HPM視角下單元起始課的教學(xué)思考與實(shí)踐

［摘 要］數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)，對(duì)于梳理教學(xué)順序和提煉教學(xué)主線具有重要的參考價(jià)值，是單元起始課設(shè)計(jì)與實(shí)施的重要依據(jù)。從HPM視角梳理教學(xué)內(nèi)容的順序，以達(dá)到邏輯序、歷史序和認(rèn)知序“三序合一”的目的；從HPM視角提煉教學(xué)主線，以形成圍繞特定主題的系列化、結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系和學(xué)習(xí)路徑；從HPM的角度設(shè)計(jì)與實(shí)施單元起始課的教學(xué)活動(dòng)，為核心思想方法提供載體，體現(xiàn)核心思想方法的價(jià)值，為單元后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供思路和線索。

［關(guān)鍵詞］HPM；三角形的面積；單元起始課

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）26-0006-05

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）特別注重核心素養(yǎng)培養(yǎng)的整體性落實(shí)，提出“要通過(guò)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)”。在單元整體教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程中，單元起始課的作用非常重要，它是整個(gè)單元的知識(shí)技能、思想方法的起點(diǎn)，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)指明了方向。數(shù)學(xué)史作為蘊(yùn)含數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)的重要資源，對(duì)于梳理教學(xué)順序和提煉教學(xué)主線具有重要的參考價(jià)值，因此，它也是單元起始課設(shè)計(jì)與實(shí)施的重要依據(jù)。為此，筆者以數(shù)學(xué)史料為參照，將“三角形的面積”作為“多邊形的面積”單元起始課，以HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）視角進(jìn)行教學(xué)順序分析、教學(xué)主線提煉及教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)與實(shí)施。

一、分析教學(xué)順序，明確教學(xué)起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源與載體，但是往往受限于篇幅容量和表現(xiàn)形式，只能靜態(tài)呈現(xiàn)部分重要的結(jié)論，并且這些內(nèi)容一般都側(cè)重于知識(shí)點(diǎn)的邏輯順序。然而，教材編排應(yīng)平衡學(xué)生學(xué)習(xí)和學(xué)科體系之間的關(guān)系，既要關(guān)注學(xué)科內(nèi)容的整體性，也要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的心理特征，不要簡(jiǎn)單地按學(xué)科體系的結(jié)構(gòu)化順序編排。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)建立在充分經(jīng)歷和體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)盡可能同時(shí)兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的邏輯順序、數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史順序，以及學(xué)生認(rèn)知過(guò)程中的心理順序。從HPM視角分析教學(xué)內(nèi)容的順序，是達(dá)到“三序合一”目標(biāo)的有效手段，并且有助于明確單元起始課的內(nèi)容。

以“多邊形的面積”單元為例，國(guó)內(nèi)大部分教材都是按照“平行四邊形→三角形→梯形”的順序編排，國(guó)外一些教材（如美國(guó)Sadlier-Oxford版、新加坡Marshall Cavendish版等）則采用“三角形→平行四邊形→梯形”的順序編排。可見(jiàn)，平行四邊形、三角形和梯形這三個(gè)內(nèi)容之間并無(wú)絕對(duì)嚴(yán)格的先后順序。

從教學(xué)內(nèi)容的邏輯順序來(lái)看，采用先平行四邊形后三角形的順序，是考慮到了平行四邊形與長(zhǎng)方形在形狀上有較高的相似度，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形是有充分的邏輯依據(jù)且便于操作的。同時(shí)，以《幾何原本》中的命題Ⅰ. 34（平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線平分該平行四邊形）為依據(jù)，借助平行四邊形與三角形的關(guān)系，有助于通過(guò)平行四邊形的面積進(jìn)一步研究三角形的面積。但是，《幾何原本》命題Ⅰ. 41（如果一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形既同底又在兩條平行線之間，即兩者的高相等，則這個(gè)平行四邊形的面積是這個(gè)三角形的面積的兩倍）又表明，若已知三角形的面積，也可以得出與其等底等高的平行四邊形的面積。

從教學(xué)內(nèi)容的歷史產(chǎn)生順序來(lái)看，我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》及其劉徽注中關(guān)于多邊形面積的編排順序依次為“方田（長(zhǎng)方形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）”，其中并無(wú)平行四邊形。由長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法得到三角形面積的計(jì)算方法，古已有之。

從學(xué)生的認(rèn)知心理順序來(lái)看，雖然把平行四邊形的面積安排在長(zhǎng)方形、正方形的面積之后，有利于學(xué)生根據(jù)兩者形狀的相似性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但也正因?yàn)檫@個(gè)相似性，容易造成負(fù)遷移，使學(xué)生誤認(rèn)為平行四邊形面積的計(jì)算方法是鄰邊相乘，而將三角形的面積安排在長(zhǎng)方形的面積之后，就可以避免這個(gè)問(wèn)題。

當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)在教材中以邏輯順序呈現(xiàn)，而邏輯順序不符合學(xué)生的心理認(rèn)知順序，未能凸顯知識(shí)的必要性時(shí)，就需要從HPM的視角來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)。郭書(shū)春通過(guò)對(duì)《九章算術(shù)》的研究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積公式在劉徽的面積理論中起著核心作用。他認(rèn)為“劉徽的面積理論是一個(gè)以長(zhǎng)方形面積為出發(fā)點(diǎn)，以三角形面積為核心，運(yùn)用出入相補(bǔ)原理和無(wú)窮小分割方法的有機(jī)整體”。陳敏、許含英等認(rèn)為，平行四邊形、梯形都可通過(guò)對(duì)角線分成兩個(gè)三角形，因此可以0d5443115e43aee3468d8aac32f6d23e2332c759d0d1b9adf4d4a203da1ea192用三角形的面積公式推出平行四邊形與梯形面積的計(jì)算方法。

因此，為了盡可能使數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的邏輯順序、數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的歷史順序、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的心理順序三者協(xié)調(diào)一致，并揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)單元起始課作為教學(xué)起點(diǎn)的價(jià)值，將“三角形的面積”作為“多邊形的面積”單元的核心內(nèi)容與起始課是一種可行且有益的嘗試。

二、提煉教學(xué)主線，鎖定核心內(nèi)容

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。因此，教學(xué)主線是溝通教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)之間的媒介。不同社會(huì)文化背景下的數(shù)學(xué)學(xué)科在其漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，經(jīng)過(guò)不斷地去粗取精，形成多個(gè)圍繞特定主題的系列化、結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系與核心線索，這一核心線索必定是貫穿于同一主題中的各個(gè)內(nèi)容的。因此，在數(shù)學(xué)課堂中引入數(shù)學(xué)史，有利于在單元起始課中體現(xiàn)教學(xué)主線，為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷加深對(duì)教學(xué)主線的理解奠定基礎(chǔ)。

以“多邊形的面積”單元中的“三角形的面積”一課為例，在《九章算術(shù)》中，關(guān)于等腰三角形面積計(jì)算的方法“圭田術(shù)”稱“半廣以乘正從”，即“底的一半乘高”。劉徽在為其做注時(shí)稱：“半廣知，以盈補(bǔ)虛為直田也。半廣乘從，以取中平之?dāng)?shù)，故廣從相乘為積步。”意思是，之所以取底的一半，是為了通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”把三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，并且底的一半其實(shí)就是上底與下底的平均數(shù)（這里可以理解為把三角形視作特殊的梯形，因此“中平之?dāng)?shù)”即上底與下底的平均數(shù)），也就是現(xiàn)在所說(shuō)的中位線。因此，三角形的面積公式也就和長(zhǎng)方形的面積公式“長(zhǎng)×寬”保持一致了（如圖1-1）。此外，劉徽也提出了自己的計(jì)算方法——“半正從以乘廣”，即“高的一半乘底”，同樣也采用“以盈補(bǔ)虛”的策略，把三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，并借助長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法來(lái)計(jì)算三角形的面積（如圖1-2）。此外，《九章算術(shù)》及其劉徽注的“邪田術(shù)”“箕田術(shù)”“圓田術(shù)”“環(huán)田術(shù)”都體現(xiàn)了對(duì)平面圖形面積計(jì)算整體性和一致性的極致追求。雖然《九章算術(shù)》中的“圭田術(shù)”和劉徽的“以盈補(bǔ)虛”策略是以等腰三角形為對(duì)象的，但實(shí)際上它們適用于計(jì)算任意三角形的面積。因此，通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”的策略化歸為“廣從相乘”是三角形的面積及后續(xù)推導(dǎo)其他平面圖形的面積公式的重要途徑。

西方古典數(shù)學(xué)名著《幾何原本》注重對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理性思考，幾乎不涉及實(shí)際問(wèn)題的解決，因此也沒(méi)有與圖形面積計(jì)算直接相關(guān)的內(nèi)容，但其中有一些重要命題與圖形的面積有關(guān)。除上文提到的命題Ⅰ. 34和命題Ⅰ. 41涉及等底等高的平行四邊形與三角形之間的面積關(guān)系之外，命題Ⅰ. 35、命題Ⅰ. 36、命題Ⅰ. 37、命題Ⅰ. 38也都與圖形的面積有關(guān)。其中，命題Ⅰ. 35是“同底且在兩條平行線之間的平行四邊形的面積相等”，命題Ⅰ. 36是“等底且在兩條平行線之間的平行四邊形的面積相等”，這兩個(gè)命題都是關(guān)于平行四邊形面積的，一般可將這兩個(gè)命題統(tǒng)一為“等底等高的平行四邊形的面積相等”；命題Ⅰ. 37和命題Ⅰ. 38都是關(guān)于三角形面積的，兩者關(guān)系與命題Ⅰ. 35和命題Ⅰ. 36之間的關(guān)系類似，可以概括為“等底等高的三角形的面積相等”。在教材中，這些命題一般被用于解決具體的面積問(wèn)題，然而，其教學(xué)價(jià)值遠(yuǎn)非如此，如“等底等高的三角形的面積相等”還可用于平行四邊形、梯形的面積公式的推導(dǎo)。因此，在“三角形的面積”一課教學(xué)中，還應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)“等底等高的三角形的面積相等”這一特征，并能對(duì)其進(jìn)行靈活應(yīng)用，為后續(xù)運(yùn)用這一命題進(jìn)行多元化的圖形轉(zhuǎn)化和公式推導(dǎo)提供方法支持。

從HPM視角出發(fā)，結(jié)合東西方數(shù)學(xué)史料的分析可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)化思想是“三角形的面積”及“多邊形的面積”單元的教學(xué)主線。圍繞轉(zhuǎn)化思想這一教學(xué)主線可以得到“以盈補(bǔ)虛（出入相補(bǔ)）”和“等底等高的等積變形”兩條明確的路徑，這兩條路徑的有效推進(jìn)與協(xié)同作用是教學(xué)多邊形面積的重要保障。可見(jiàn)，以歷史上的既成事實(shí)作為提煉教學(xué)主線的重要參照，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析，可以使單元整體教學(xué)活動(dòng)的邏輯更加清晰，同時(shí)也提升了單元起始課的教學(xué)定位。

三、實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，體現(xiàn)核心價(jià)值

轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的目的在于將陌生的對(duì)象轉(zhuǎn)化為熟悉的對(duì)象，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，從而有效地解決問(wèn)題。在“多邊形的面積”單元中，轉(zhuǎn)化思想主要表現(xiàn)為“以盈補(bǔ)虛（出入相補(bǔ)）”和“等底等高的等積變形”兩種形式。在教學(xué)單元起始課“三角形的面積”時(shí)，應(yīng)緊緊圍繞轉(zhuǎn)化思想的兩種表現(xiàn)形式開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，以使其能在整個(gè)單元中起到提綱挈領(lǐng)的作用。

（一）初步探究，提供轉(zhuǎn)化思想的恰當(dāng)載體

長(zhǎng)方形的面積是學(xué)習(xí)平面圖形面積的基礎(chǔ)，長(zhǎng)方形也是三角形轉(zhuǎn)化的對(duì)象。因此，有必要對(duì)長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行適當(dāng)復(fù)習(xí)，并以此引出《九章算術(shù)》中的“方田術(shù)”（長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法），通過(guò)對(duì)古今方法的比較，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史傳承。需要注意的是，即使學(xué)生有了長(zhǎng)方形的面積公式這個(gè)基礎(chǔ)，教師要想讓學(xué)生自主推導(dǎo)出三角形的面積公式也是有一定難度的。因此，為了遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，并與《九章算術(shù)》中的內(nèi)容順序保持一致，同時(shí)也是從便于操作探究的角度考慮，筆者選擇了等腰三角形作為引導(dǎo)學(xué)生感受轉(zhuǎn)化思想的載體。

筆者在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形面積公式的基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生解讀《九章算術(shù)》中的“方田術(shù)”——“廣從步數(shù)相乘得積步”，將廣與長(zhǎng)、從與寬聯(lián)系起來(lái)，以便更好地解讀“圭田術(shù)”。隨后，筆者出示等腰三角形（如圖2）及劉徽對(duì)“圭田術(shù)”的注解“以盈補(bǔ)虛為直田也”，請(qǐng)學(xué)生嘗試解讀這句話的意思。學(xué)生結(jié)合等腰三角形的圖示，認(rèn)為這句話的意思是指通過(guò)“移多補(bǔ)少”的方法把三角形變成長(zhǎng)方形。筆者對(duì)此予以肯定，并請(qǐng)學(xué)生按照這一思路，以小組合作的形式，通過(guò)畫(huà)圖將三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并根據(jù)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系，得出等腰三角形的面積公式。通過(guò)不同的轉(zhuǎn)化操作，學(xué)生得到了不同的轉(zhuǎn)化結(jié)果和面積公式（見(jiàn)表1）。在師生共同評(píng)價(jià)的過(guò)程中，筆者圍繞問(wèn)題“為什么要除以2？”請(qǐng)各小組解釋自己的操作活動(dòng)，讓學(xué)生將具體的操作與抽象的符號(hào)聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生進(jìn)一步深入理解轉(zhuǎn)化過(guò)程和結(jié)果。

（二）遷移運(yùn)用，理解轉(zhuǎn)化思想的重要價(jià)值

等腰三角形作為特殊的三角形，有助于學(xué)生迅速找到轉(zhuǎn)化思路。學(xué)生在領(lǐng)悟了“以盈補(bǔ)虛”策略后，還需要由點(diǎn)及面進(jìn)一步驗(yàn)證任意三角形都能通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”策略轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。如此，研究的思路也遵循了從特殊到一般的規(guī)律，并使結(jié)論更具嚴(yán)謹(jǐn)性和普遍性。

在運(yùn)用“以盈補(bǔ)虛”策略推導(dǎo)出等腰三角形的面積計(jì)算方法后，筆者追問(wèn)：“這樣得到的面積公式是否能運(yùn)用于所有三角形？”學(xué)生指出“需要用一般的三角形去驗(yàn)證計(jì)算方法的正確性”，并經(jīng)過(guò)操作驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)任意三角形都能通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”策略轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的重要意義和價(jià)值。這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)與實(shí)施，既在單元起始課中根植了能統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)單元的轉(zhuǎn)化方法，又讓學(xué)生感悟到從特殊到一般的研究策略，并且培養(yǎng)了他們科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)和研究態(tài)度。

（三）古今對(duì)照，了解轉(zhuǎn)化思想的歷史傳承

教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地選用中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的實(shí)際問(wèn)題及其解決方法作為整個(gè)單元系列活動(dòng)的起點(diǎn)，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)技能、思想方法的發(fā)展過(guò)程和特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，借助古今對(duì)照，可以引導(dǎo)學(xué)生與古代偉大數(shù)學(xué)家進(jìn)行跨越時(shí)空的“對(duì)話”，從而體會(huì)思想方法的歷史傳承，提升學(xué)習(xí)興趣和信心。這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史“轉(zhuǎn)知為智”“以文化人”的教育功能。

在學(xué)生對(duì)三角形的幾種轉(zhuǎn)化思路有了深入的理解之后，筆者出示《九章算術(shù)》及其劉徽注中的兩種“圭田術(shù)”——“半廣以乘正從”和“半正從以乘廣”，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)兩種方法分別對(duì)應(yīng)表1中的哪種轉(zhuǎn)化思路，它們之間有什么異同。學(xué)生結(jié)合這兩種古代方法的語(yǔ)言描述及同伴操作時(shí)所作的圖示，確定了它們分別對(duì)應(yīng)表1中的思路3和思路4，它們的不同點(diǎn)是分割的方式有所區(qū)別，但它們的目標(biāo)都是通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”策略將三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。這樣的辨析活動(dòng)有兩方面作用：一是使學(xué)生了解關(guān)于三角形面積的知識(shí)及轉(zhuǎn)化思想在歷史上的表現(xiàn)形式，感受古人應(yīng)用圖形特征的巧思妙想，同時(shí)也為后續(xù)形成多邊形轉(zhuǎn)化的主線提供了參照；二是幫助學(xué)生看到古代數(shù)學(xué)家的研究方法和自己或同伴的探究方法有著異曲同工之妙，知道了數(shù)學(xué)知識(shí)不是憑空產(chǎn)生的。至此，數(shù)學(xué)文化通過(guò)不同的形式得到了不斷延續(xù)和傳承，進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參與感和獲得感。

（四）中外對(duì)比，感受轉(zhuǎn)化思想的多元形式

轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要作用，其內(nèi)涵非常豐富，就圖形面積問(wèn)題而言，至少包括“以盈補(bǔ)虛（出入相補(bǔ)）”和“等底等高的等積變形”兩種方式，后者是“多邊形的面積”單元的重要內(nèi)容。因此，筆者以問(wèn)題解決的形式，在圖形面積的比較中幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)這一轉(zhuǎn)化方式。

筆者提供一組平行線之間等底等高的兩個(gè)三角形①②（如圖3），請(qǐng)學(xué)生判斷兩個(gè)三角形的面積是否相等。學(xué)生給出兩種不同的判斷方法：一是通過(guò)具體計(jì)算得到兩個(gè)三角形的面積后進(jìn)行比較；二是根據(jù)三角形的面積公式及其中的底和高兩個(gè)數(shù)據(jù)直接判斷。于是，筆者出示《幾何原本》中的命題Ⅰ. 38，并請(qǐng)學(xué)生判斷圖3的①②兩個(gè)三角形的面積之和與三角形③的面積的大小關(guān)系。此時(shí)，大部分學(xué)生根據(jù)“等底等高的三角形面積相等”這一命題對(duì)左圖進(jìn)行轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)左圖兩個(gè)三角形可以合并成一個(gè)大三角形，且面積與右圖三角形的面積相等。

在此基礎(chǔ)上，筆者通過(guò)變式練習(xí)（如圖4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“等底等高的等積變形”在解決問(wèn)題中的重要作用。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，根據(jù)“等底等高”命題，移動(dòng)左圖上方鈍角三角形的頂點(diǎn)，可以將其變成與原來(lái)面積相等的直角三角形，因此圖4中左、右兩圖的面積也是相等的。通過(guò)上述問(wèn)題，學(xué)生不僅深刻地理解了“等底等高的三角形面積相等”這一命題，而且體會(huì)到了轉(zhuǎn)化思想的不同表現(xiàn)形式，為后續(xù)平行四邊形、梯形和組合圖形的轉(zhuǎn)化提供了思路。

單元起始課的價(jià)值不僅是讓學(xué)生掌握知識(shí)，還應(yīng)充分體現(xiàn)學(xué)習(xí)的必要性，以知識(shí)為載體，全面揭示數(shù)學(xué)知識(shí)背后的育人價(jià)值，提升課程與教學(xué)的立意與價(jià)值。HPM視角下的單元起始課以數(shù)學(xué)史料為素材，將其轉(zhuǎn)化為能夠直接促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一系列活動(dòng)，并按照一定的邏輯構(gòu)建一個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決全過(guò)程的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生思維生長(zhǎng)。同時(shí)，學(xué)生的思維、情感、態(tài)度與價(jià)值觀得以深度激活與釋放，學(xué)生真正經(jīng)歷了有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，在HPM視角下有目的、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)單元起始課，發(fā)揮其在單元整體學(xué)習(xí)活動(dòng)中的導(dǎo)航作用，有助于凸顯教學(xué)主線，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對(duì)單元學(xué)習(xí)建立總體認(rèn)知。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 馬云鵬.基于結(jié)構(gòu)化主題的單元整體教學(xué)：以小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].教育研究，2023（2）：68-78.

[3] 陳飛.中國(guó)特色的HPM理論：將數(shù)學(xué)歷史融入數(shù)學(xué)教學(xué)：汪曉勤教授訪談錄[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（7）：7-12.

[4] 郭書(shū)春.古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

[5] 陳敏，許含英.三角形和梯形面積教學(xué)研究[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014.

【本文系2020年度教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目“多路徑數(shù)學(xué)科普的構(gòu)建及其對(duì)少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)觀的影響研究（20YJC880117）”階段性成果。】

（責(zé)編 金 鈴）