經(jīng)歷探究過(guò)程　培養(yǎng)推理意識(shí)

［摘 要］“找規(guī)律”是小學(xué)階段的一種典型的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理意識(shí)具有重要意義。文章以蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)“面積的變化”一課為例，通過(guò)關(guān)注起點(diǎn)、探究規(guī)律、完善規(guī)律、回顧反思等策略，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，促使學(xué)生從知識(shí)掌握向思維深度發(fā)展，逐步形成初步的推理意識(shí)。

［關(guān)鍵詞］圖形變化；猜想；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；推理意識(shí)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）26-0051-04

蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)的“面積的變化”這一“探索規(guī)律”的專題內(nèi)容，是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圖形的放大和縮小，理解了比例的意義和基本性質(zhì)并能運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題之后編排的，旨在讓學(xué)生尋找平面圖形按比例放大后面積變化的規(guī)律，同時(shí)通過(guò)體驗(yàn)探究方法，強(qiáng)化問(wèn)題意識(shí)，深化思維層次，遷移活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而逐步提升推理能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了圖形的放大、縮小后，是否理解其面積是如何變化的？面積變化的倍數(shù)與對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)變化的倍數(shù)之間究竟存在何種關(guān)聯(lián)？學(xué)生對(duì)此了解到何種程度？針對(duì)這些問(wèn)題，筆者采用問(wèn)卷的形式對(duì)所在學(xué)校六（8）班的51名學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情調(diào)研。

一、學(xué)情診斷

（一）前測(cè)內(nèi)容

測(cè)試1：量一量、填一填。圖1中的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)（ ）厘米，寬（ ）厘米，大長(zhǎng)方形長(zhǎng)（ ）厘米，寬（ ）厘米，大長(zhǎng)方形是把小長(zhǎng)方形按（ ∶ ）放大得到的，放大后與放大前圖形的面積之比是（ ∶ ）。

測(cè)試2：把圖2中的平行四邊形按3∶1放大，畫出放大后的圖形。如果每一小格的邊長(zhǎng)都是1厘米，那么放大后與放大前圖形的面積比是（ ∶ ）。用你喜歡的方式證明你的結(jié)論。

測(cè)試3：上面兩題有什么共同之處？你還能想到什么？

（二）前測(cè)分析

測(cè)試1要求學(xué)生通過(guò)測(cè)量來(lái)感知圖形放大的意義，理解放大前后長(zhǎng)方形面積比與對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比的不同。測(cè)試2則要求學(xué)生根據(jù)比例繪制放大后的圖形，并用自己的方法證明結(jié)論。這不僅鍛煉了學(xué)生的推理能力，也教會(huì)了他們?cè)诿鎸?duì)新問(wèn)題時(shí)應(yīng)采用的探究方法。測(cè)試3進(jìn)一步要求學(xué)生在前兩題的基礎(chǔ)上進(jìn)行自主探究，發(fā)現(xiàn)圖形面積放大與縮小的規(guī)律，甚至從二維圖形的特征聯(lián)想到三維圖形體積比的變化，這對(duì)學(xué)生的理解能力提出了更高的要求。

通過(guò)表1可知，學(xué)生對(duì)圖形放大和縮小的概念有較為清晰的認(rèn)識(shí)，但在圖形變化規(guī)律及其背后反映的本質(zhì)內(nèi)容上的認(rèn)識(shí)不足。教學(xué)不應(yīng)停留在學(xué)生對(duì)概念文字層面的理解，而要引導(dǎo)學(xué)生探索圖形放大或縮小后求面積的簡(jiǎn)便方法。只有注重思維能力的培養(yǎng)，才能為學(xué)生學(xué)習(xí)比例尺打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、課堂實(shí)踐

如何從問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲？如何引領(lǐng)學(xué)生自主探究平面圖形按比例放大前后的面積變化規(guī)律？如何通過(guò)觀察操作、合作探究、分析比較、驗(yàn)證推理等手段，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？下面，筆者將結(jié)合四個(gè)具體的教學(xué)片段進(jìn)行詳細(xì)分析。

【片段一】關(guān)注起點(diǎn)，凸顯問(wèn)題意識(shí)

師：通過(guò)前測(cè)，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生1：圖形的面積變了，形狀會(huì)變嗎？

生2：面積是怎樣變化的？面積變化的規(guī)律是什么？

生3：面積的變化和什么有關(guān)？與前面學(xué)習(xí)的圖形的放大和縮小有什么聯(lián)系？

師：這些都是值得探究的Vrhbt4iqqXFpl2z/Ohn9pwEueYG++iXtDI5rK6LH8Rk=好問(wèn)題。面對(duì)新問(wèn)題，我們通常可以圍繞“是什么”“為什么”“怎么樣”三個(gè)關(guān)鍵詞來(lái)探究。

師：如果將一個(gè)平面圖形按比例放大，面積將會(huì)有怎樣的變化，你打算怎樣探究？

生4：可以畫一個(gè)長(zhǎng)方形，再將它放大，分別算出各自的面積，然后得到它們之間的關(guān)系。

【思考】“面積的變化”這一主題聚焦于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)圖形的理解，通過(guò)圖形的放大或縮小，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握影響圖形變化的關(guān)鍵因素，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。探索規(guī)律的過(guò)程，必須嚴(yán)格遵循“提出問(wèn)題—驗(yàn)證猜想—得出結(jié)論”的科學(xué)步驟。因此，教師以“通過(guò)前測(cè)，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？”為切入點(diǎn)，這符合知識(shí)本身的邏輯順序，聚焦本課中有關(guān)面積怎樣變化的核心問(wèn)題，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)，激發(fā)他們的探究欲望，并促使學(xué)生形成積極主動(dòng)的探究精神。

【片段二】探究規(guī)律，彰顯思維深度

師：將長(zhǎng)方形按n∶1放大，放大后與放大前的面積之比是n2∶1，是不是就可以確認(rèn)已經(jīng)解決了面積變化的問(wèn)題？

生1：只有一個(gè)平面圖形不足以說(shuō)明問(wèn)題，還得研究其他平面圖形。

師（出示圖3）：圖中有3組圖形，上面是原來(lái)的圖形，下面是對(duì)應(yīng)的放大后的圖形，它們是按照幾比幾放大的？圖形放大后，與放大前相比的變化規(guī)律是什么？（學(xué)生回答略）

師：猜想是否正確需要驗(yàn)證。請(qǐng)同學(xué)們拿出研究單（二）（如圖4），同桌兩人合作，共同驗(yàn)證剛剛得到的結(jié)論在其他平面圖形中是否同樣存在。

[研究單（二）

一、研究目的

驗(yàn)證：把其他平面圖形按n∶1放大，放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

二、研究材料

把正方形、三角形和圓按比例放大，放大前后的圖形如下：

三、數(shù)據(jù)收集

生2：我們組通過(guò)觀察、計(jì)算后發(fā)現(xiàn)“如果每個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度比是n∶1， 那么放大后與放大前的面積之比是n2∶1”，所以我們的猜想是成立的。

師：是不是所有圖形都符合這樣的規(guī)律？如果是平行四邊形或者梯形呢？請(qǐng)自主確定比例，先猜想再驗(yàn)證，最后得出結(jié)論。（學(xué)生回答略）

師：到現(xiàn)在為止，我們是否可以說(shuō)將任意一個(gè)平面圖形按n∶1放大，放大后與放大前的面積之比就是n2∶1？

生3：如果是組合圖形，會(huì)不會(huì)也有這樣的規(guī)律？

師：不規(guī)則圖形很多都是由簡(jiǎn)單、規(guī)則的基本圖形通過(guò)疊加變成的，課后有興趣的同學(xué)可以試著畫圖進(jìn)行驗(yàn)證。

【思考】在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生探索圖形面積的變化，運(yùn)用計(jì)算、猜想、驗(yàn)證、交流，展現(xiàn)了探究方法與思維全面性的統(tǒng)一。當(dāng)學(xué)生已經(jīng)理解了長(zhǎng)方形按照一定比例放大后面積的變化規(guī)律后，教師提出“是不是就可以確認(rèn)已經(jīng)解決了面積變化的問(wèn)題”，幫助學(xué)生從長(zhǎng)方形這一簡(jiǎn)單圖形入手，通過(guò)合作研究其他平面圖形，進(jìn)而得出面積放大的規(guī)律。從特例到一般再到開放性探究，三次猜想逐層推進(jìn)，學(xué)生完全參與整個(gè)探究過(guò)程，提升了合作意識(shí)，有效地促進(jìn)了思維的全面性和深度發(fā)展。

【片段三】完善規(guī)律，發(fā)展推理意識(shí)

師：把一個(gè)平面圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前的面積之比是n2∶1。對(duì)此，大家還有哪些疑問(wèn)？

生1：為什么會(huì)有這樣的變化？

生2：如果將一個(gè)平面圖形按比例縮小，面積又會(huì)有怎樣的變化？

師：你能用推理的方式證明這個(gè)規(guī)律是正確的嗎？

生3：長(zhǎng)方形長(zhǎng)a、寬b，按n∶1放大后，新的長(zhǎng)是an，新的寬是bn，原來(lái)的面積是ab，新的面積是an·bn，即（ab·n2）∶（ab）= n2∶1。

師：如果將一個(gè)圖形按1∶n縮小，猜想一下，縮小后和縮小前的面積之比是多少？

生4：如果一個(gè)圖形按照1∶n縮小，每條邊的長(zhǎng)度是原來(lái)的n分之一，那么縮小后和縮小前的面積比就是1∶n2。

【思考】學(xué)生的思維具有不斷生長(zhǎng)的特性，因此教師可以依據(jù)思維的生長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)行縱向拓展。當(dāng)學(xué)生掌握了一個(gè)平面圖形按照n∶1放大后面積變化的規(guī)律，教師提出“大家還有哪些疑問(wèn)”，這向?qū)W生傳遞了一個(gè)信息：除了畫圖、測(cè)量、計(jì)算、比較等手段，還可以通過(guò)推理來(lái)驗(yàn)證圖形放大的規(guī)律。學(xué)生在觀察和比較中自主進(jìn)行逆向探究，即探討平面圖形按一定比例縮小后的面積變化規(guī)律時(shí)，他們已經(jīng)在腦海中構(gòu)建了面積比與長(zhǎng)度比相關(guān)聯(lián)的新數(shù)學(xué)模型，從而完善了對(duì)平面圖形面積變化規(guī)律的理解。

【片段四】回顧反思，遷移活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

師：通過(guò)學(xué)習(xí)，你有什么收獲或者想法？

生1：從最簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方形開始研究，然后通過(guò)猜想、驗(yàn)證找到規(guī)律。

生2：對(duì)于三角形、正方形、圓、平行四邊形、梯形等其他平面圖形，通過(guò)猜想、驗(yàn)證也能找到總結(jié)性的規(guī)律。

生3：不管是按比例放大還是按比例縮小，如果影響變化的兩個(gè)因素是同步的，即使大小變了，圖形的形狀也沒(méi)有改變。

生4：因?yàn)槠矫鎴D形長(zhǎng)度之比是n∶1時(shí)，面積之比為n2∶1，我聯(lián)想到立體圖形每條棱長(zhǎng)按n∶1的比放大，放大后與放大前的體積之比是n3 ∶1。

【思考】回顧與反思不僅是學(xué)生在參與完整探究活動(dòng)過(guò)程中不可或缺的一環(huán)，而且是教師引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)、掌握探究方Hlek3cKEN7EjXWXEkCYpcg==法、體驗(yàn)感悟規(guī)律、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效途徑。學(xué)生在面對(duì)面積變化規(guī)律的初步感知、猜想驗(yàn)證，直至最終獲得結(jié)論的過(guò)程中，已經(jīng)將學(xué)習(xí)知識(shí)的方法貫穿于整個(gè)探究規(guī)律的過(guò)程。他們不僅從二維空間的面積變化角度觀察事物，而且將視角擴(kuò)展到三維空間的體積變化。

三、課后反饋

為及時(shí)掌握學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果，同時(shí)也為再次的教學(xué)提供可以實(shí)施教學(xué)干預(yù)的可能，筆者在課后立即進(jìn)行了教學(xué)后測(cè)。

（一）后測(cè)內(nèi)容（同前測(cè)內(nèi)容）

（略）

（二）后測(cè)分析

通過(guò)表2可知，在測(cè)試1中，學(xué)生需要根據(jù)長(zhǎng)方形長(zhǎng)度比的變化來(lái)求得面積比，正確人數(shù)為46人，占比達(dá)到90.2%。這表明絕大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠通過(guò)測(cè)量的方式理解圖形放大的概念，并掌握了平面圖形按n∶1放大后的面積變化規(guī)律。在測(cè)試2中，學(xué)生需要根據(jù)給出的平行四邊形畫出放大后的圖形，有41人畫圖正確，占比達(dá)到80.4%。有84.3%的學(xué)生能夠通過(guò)類比推理找到平面圖形按一定比例放大后的規(guī)律，并能夠根據(jù)個(gè)人喜好用計(jì)算或演繹推理驗(yàn)證自己的猜想，這一數(shù)據(jù)在前測(cè)中僅為56.9%，表明學(xué)生的推理能力有了顯著提升。在測(cè)試3中，有39人能夠用自己的語(yǔ)言或演繹推理表達(dá)平面圖形放大后面積的變化規(guī)律，正確率從前測(cè)的51.0%上升到76.5%。另外，有16人聯(lián)想到圖形縮小的變化規(guī)律，2人聯(lián)想到體積比，正確率從前測(cè)的2.0%上升到35.3%。這說(shuō)明學(xué)生在課堂上真正參與了探究過(guò)程，能夠從前兩題中找到共同點(diǎn)，不斷增強(qiáng)問(wèn)題意識(shí)。他們不僅從平面圖形面積的放大聯(lián)想到面積的縮小，甚至將思維擴(kuò)展到圖形體積的變化，逐步將探索過(guò)程中積累的經(jīng)驗(yàn)通過(guò)內(nèi)化表達(dá)出來(lái)，思維的廣度和深度得到了顯著提升。

有了前測(cè)對(duì)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確把握，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律的過(guò)程。在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不僅要彰顯思維的深度，還要幫助學(xué)生提升推理能力，并積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師基于思維的教，學(xué)生基于思維的學(xué)，最終指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 楊宏權(quán).讓初步的科學(xué)方法論教育在此萌發(fā)：由“面積的變化”教學(xué)實(shí)踐說(shuō)開去[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（9）：67-70.

[3] 吉陽(yáng)艷.“猜想—驗(yàn)證”，讓學(xué)生更具生長(zhǎng)性：以蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《面積的變化》一課為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2018（4）：79-81.

【本文系2021年江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期課題“基于關(guān)鍵能力發(fā)展的小學(xué)數(shù)學(xué)‘綜合與實(shí)踐’領(lǐng)域教學(xué)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2021JY14-L168）的階段研究成果。】

（責(zé)編 李琪琦）