聚焦核心　打通結構

［摘 要］核心概念是數學知識的本質，結構體系是數學脈絡的根本。文章以“分數除法單元復習”為例，用數學知識的內核本質打通知識內部結構，用數學模型的表征互譯打通模型結構，用數學思想的類比遷移打通思維結構，助推學生結構化思維的發展。

［關鍵詞］分數除法；復習課；結構

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0071-04

【教學內容】

北師大版教材五年級下冊“分數除法”。

【教學目標】

能根據算式的特點正確且快速地計算分數除法；

通過對比、聯系，會用分數除法的計算方法計算小數除法，理解整數、小數、分數除法算法和算理的一致性；

能夠用分數除法解決實際問題，體會數學與生活的密切聯系；

經歷觀察、比較、歸納、概括等過程，培養數學結構化思維。

【教學重難點】

掌握分數除法的計算方法和解題方法，將分數除法與整數除法、小數除法聯系起來。

【教學過程】

一、聯結內核，厘清運算結構

（一）編題計算，復習算法技巧

師：有一個數——[34]，請再想一個數，使其與[34]組成一道除法算式。

生1：[34÷43] 。

師：這是一道分數除以分數的算式。

生2：[34÷10]。

生3：[9÷34]。

師：我也想了一個——[12÷34]。為了便于交流，我把這四道算式標上序號。（出示圖1）

師：你能快速算出這4道除法算式的結果嗎？

（學生獨立計算，教師組織學生交流）

師：正確率高的同學肯定有計算小妙招，請說一說。

生4：一個數除以另一個數等于乘這個數的倒數。

生5：除數不能為0。

生6：能約分的可以先約分，再計算。

生7：計算后可以驗算一下。

【評析：學生基本上都能掌握分數除法的簡單計算——只要轉化為乘這個數的倒數即可。因此，教師改變傳統的出示算式讓學生計算的方式，利用“給定一個分數，再想數寫算式”的開放問題，讓學生自主編題，提升學生的課堂參與度；借助編寫的4道不同類型的分數除法算式，幫助學生回顧分數除法的計算方法和約分技巧的同時，了解學生的計算水平。】

（二）舉例聯結，感悟算法一致性

師：在計算分數除法時，除以一個不為零的數等于乘這個數的倒數，這種計算方法在計算整數除法和小數除法中適用嗎？請試一試。

生1：我寫的例子是2÷2=1，2乘[12]得到的結果是1；0.2÷2=0.1，用0.2乘[12] ，得到的結果也是0.1。

生2：我寫的是10÷5。10乘[15] 得到的結果是2，和用除法計算的結果是一樣的。計算2.4÷1.2時，先把1.2化成分數[65]，2.4除以[65]相當于乘它的倒數[56]，得到的結果是2。

師：看來，除以一個數等于乘這個數的倒數這種方法，適用于計算分數除法、整數除法和小數除法。

【評析：在復習階段，教師需要及時幫助學生將分散的知識點聯結起來，將知識線索串聯起來，構建成完整的知識網絡。在這一環節中，探討是否可以用計算分數除法的方法來計算整數除法、小數除法，不僅有助于學生將分數除法、整數除法、小數除法聯系起來，還能引導他們發現這一運算方法的普遍性，并深刻體會除法算法的一致性。】

（三）挖掘本質，理解算理一致性

師（出示圖2）：請你仔細觀察這組材料，說說你的發現。

生1：除數都是2，被除數不同。

生2：這3個被除數里都有4。

師：這些被除數里的4分別表示什么意思？

生3：第一個表示4個十，第二個表示4個0.1，第三個表示4個[17]。

生4：我發現商里都有2。

師：這些商里的2分別表示什么意思？

生5：分別表示2個十、2個0.1、2個[17]。

師：這三道題是什么在變？

生6：計數單位在變。

師：它們的計數單位分別是什么？

生7：10，0.1，[17]。

師（出示圖3）：它們只是計數單位發生了改變，但本質是相同的，都是在算4個幾除以2等于2個幾。

師：如果遇到計數單位的個數不夠整除的時候，便把計數單位通過細分，轉化成新的計數單位和個數，再繼續除。

【評析：除法算理的本質在于細分，具體而言，是對計數單位個數的細分。為了讓學生對除法算理有一個全面的認識，教師通過直觀圖的演示，讓學生直觀地理解除法的本質：當計數單位的個數不足以進行分配時，可以將計數單位細分為更小的單位，再進行計算。這一算理適用于整數除法、小數除法和分數除法。】

二、依托模型，架構應用結構

（一）算式編題，喚醒應用價值

師：同學們對除法運算的算理和算法有了整體認識，接下來看看如何用分數除法解決問題。先編一個能用算式“[12÷34]”解決的數學問題。

出示學生作品（如圖4）：

師：這5道題都可以用“[12÷34]”來解決嗎？

生1：第①題和第②題不可以。

生2：第③題、第④題和第⑤題都可以用“[12÷34]”來解決。

【評析：數學應用意識體現在能夠認識數學與現實世界的緊密聯系，面對現實生活中的問題時，能夠運用數學方法解決。同時，這種意識還表現在能夠根據算式模型逆向思考相關的實際問題。為此，教師設計了“根據算式編題”這一任務，旨在引發學生回顧已有的知識，并引導他們在討論與辨析中深入理解使用分數除法解決問題的基本原理。】

（二）直觀理解，構建線段模型

師：第③題、第④題、第⑤題都可以用“[12÷34]”來解決，它們又有什么不同呢？為了便于同學們理解，我畫了三幅圖（如圖5）。請同學們仔細觀察，三道題的題意分別對應哪幅圖？

生1：第③題對應的是圖中的C，第④題對應的是圖中的B，第⑤題對應的是圖中的A。

生2：第④題是把小紅的糖的數量看成單位“1”，所以圖中的B中上面的線段表示小紅的糖的數量，下面的線段表示小明的糖的數量。第⑤題是沙子被運走的部分與總量相比，所以只需畫一條線段。第③題表示12里有幾個[34]。

【評析：直觀的線段圖能夠幫助學生更好地理解數量關系，并感受線段圖在解題中的重要作用，進而體會數學模型的應用價值。教師提供了三幅圖，指導學生將這些圖形與問題相對應，實現文字表征與圖形表征的相互轉換，以此感受線段圖的概括性，并深刻理解線段圖作為數學模型的獨特價值。】

（三）分類梳理，明確問題結構

師：如果將這三幅圖進行分類，你會怎么分？

生1：可以分為兩類，一類是有兩條線段的，另一類是只有一條線段的。

生2：我也是分成兩類。把圖5中的A、B歸為一類，因為它們的總量都是未知的，都在求總量；圖5中的C為一類，因為它求的是總量與部分之間的關系。

師：同學們說得很有道理，圖5中的C對應我們之前學過的除法問題，只是數量發生了改變。圖5中的A、B是有關單位“1”的問題。

【評析：除法問題的基本原型可以追溯到二年級的等分模型和倍比模型。五年級階段，分數除法內容有了進一步擴充與延伸。教師通過對比和分類的方法，引導學生理解分數除法中的等分模型側重于求解一個數中包含多少個特定單位的問題，而倍比模型則側重于求解單位“1”的量。】

（四）練習鞏固，提升應用能力

師（出示圖6）：請你選幾條信息，使得問題能用“[12÷34]”來解決。

師：我發現大部分同學都選了②⑤，這是為什么？

生1：這道題中的單位“1”是蘋果的質量，蘋果質量的[34]就是梨的質量——12千克。

師：為什么不選②④？

生2：這樣的話，蘋果的質量是梨的[34]，而梨的質量已知，求蘋果的質量應該用乘法計算，也就是[12×34]。

師：如果選擇③⑥，該怎么解？

生3：用“梨比蘋果少12噸”除以它所對應的分率[34]，可以算出蘋果的質量。

【評析：教師設計了一道開放性的選信息問題，旨在幫助學生及時鞏固分數除法的應用方法。在反饋環節中，學生從基礎題型開始，逐步深入到乘除法的差異對比，再到進行對應量和對應分率的變式練習，這一過程再次加深了學生對分數除法模型的理解。】

三、全課總結，提升思維結構

師：通過今天這堂課的學習，你有什么收獲？

生1：分數除法的計算方法也適用于整數除法和小數除法。

師：同為除法，它們的算法和算理是一樣的。

生2：分數除法問題可以用三種線段圖來表示。

師：如果把這三類問題分成兩類，可以怎么分？

生3：圖5中的A和B為一類，它們都是求單位“1”的總量，圖5中的C為一類，它求的是12里有幾個幾。

師：這也是除法問題的兩大類型。

生4：分數除法和乘法之間也是有聯系的。

師：只要大家帶著聯系的眼光去看待問題，一定會有不一樣的收獲。

【評析：教師在幫助學生總結學習收獲的基礎上提煉了數學學習的思想方法，旨在幫助學生構建結構化思維方式。】

【教學反思】

“分數除法”單元主要涉及分數除法的計算方法和計算原理，并運用這些知識解決實際問題。本節課作為單元復習課，根據學生的學習情況，重點講解分數除法與整數除法、小數除法之間的一致性，著重解決分數除法問題的模型，并培養學生的結構化思維方式。在教學過程中，本節課嘗試實現以下目標：

第一， 通過深入追問，揭示算理與算法的結構。數學知識的核心概念具有統攝性和一致性，貫穿整個知識結構。在復習階段，應設計結構化教學材料，針對核心概念進行深入追問，幫助學生梳理知識脈絡，理解知識結構。本節課圍繞分數除法的算法與整數除法、小數除法的算法和算理進行追問，以幫助學生體會除法運算的算法和算理的一致性。

第二，利用直觀模型，構建應用問題的結構。直觀的圖形表征不僅能使抽象的數學知識形象化，還能清晰地展示數量關系，幫助學生理解問題模型的內部結構。在復習過程中，教師應分析不同類型的數學問題，利用直觀圖形進行辨析，幫助學生構建問題結構。例如，在本節課中，從編寫問題入手，收集學生的作品進行辨析，區分分數除法問題的類型，并在此基礎上利用線段圖加深學生對問題模型結構的理解，并通過問題匹配和鞏固練習來強化模型結構。

第三，總結思想方法，構建學習的思維結構。課堂小結不僅要總結知識，還應對數學思想方法進行提煉，以幫助學生提升和遷移研究問題的思想和方法，并應用于后續問題的研究中。在本節課的總結環節，圍繞數學知識的整體性和一致性進行提煉，總結如何通過聯系的方式研究數學，進而教會學生如何進行整體化學習。

縱觀全課，本節課力求以數學核心知識為抓手，從整體結構的視角來設計教學。聚焦數學知識的本質，用知識的本質來打通知識內部結構；抓住數學模型的直觀表征，利用線段圖來打通問題模型結構；發揮數學思想方法的實用價值，通過類比遷移來打通數學思維結構。

（責編 黃 露）