問題驅動與數學文化融合

［摘 要］文章以“圓的復習課”為例，將問題與數學文化融合，聚焦重難點、厘清知識關聯、構建結構化知識體系，讓學生對數學知識的發展歷程和內涵有深入的理解，最終推動學生數學核心素養的提升。

［關鍵詞］圓；復習課；問題驅動；數學文化

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0062-03

數學不僅有抽象的符號和公式，還有源遠流長的文化內涵。本文以“圓的復習課”為研究對象，通過將問題與數學文化融合，探討如何引導學生在復習課中將零散的知識聯系起來，以期為廣大教師提供參考。

一、問題驅動與數學文化融合的意義

在復習圓的特征時，教師引用古籍《墨子經上》中的句子：“圓，一中同長也。”教師解釋：“‘一中同長’這四個字準確地概括了圓的主要特征——圓只有一個圓心，圓心到圓上任意一點的距離相等，也可以說同一個圓內的半徑或直徑都相等。” 教師巧妙地將古代數學思想引入課中，讓學生在復習圓的特征的同時感受到古人的智慧，增強課堂深度和趣味性。

在復習圓的周長時，教師以《周髀算經》里的“周三徑一”概括圓的周長與直徑的關系，介紹圓周率的由來，讓學生認識到圓周率是經過漫長的演算過程才越來越精確，許多數學家為此獻出了很多精力，因此，圓周率是圓的靈魂。

在復習圓的面積時，教師導入《九章算術》中記載的“半周半徑相乘得積步”，讓學生發現古人的表達簡潔易懂。

通過系統整理與文化整合，讓學生了解在不同時期的數學知識、思想方法及數學價值。這樣的教學方式不僅能夠激發學生對數學的興趣，還能夠培養他們對數學歷史的敏感性，體會數學知識的文化魅力。

二、問題驅動與數學文化融合的實施策略

通過問題驅動的方式，設計多層次、多維度、多角度的問題，以促進學生數學能力的提升。教師可以在“基礎應用”“外方內圓”“外圓內方”等環節中，引導學生從不同角度理解和運用圓的知識，使學習過程可視化，使思維層次化。

【活動一：設計多層次問題，讓點狀知識結構化】

復習課的目標在于引導學生將零散的知識串聯起來，進一步完善知識結構。這一活動旨在培養學生主動思考問題的習慣，使他們認識到在數學課堂中構建知識結構的價值。

在“基礎應用”環節探究兩個圓的關系，揭示兩個圓的直徑、周長和面積的變化規律。

畫一畫：先畫一個半徑為4 cm的大圓，再在大圓中畫一個直徑為4 cm的小圓，使得大圓和小圓的圓心在同一點。

算一算：計算它們的周長和面積。

想一想：觀察所畫的兩個圓，你能提出哪些數學問題？

議一議：探討兩個圓之間的關系，你的依據是什么？

驗一驗：《九章算術》中記載了求圓環面積的方法“并中外周而半之，以徑乘之為積步”。如何解釋？能否驗證？

【分析】

在這個環節中，教師設計了一系列問題，旨在改變學生被動學習的狀態，使學生積極調用已有知識，主動進行知識關聯、整合和重組，構建知識網絡，達到綜合運用和整體提高的目的。

首先，教師引導學生探討兩個圓的直徑、周長和面積的變化規律。其次，通過遞進引導性的提問，學生深入思考，根據兩個圓的面積比是1∶4的關系，求出兩個圓的面積差。最后，通過調整小圓的位置，提升探索性問題的難度，讓學生發現只要小圓在大圓內，都可以用圓環公式計算面積，而非僅限于同心圓，同時，教師通過引用《九章算術》中的句子，結合數學文化，使學生在探索中感受數學的魅力。

在這個環節中，教師不是單純地說教，而是通過巧妙設計的問題，讓學生主動挖掘知識，培養他們的綜合運用能力。通過問題驅動的方式，學生梳理了零散的知識點，實現了方法的自主運用、策略的自主選擇，達到了真正的內化與構建。這種教學方式既體現了學生在課堂中的主體地位，又體現了知識的多元聯系，實現了知識再構建、再聯系的學習效能。

【活動二：提供多維度問題，讓學習過程可視化】

在“外方內圓”和“外圓內方”環節中，通過問題驅動，為學生提供多維度問題，讓學生自主回顧舊知識，自然地構建知識網絡。這種教學方式避免了由教師主導的講解，激發了學生的學習興趣和主動性，使教學效果最大化。

本環節的問題設計如下：

（1）說一說，你是如何找圓心的？

（2）你能求出正方形里面最大的圓的面積嗎（如圖1）？

（3）求出正方形與它里面最大的圓的面積差。有幾種解法？

（4）正方形與它里面最大的圓的面積之比是多少？結論是唯一的嗎？

（5）已知正方形與它里面最大的圓的面積之比，能否利用這個比求圓的面積呢？

（6）在“外圓內方”的圖形中（如圖2），已知圓的周長是25.12 cm，你能提出哪些數學問題？

（7）大正方形、圓、小正方形這三個圖形（如圖3）的面積之比是多少？兩個正方形的面積之比是多少？

【分析】

在這個環節中，通過問題（1）到問題（7）的遞進，學生在解決問題的過程中逐步梳理知識，發現了找圓心的方法，并根據問題（2）求出正方形內最大的圓的面積。問題（4）引發學生對面積之比的思考，學生不僅驗證了“外方內圓”模型中正方形和圓的面積之比是4∶π，還進一步探討了面積之比的運用。問題（6）則引導學生復習“外圓內方”模型，讓學生自主提出并解決相關問題，并得出“外圓內方”模型中圓與正方形的面積之比是π∶2的結論，從而深化對知識的理解。問題（7）通過嵌入高階思維問題，讓學生求三個圖形的面積之比“S大正方形∶S圓∶S小正方形= 4∶π∶2”，繼續探究得出“S大正方形∶S小正方形=2∶1”的關系，培養了學生的綜合運用和思維能力。

整個環節以問題為核心，層層遞進，充分激發了學生的求知欲，讓學生形成對知識的整體感知。學生不僅學到了解決問題的方法與策略，還提高了對數學知識的理解和運用能力。這種教學方式既加強了學生的參與度，又有助于學生鞏固知識，收獲了良好的課堂教學效果。

【活動三：設置多角度問題，讓學習思維層次化】

數學思想方法在數學課堂教學中具有重要作用。因此，教師要引導學生提煉數學思想方法。

以下是鞏固環節的問題設計。

下面（如圖4）哪些圖形陰影部分的面積與最左邊的圖形陰影部分的面積相等？請說明理由。

【分析】

學生在閱讀問題后，通過觀察和思考，逐步對不規則圖形的面積有一定理解。學生通過看規則的空白部分，進而推斷陰影部分的面積是否相等。因此，將圖形①中的空白部分“移一移”，發現空白部分剛好能拼成一個圓，這個圓的面積與最左邊的圖形中的圓的面積相等，說明兩個圖形中陰影部分的面積也相等。

接著，教師以圖形②為例，引導學生用正方形面積減去扇形面積，或通過最左邊圖形中圓的半徑與圖形②中扇形所在圓的半徑之比為1∶2，推出兩個圓的面積之比為1∶4，再發現圖形②的空白部分，即扇形的面積剛好等于最左邊圖形中圓的面積。這樣的問題設計使學生運用多種方法解決問題，拓展了學生的解題思路，培養了他們靈活運用數學知識的能力。接著探究圖形③、圖形④，教師繼續追問：“你能得到怎樣的結論？根據已有知識能否找出它們之間的關系？”教師提的這些問題，引導學生在不計算的情況下，從不同角度挖掘圖形的本質關系。學生通過層層遞進的問題，在觀察中發現，在發現中感悟，在感悟中提升，逐漸領會圖形的性質，從而提高自己的推理能力。

另外，在總結環節，教師通過課件演示點、線、面、體的形成過程，并提問：“接下來我們會學到哪些與圓有聯系的知識？”學生的回答有圓柱、圓錐等。教師追問：“那具體會學到圓柱、圓錐的哪些知識呢？”學生回答涉及圓柱的表面積、體積等方面。

這樣的總結不僅是對當前學習內容的回顧，還是站在大概念的視角審視學習內容。這一過程整合了相關資源，構建了知識體系。以問題引導學生將點狀知識聯系起來，形成統一的知識體系，實現了跨越單元的融合。這種整合展現了課程的整體性，提升了學生的數學核心素養。通過深化數學知識結構，學生能夠更好地把握知識之間的內在聯系，提升自己的邏輯思維能力。這樣的教學設計旨在幫助學生全面理解數學知識，體現板塊、單元、課時知識的一致性，同時也實現同一板塊知識之間的前后聯結、互聯互通。

三、問題驅動與數學文化融合的效果分析

數學文化的價值不僅關乎數學本身和數學教育體系，還涉及人類文明的進程。數學文化的價值可以通過數學問題表現出來。因此，筆者通過對教學實踐的分析，論證了問題驅動與數學文化融合的有效性。

在問題驅動的教學中，教師引導學生提出問題、分析問題、解決問題，在解決問題的過程中領悟數學思想方法，并將其轉化為自身的智慧。這不僅構建了復習課的知識框架，還培養了學生的自主思考能力和解題能力，體現了問題驅動教學的有效性。

通過問題驅動與數學文化融合的教學策略引領學生進行系統整理，推動學生的數學能力提升，實現知識整合與體系構建，這一教學方式不僅在獲取知識層面取得了顯著效果，還在培養學生學科思維和解題能力上取得了令人滿意的成果。問題驅動與數學文化融合的教學策略為學生提供了深層次的學習體驗，激發了他們對數學的興趣和探究欲。這種教學方式既弘揚了數學文化，又能使學生深入理解所學知識，并靈活運用所學知識解決問題。

（責編 黃 露）