淺談小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)策略

［摘 要］模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。文章以“相遇問(wèn)題”為例，深入研究?jī)蓚€(gè)物體運(yùn)動(dòng)的多種情況，聯(lián)系生活實(shí)際概括問(wèn)題特點(diǎn)，在問(wèn)題解決中提煉數(shù)量關(guān)系，結(jié)合運(yùn)算律優(yōu)化解題過(guò)程，構(gòu)建相遇問(wèn)題的解題模型，并拓展延伸至更復(fù)雜的相遇問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)。

［關(guān)鍵詞］相遇問(wèn)題；模型意識(shí)；小學(xué)數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）26-0068-03

模型意識(shí)主要體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，它能夠解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基石。

“相遇問(wèn)題”是蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)第六單元的教學(xué)內(nèi)容。在此之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了使用列表法和畫圖法來(lái)整理?xiàng)l件和問(wèn)題，并掌握了解決問(wèn)題的一般步驟，掌握了“路程=速度×?xí)r間”以及“求兩積之和（差）”等常見的數(shù)量關(guān)系。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，如何在探索“相遇問(wèn)題”的過(guò)程中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，是學(xué)習(xí)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文以“相遇問(wèn)題”為例，探討數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)策略。

一、創(chuàng)設(shè)情境，初步感知問(wèn)題模型

依據(jù)教材內(nèi)容創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的生活情境，不僅能夠引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，還能引導(dǎo)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的有機(jī)結(jié)合。

教材中的例題（如圖1）是一個(gè)典型的相遇問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，必須對(duì)這類典型例題進(jìn)行深入的特點(diǎn)挖掘、解法探究和應(yīng)用推廣，以幫助學(xué)生鞏固和深化相關(guān)概念，形成對(duì)例題的整體認(rèn)識(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出一般規(guī)律，由特殊情形推廣到一般情況，形成初步的模型意識(shí)。為此，筆者對(duì)這一例題進(jìn)行了變式改進(jìn)。

【教學(xué)案例】教材例題變式

小明和小芳同時(shí)從家出發(fā)走向?qū)W校（如圖2）。猜一猜，他們可能怎么走？

變式后，由題可知兩人的出發(fā)地點(diǎn)（異地）、出發(fā)時(shí)間（同時(shí)）、運(yùn)動(dòng)結(jié)果（到校），但是不知道學(xué)校的具體位置，所以無(wú)法判斷兩人的運(yùn)動(dòng)方向。因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合線段圖，分以下三種情況進(jìn)行討論。

1.如果學(xué)校在兩人家的左側(cè)（如圖3），他們兩人同向而行，向左走。

2.如果學(xué)校在兩人家的右側(cè)（如圖4），他們兩人同向而行，向右走。

3.如果學(xué)校在兩人家的中間（如圖5），他們兩人面對(duì)面走。

首先，從圖5入手，引導(dǎo)學(xué)生理解面對(duì)面行走亦稱為相向而行，相向而行的雙方最終會(huì)相遇。學(xué)生結(jié)合日常經(jīng)驗(yàn)，明確了“同時(shí)”“同向”“相向”“相遇”等詞語(yǔ)的含義，掌握了典型相遇問(wèn)題的特征，即“從兩地同時(shí)出發(fā)，面對(duì)面相向而行”，初步構(gòu)建相遇問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)模型。

接著，補(bǔ)充條件“經(jīng)過(guò)4分鐘兩人在校門口相遇”，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)這一信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并嘗試解決。由于學(xué)生已經(jīng)掌握了單個(gè)物體行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系“路程=速度×?xí)r間”，他們能夠提出諸如“從小明家（或小芳家）到學(xué)校的路程是多少米？”“他們兩家相距多少米？”等問(wèn)題。在嘗試解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)還需要知道兩人的速度，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到“相遇問(wèn)題”與已學(xué)的行程問(wèn)題之間的區(qū)別在于相遇問(wèn)題涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，研究的內(nèi)容是速度之和，包含了兩個(gè)物體的速度。

最后，進(jìn)一步完善并梳理?xiàng)l件和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生提煉自己的發(fā)現(xiàn)并生成一個(gè)完整的相遇問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，如：“小明和小芳早上同時(shí)從家出發(fā)走向?qū)W校，面對(duì)面相向而行，經(jīng)過(guò)4分鐘兩人在校門口相遇。小明的行走速度是每分鐘70米，小芳的行走速度是每分鐘60米。他們兩家相距多少米？”

在學(xué)生對(duì)相遇問(wèn)題的基本特征有了初步理解的基礎(chǔ)上，添加相應(yīng)的數(shù)學(xué)信息，有助于學(xué)生將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并構(gòu)建起相遇問(wèn)題的模型。

二、直觀感知，嘗試構(gòu)建解題模型

相比一般行程問(wèn)題，相遇問(wèn)題涉及較多數(shù)學(xué)信息，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，學(xué)生往往難以迅速發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系。然而，通過(guò)運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以在整理信息的過(guò)程中分析數(shù)量關(guān)系，在操作演示中感知數(shù)學(xué)模型，并在對(duì)比分析中歸納出解題的思路。可采取以下方法。

（一）情境再現(xiàn)

讓兩個(gè)學(xué)生分別扮演小明和小芳，模擬相遇的過(guò)程。這種情境再現(xiàn)不僅滿足了學(xué)生喜愛(ài)游戲、樂(lè)于表現(xiàn)的心理需求，吸引了他們的注意力，而且在情境再現(xiàn)的過(guò)程中，能夠重點(diǎn)突出相遇問(wèn)題的四個(gè)基本要素，幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)的關(guān)鍵詞。

（二）擺紙條

提前準(zhǔn)備兩種規(guī)格的紙條若干，讓學(xué)生根據(jù)題目條件擺一擺，這種方法直觀明了。

（三）列表整理

整理信息（見表1），保留了速度和時(shí)間這兩個(gè)核心數(shù)據(jù)，能分別算出兩人從家到學(xué)校的路程，但是不能直接看出如何計(jì)算兩家之間的路程。

（四）畫線段圖

通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式（如圖6），可以直觀清晰地展示數(shù)量之間的相等關(guān)系，即“小明的路程 + 小芳的路程 = 總路程”。

無(wú)論采用哪種方法，目的都是將抽象的問(wèn)題具體化，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以便優(yōu)化解題的途徑。這有助于學(xué)生抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

三、知識(shí)遷移，利用“舊模”建立“新模”

在嘗試獨(dú)立解決“兩家相距多少米？”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生主要有兩種解題方法：

①70×4+60×4 ②（70+60）×4

=280+240 =130×4

=520（米） =520（米）

方法①反映了線段圖中各部分量與總量之間的關(guān)系，體現(xiàn)相遇問(wèn)題的算式模型，即“速度1×?xí)r間+速度2×?xí)r間=總路程”。

對(duì)于方法②，從符號(hào)層面上來(lái)看，求兩積之和算式的兩個(gè)積中有一個(gè)乘數(shù)相同，可以逆向應(yīng)用乘法分配律。從深層意義上解析，小明和小芳的速度之和為130米/分，將每分鐘行走的130米視為一份，他們行走4分鐘的路程就是4份。根據(jù)“每份量×份數(shù)=總量”的原則，相遇問(wèn)題的模型也可以表述為“（速度1+速度2）×?xí)r間=總路程”，即抽象為乘法模型“速度和×?xí)r間=總路程”。

四、變式練習(xí)，在對(duì)比中鞏固模型

不斷變換相遇問(wèn)題的條件，引導(dǎo)學(xué)生自主探究解法，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變化中尋找不變，能鞏固學(xué)生對(duì)相遇問(wèn)題模型的理解。

（一）找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系

【變式練習(xí)1】改變時(shí)間（仍同時(shí)出發(fā)）：將條件“經(jīng)過(guò)4分鐘兩人相遇”改為“經(jīng)過(guò)5分鐘兩人相遇”“經(jīng)過(guò)10分鐘兩人相遇”“經(jīng)過(guò)20分鐘兩人相遇”等。

【變式練習(xí)2】改變時(shí)間（不同時(shí)出發(fā)）：將條件“經(jīng)過(guò)4分鐘兩人相遇”改為“若小芳比小明早出發(fā)1分鐘，小明出發(fā)后再經(jīng)過(guò)6分鐘兩人在校門口相遇”。

這兩道變式練習(xí)均調(diào)整了相遇時(shí)間，但仍然遵循“路程1+路程2=總路程”或“速度和×?xí)r間=總路程”的模型，解決的關(guān)鍵在于厘清路程、不同速度及不同時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（二）相遇問(wèn)題模型延伸

【變式練習(xí)3】改變方向：將“同時(shí)從兩地出發(fā)，面對(duì)面而行”改成“同時(shí)從某地出發(fā)，背對(duì)背而行”。

【變式練習(xí)4】改變路線（由“直線”改“環(huán)形”）：將問(wèn)題條件設(shè)置為“兩人在環(huán)形跑道上跑步，從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向而行”。

這兩道變式練習(xí)雖然不是典型的相遇問(wèn)題，但都可以轉(zhuǎn)化為典型相遇問(wèn)題，或者沿用普通相遇問(wèn)題的解題思路。

（三）靈活應(yīng)用數(shù)量關(guān)系式

【變式練習(xí)5】變?yōu)榍笏俣龋阂阎偮烦?20米，相遇時(shí)間為4分鐘，小明每分鐘走70米，求小芳的速度。

【變式練習(xí)6】變?yōu)榍髸r(shí)間：已知總路程520米，小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，求相遇時(shí)間。

這兩道變式練習(xí)圍繞相遇問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行設(shè)計(jì)，已知其中幾個(gè)量求未知量。

五、拓展延伸，體會(huì)相遇模型的廣泛應(yīng)用

（一）多次相遇

【應(yīng)用1】A、B兩地相距1200米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，在A、B兩地間往返行走，甲步行的速度是每分鐘40米，乙步行的速度是每分鐘60米。請(qǐng)問(wèn)幾分鐘后甲、乙兩人第一次相遇？第二次相遇呢？

明確每次相遇時(shí)，甲、乙兩人的總路程。甲、乙從兩地相向而行，A、B兩地的距離1200米是1個(gè)全程，第一次相遇共走1個(gè)全程；第二次相遇共走3個(gè)全程；第三次相遇共走5個(gè)全程……第n次相遇，共走2n-1個(gè)全程。

（二）中點(diǎn)相遇

【應(yīng)用2】甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，在距離中點(diǎn)50米處相遇。已知甲的速度是每分鐘100米，乙的速度是每分鐘80米，他們從出發(fā)到相遇用時(shí)多少分鐘？

在時(shí)間相同的情況下，速度越快，所走的路程越長(zhǎng)，甲的速度大于乙的速度，意味著甲的路程超過(guò)總路程的一半，比總路程的一半多50米，同理乙的路程比總路程的一半少50米，甲乙的路程差為50+50=100（米）。實(shí)際上每分鐘路程差為100-80=20（米），出發(fā)到相遇用時(shí)為100÷20=5（分）。

（三）折返相遇

【應(yīng)用3】甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)到B地。甲每分鐘行50米，乙每分鐘行60米，乙到達(dá)B地后立即返回。若兩人從出發(fā)到相遇用了10分鐘，則A、B 兩地相距多少米？

甲、乙兩人折返相遇，路程之和是2個(gè)A、B兩地的距離，即（50+60）×10=1100（米）。A、B兩地的距離為1100÷2=550（米）。

（四）聯(lián)系生活

列舉生活中類似“相遇問(wèn)題”的情境，例如，購(gòu)買上衣和褲子時(shí)，可以用“上衣的總價(jià)+褲子的總價(jià)=總價(jià)”計(jì)算，也可以把1件上衣和1條褲子看成1套，用“每套衣服的價(jià)格×套數(shù)=總價(jià)”計(jì)算。

由此可見，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，教師就需要整體規(guī)劃問(wèn)題教學(xué)，讓學(xué)生初步建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行完整的數(shù)學(xué)表述；概括提煉一類問(wèn)題的解題模型；應(yīng)用模型解決更多問(wèn)題。

（責(zé)編 楊偲培）