(jì)、建模、結(jié)果、交流展示和反思總結(jié)等多個(gè)環(huán)節(jié)。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生把復(fù)雜問題簡單化、把抽象問題形象化、把生活問題抽象成純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而概括出數(shù)量關(guān)系模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化，提高學(xué)生解決問題的能力，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立直觀表象。

例如，教學(xué)“植樹問題”時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的教學(xué)情境：

師：今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容從手指開始，請(qǐng)大家伸出自己的食指和中指，做“剪刀手”的手勢。這2根手指之間產(chǎn)生了一個(gè)“空”，我們把這個(gè)“空”稱為間隔。

師：2根手指之間出現(xiàn)了1個(gè)間隔，我們繼續(xù)伸出無名指，這時(shí)出現(xiàn)了幾個(gè)間隔？

生1：2個(gè)間隔。

師：我們把小拇指也伸出來，那么4根手指之間又會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)間隔？

生2：3個(gè)間隔。

師：我們繼續(xù)把大拇指也伸出來，那么5根手指之間又會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)間隔？

生3：4個(gè)間隔。

師：如果全班同學(xué)都像手指這樣排成一行，又會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)間隔呢？

生4：48位同學(xué)排成一行，會(huì)出現(xiàn)47個(gè)間隔。

師：這節(jié)課我們就一起研究與間隔有關(guān)的數(shù)學(xué)問題——植樹問題。

教學(xué)“植樹問題”時(shí)，教師并沒有直接出示課題，而是結(jié)合手指之間的“空”，讓學(xué)生理解間隔的含義。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)是從學(xué)生熟悉的生活情境入手，讓抽象的植樹問題變成形象的手指模型，使學(xué)生初步感受手指數(shù)和間隔數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，通過比較歸納掌握“植樹問題”中間隔數(shù)和棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系模型。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模教育不僅讓學(xué)生思考“學(xué)了什么”，還要讓學(xué)生自主思考“如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不應(yīng)是解難題，而應(yīng)是關(guān)注現(xiàn)實(shí)，學(xué)習(xí)真實(shí)的數(shù)學(xué)、有用的數(shù)學(xué)、生活化的數(shù)學(xué)。“模”力數(shù)學(xué)，讓學(xué)生走向?qū)嵺`，走向生活。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 徐明旭.從數(shù)學(xué)語言到數(shù)學(xué)模型：小學(xué)數(shù)學(xué)的思維進(jìn)階路徑[J].教育理論與實(shí)踐，2023，43（11）：51-54.

[2] 李瑞蘭.聚焦“雙減”，培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].亞太教育，2023（2）：44-46.

[3] 雷興榮.數(shù)學(xué)建模：從“結(jié)構(gòu)”走向“建構(gòu)”：提升小學(xué)生問題解決能力的教學(xué)策略[J].小學(xué)教學(xué)參考，2022（17）：11-14.

[4] 梁策.生活化教學(xué)策略在小學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)中的應(yīng)用[J].甘肅教育研究，2021（6）：105-107.

[5] 路永美.核心素養(yǎng)背景下提高小學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略研究[J].教育界，2021（38）：65-66.

（責(zé)編 梁桂廣）