數學史融入數學課堂：為了實現遷移而教

［摘 要］單元整體教學能夠有效建立知識間的內在聯系，促進知識與方法之間的遷移。文章以“梯形的面積”一課為例，從數學史料的梳理、教學活動的重構、教學價值的追尋等多個維度詳細闡述將數學史與數學文化融入單元整體教學在促進知識遷移、能力提升及推動創新發展等方面的積極作用。

［關鍵詞］數學史；梯形的面積；遷移

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0015-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）教學建議指出，要重視單元整體教學，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養的關聯性。單元整體教學的基本思路是以所學內容的核心概念為統領，建立知識之間的聯系，促進知識與方法的遷移，發展學生的核心素養。將教學同時置于數學史和單元整體教學的背景之下是實現有效遷移的重要手段。那么，融入數學史的單元整體教學為何能有效促進遷移？又如何促進有效遷移？筆者針對“多邊形的面積”單元中“梯形的面積”一課，進行了深入的教學思考與實踐探討。

一、史料梳理：觀單元之域，統遷移之徑

單元整體教學與HPM（數學史與數學教育）存在很多共通之處，兩者結合可以更好地發揮各自的優勢，使數學課堂教學的深度和高度得到進一步提升。將同一主題下的數學史料有機地融入單元整體教學的各個課時中，更能凸顯單元核心內容，形成明確、有效的可遷移的學習路徑。以“梯形的面積”一課為例，從單元整體的角度來看，梯形面積的學習必然要通過有效的遷移，借助前期三角形或平行四邊形轉化的經驗和方法，幫助學生減少學習的阻力，而數學史、數學文化中豐富的史料恰好能提供遷移轉化的有效方法。

在傳統數學文化中，以《九章算術》為代表的數學著作對以土地為載體的平面圖形面積問題非常重視。《九章算術》“方田”一章的研究對象就是各種平面圖形的面積，其中關于梯形面積公式的內容比較豐富，包括“邪田”和“箕田”兩種，也就是直角梯形和等腰梯形。關于直角梯形面積計算的“邪田術”有兩種，一是“并兩邪而半之，以乘正從若廣”，即“（上底+下底）÷2×高”；二是“半正從若廣，以乘并”，即“高÷2×（上底+下底）”。對于前一種方法，劉徽解釋為“并而半之者，以盈補虛也”，即“求上底、下底的平均數，目的就是通過移多補少把梯形轉化為長方形”。關于等腰梯形面積計算的“箕田術”表述為“并踵、舌而半之，以乘正從”，即“（上底+下底）÷2×高”。對此，劉徽解釋為“中分箕田則為兩邪田，故其術相似”，即“等腰梯形可以沿對稱軸分成兩個直角梯形，因此它的面積計算方法與直角梯形相似”。劉徽還補充了 “又可并踵、舌，半正從以乘之”，即“（上底+下底）×（高÷2）”。從《九章算術》及其劉徽注中可以發現，古人非常重視梯形面積計算公式的一致性，并且盡力做到與三角形面積計算方法“圭田術”乃至長方形面積計算方法“方田術”一脈相承（如圖1）。

若以《幾何原本》中的“等底等高”命題為線索，也可以幫助學生構建多邊形面積的整體性和可遷移的認知結構。《幾何原本》命題Ⅰ. 37和命題Ⅰ. 38都是關于三角形面積的，可以概括為“等底等高的三角形面積相等”。借助這一命題，可以將平行四邊形或梯形沿對角線分成兩個三角形，再通過平移、旋轉及等積變形等方式轉化為一個三角形，從而建立另一條學習路徑（如圖2）。

二、課堂重構：以歷史之盈，補現實之虛

根據歷史相似性原理，數學發展歷史中所經歷的階段和困難，很大程度上會在學生個體的學習過程中重演。因此，借助數學史來設置引入知識點的順序，根據學生的認知發展特點合理編排教學內容，并對重難點作提前孕伏，能有效帶領學生走向深度學習。基于上述思考，筆者所在的研究團隊決定從單元整體教學的視角對各課時內容進行統整重構，以東西方數學文化雙線并進，對本單元教學的順序、路徑進行重新編排：將長方形作為學習起點，將三角形作為核心內容，構建立體多元的多邊形面積學習結構。其中，“梯形的面積”的教學將利用學生前期已有的知識技能、思想方法和活動經驗的遷移達成目標，并對已知多邊形的面積進行較為全面的梳理。

（一）喚醒經驗，提出方案，補知識架構之虛

在傳統“多邊形的面積”單元的教學中，雖然教師大多采用轉化的思想方法，但各個圖形的轉化路徑都相對孤立，缺少整體性、一致性和普適性，不利于學生核心素養的培養。引入數學史，則恰好能彌補這一短板。我國古代數學著作《九章算術》的“方田章”中記載了多種平面圖形面積的計算方法，其中“出入相補”原理能以統一的路徑轉化并推導本單元所有基本圖形的面積公式。若是再將其與《幾何原本》中的“等底等高”命題結合起來，即可徹底打通這幾種基本圖形之間的轉化路徑，形成系統化、多樣化的轉化策略。

課堂伊始，教師借助前兩節課的研究成果（如圖3），結合視頻、圖片及文獻資料帶領學生回顧利用“出入相補”原理和“等底等高”命題研究三角形、平行四邊形面積的過程，并邀請學生對梯形面積的研究路徑提出猜想。基于前兩節課的活動經驗，學生很自然地聯想到用“割補”“倍拼”“分割”等方法將梯形轉化為長方形、三角形、平行四邊形來研究，這為接下來的自主探究鋪平了道路。

（二）實踐操作，驗證猜想，補實踐探究之虛

《課程標準》明確指出，課程內容要“重視數學結果的形成過程，處理好過程與結果的關系；重視學生直接經驗的形成，處理好直接經驗與間接經驗的關系”。傳統的多邊形面積教學大多缺乏深層次的公式推導過程，使得學生無法深入理解多邊形面積的本質，而數學史的引入指明了探究的方向，能為學生提供深入探究的機會。

在前期的學習過程中，學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力得到了發展，學生也具備了一定的用畫圖等手段描述和分析問題的意識與能力，并能主動建立形與數的聯系。在教師明確給出“用喜歡的轉化路徑研究梯形的面積，畫出示意圖，并用字母表示其面積公式”的活動要求后，學生給出了幾種典型轉化方案及對應的面積公式（如圖4）。

這些方案看似不同，卻有著內在聯系。比如方案①④⑨轉化得到的形狀雖然不同，但都是應用了“出入相補”原理；方案①④是將上底與下底拼接，成為新圖形的底（長），高變為原來的一半；方案⑨則是轉化為三角形后求解；方案②⑤亦然，新圖形的底（長）是原梯形上下底“移多補少”后的平均值，而高不變；方案③⑥是通過“倍拼法”推導出梯形面積的表達式，但其本質也是通過“補”來解決梯形上下底長短不一的問題；方案⑦⑧則是用分割法將梯形分割成2個三角形，分別計算面積再求和。對每一種方案的剖析，都是深度探究的過程，促進了學生對梯形面積公式乃至多邊形的面積本質的理解。

（三）對比感悟，求同存異，補深度思考之虛

在傳統的多邊形面積教學中，面積推導路徑較為單一，學生無法感受多種方法背后的同一性，而數學史中豐富的推導方法恰好能為探究提供素材。多樣的轉化路徑和統一的推導結果，能在對比中引發學生深度思考背后的原理。

【思考1】割補時，只有面積在“移多補少”嗎？

在嘗試用字母表示方案②⑤的面積公式時，學生往往會在如何表示新圖形的底（長）上犯難。用字母表示數提高了思考的門檻，但字母具有的一般性卻能將學生的思維引向核心問題，即“割補的標準是什么”。學生通常能依靠對圖形的直觀判斷鎖定割補的位置，卻難以表述其緣由。串點成線、連線成面，點、線、面本是一體。當從“面”的角度無法直接闡明時，不妨退回到“線”的層級。“割補時，只有面積在‘移多補少’嗎？”這一追問能夠引導學生關注圖形移動前后的其他變化。學生當即反饋：邊長也在“移多補少”。“直覺”的背后是邊長的“出入相補”，即將盈余長度補到短缺的位置（如圖5），解決梯形上下底長短不一的問題。因此，新圖形的底（長）應是原梯形上下底的平均值。在這里，“平均值”即是裁定盈與缺的標準。先有標準，而后才知盈缺相補的分寸，其指向的正是數學核心素養中的數感與量感。

【思考2】式子能合并成一個整體，圖也可以嗎？

方案⑦⑧是用分割法將梯形分割成2個三角形，學生很容易得到“a×h÷2+b×h÷2”的表達式，而應用乘法分配律，還能將上述式子進一步簡化為“（a+b）×h÷2”。式子成了一個整體，而圖卻是“分裂”的。“能否將圖形進一步轉化，使之成為一個整體，與式子相對應呢？”這一追問引發了學生對圖與式一致性的思考，為學生發展空間觀念和幾何直觀提供了契機。學生在前兩節課的鋪墊下，很快意識到可以在平行線之間移動、合并兩個小三角形的頂點，借助“等底等高”命題將其轉化為一個大三角形。這樣一來，式子中的“a+b”正好對應大三角形的底，“h”為大三角形的高，與三角形面積公式正好對應一致（如圖6）。無論是從運算律還是從圖形轉化的角度去理解，都能得到一致的結論。這樣，學生在實踐中深化了對數形結合思想的理解，也領略了數學的整體性與簡潔美。

【思考3】式子的結果一樣，含義也一樣嗎？

歸類呈現多樣的轉化方法后，學生通過四則運算的相關性質，可以判定所有字母表達式的結果都是相同的，但含義卻不一樣：“÷2”位置的改變會引起含義的改變，如圖4中方案①④的“÷2”是高的一半，方案②⑤的“÷2”是上下底的平均數（或上下底之和的一半），方案③⑥的“÷2”是“倍拼”后面積的一半，而方案⑦⑧⑨的“÷2”是三角形面積公式中的“÷2”。在求同存異中，學生亦對這些方法產生了自己的判斷，如將梯形“倍拼”為平行四邊形的方法更便于記憶，轉化為長方形的路徑更容易想到，合并為大三角形來求解的過程很巧妙等。無論是哪種轉化路徑，都是將未知的梯形轉化為已知的圖形來研究面積，都有助于學生理解多種方法背后的同一性，深化對面積本質的認識。

（四）文化滲透，聯系整合，補思想情感之虛

著名科學史家薩頓指出：數學史可以讓數學變得人性化，而人性化的數學教學能使學生熱愛并深刻理解數學。“出入相補，以盈補虛”作為中國古代數學研究中的基本原理，展示了中國古代幾何研究的輝煌成就。在教學中融入“出入相補”原理，可以促進學生理解數學史和數學的發展歷程，拉近數學與學生之間的距離；有助于學生領略我國古代數學家的過人智慧，提升民族自豪感和文化認同感。在學生經歷較為完整的探究過程后，可出示《九章算術》及其劉徽注中對梯形面積研究的記載并補充完善四種多邊形面積的轉化路徑（如圖7）。學生會驚奇地發現：這四種基本圖形的面積確實可以實現相互轉化。這樣的思路與古代偉大數學家的想法如出一轍，無疑能增強學生學習數學的自信與興趣。

[《九章算術》

“并踵、舌而半之，以乘正從。”

梯形作為一般四邊形，其面積公式很適合作為教學載體來讓學生感悟多邊形的面積之間的聯系。因此，在教學總結環節可出示平行線之間“等底”的三角形、平行四邊形、梯形的面積問題，幫助學生拓展提升（如圖8）。觀察數據特點和精確計算后，學生會發現這些圖形的面積在公式形式與計算結果上都具有一致性。若將三角形和平行四邊形分別看作“上底為0”和“上下底等長”的“特殊梯形”，它們的面積公式還具有統一性。這樣，普適的結論揭示了多邊形面積的本質，學生對多邊形面積的認識得到了進一步升華。

三、價值追尋：擷文化之菁，破發展之壁

無論是東方《九章算術》的“出入相補”原理，還是西方《幾何原本》的“等底等高”命題，歸根結底，皆為等積變形。通過等積變形將未知轉化為已知，其背后正是化歸思想。化歸是數學思想方法中的精髓，其實質是以運動發展的觀點，以及事物之間相互聯系、相互制約的觀點看待問題，化復雜為簡單，變未知為已知，從而更好地解決問題。那么，融入數學史與數學文化的單元整體教學，在進行至第三課時“梯形的面積”時，學生能否打破多邊形的面積轉化壁壘，實現知識遷移與能力提升？能否融合東西方數學文化，實現深度理解、靈活創新？回答上述問題將對提升數學史與數學文化引入課堂教學的實際效用提供參考。

（一）運動遷移，發展推理意識，打破知識壁壘

推理意識是指對邏輯推理過程及其意義的初步感知。在“多邊形的面積”這一單元中，推理意識具體表現為在圖形轉化時的整體感知和細節理解。在“梯形的面積”一課中，學生能自主遷移經驗，有意識地利用“出入相補”“倍補拼合”“分割求和”等方法將梯形轉化為已知的長方形、三角形、平行四邊形來推導面積公式，打通多邊形面積之間的轉化壁壘，實現方法和路徑上的統一。從第一課時的數格子到第二課時的數值計算，再到第三課時用代數式表示面積，學生借助字母表示的一般性，能夠在有層次的抽象化中進一步感知多邊形面積的本質，遷移、化歸和推理能力得到進一步的提升。豐富的活動經驗，融通的數學思維，均能幫助學生打破思維定式，指引學生靈活處理陌生、復雜的變式問題，為后續研究組合圖形的面積奠定基礎。

（二）形變互化，發展空間觀念，實現融合創新

在眾多的轉化方案中，圖4中的方案⑨值得引起關注，因為它的出現在一定程度上象征著東西方數學文化的融合與創新。筆者在多次試教中發現，在運用“出入相補”原理轉化未知圖形時，學生大多認為轉化為長方形更容易。這是有原因的。結合《九章算術》及其劉徽注中的記載可知，我國古代在研究多邊形面積時，往往是以長方形為基本圖形進行化歸的。史料的強烈暗示及對長方形表征的深刻印象，使得學生偏向于將圖形轉化為長方形或轉化為與長方形更類似的平行四邊形，這在一定程度上限制了學生的發散性思維。而在融入“等底等高”命題后，學生的思路得到了進一步拓寬。在前期的層層鋪墊中，轉化合并為大三角形的“形”逐漸滲透到學生的思維中，學生開始嘗試以三角形為對象進行“出入相補 ”（如圖9）。“出入相補”的“徑”與等底等高的“形”在這一方案中實現了融合，學生的空間觀念及創新意識得到了發展。

綜上，沿著數學史的研究足跡去統整單元教學內容，在“梯形的面積”中引入數學文化的意義具體體現在三個層面：從單一課時的微觀層面看，為梯形面積的研究提供了探究的素材和空間，使學生能以歷史親歷者的角色操作和驗證梯形與已知圖形之間的轉化，重視學生直接經驗的形成，正確處理了過程與結果的關系；從整個單元的中觀層面看，溝通了多邊形面積之間的聯系，打通了多邊形面積轉化的道路，實現了知識的遷移與方法的創新，關注了教學活動實施的整體性和一致性；從“圖形與幾何”整個教學領域的宏觀層面看，歷史中與課堂上的成功經驗將進一步增強學生的學習動機和探究欲望，激勵學生綜合運用已掌握的知識技能與思想方法研究圖形問題，為后續研究更復雜的相關問題積淀信心、積累經驗、做好準備。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 馬云鵬.基于結構化主題的單元整體教學：以小學數學學科為例[J].教育研究，2023，44（2）：68-78.

【本文系2020年度教育部人文社會科學研究青年基金項目“多路徑數學科普的構建及其對少數民族學生數學觀的影響研究（20YJC880117）”階段性成果。】

（責編 金 鈴）